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1、Chapter 11-2 机械波机械波1.1.简谐波简谐波2.2.波动方程及其解波动方程及其解3.3.波的能量和功率波的能量和功率4.4.波的干涉波的干涉5.5.驻波驻波6.6.Doppler Doppler 效应效应为什么各种乐器能演为什么各种乐器能演奏出美妙的音乐？小奏出美妙的音乐？小提琴和大提琴的音色提琴和大提琴的音色有什么不同？为什么有什么不同？为什么？长笛和短笛的音色？长笛和短笛的音色有什么不同？为什么有什么不同？为什么？自然界中波无处不在自然界中波无处不在! !为什么可以听到说话声为什么可以听到说话声?为什么可以接收从电视台发射的电视信号为什么可以接收从电视台发射的电视信号?按照物
2、质的性质分类按照物质的性质分类水波水波, , 声波声波, ,地震波地震波 （seismic wavesseismic waves）. .11-9 11-9 波的分类波的分类1. 机械波：机械波：这类波遵循牛顿运动定律；仅在媒质中存在，如水、这类波遵循牛顿运动定律；仅在媒质中存在，如水、空气、岩石等空气、岩石等2. 电磁波电磁波:电磁波在真空中也可以传播电磁波在真空中也可以传播;物质是否存在不物质是否存在不是波传播的必要条件是波传播的必要条件例子例子: 可见光；红外、紫外光；无线可见光；红外、紫外光；无线电波；微波；电波；微波；x射线；雷达射线；雷达3. 物质波物质波:微观例子都可以形成物质波微
3、观例子都可以形成物质波: 如电子、如电子、质子，质子，其它基本粒子；超冷原子其它基本粒子；超冷原子物质波是概率波，其波函数表示微观粒子的物质波是概率波，其波函数表示微观粒子的概率振幅。它们遵循完全不同的规律。与经概率振幅。它们遵循完全不同的规律。与经典力学规律没有直接关系。典力学规律没有直接关系。本章主要讨论机械波（本章主要讨论机械波（ mechanical waves）。）。按照振动类型分类按照振动类型分类1. 横波（横波（Transverse Waves）:媒质单元（简称媒质单元（简称“质元质元”）的振动方向与传播）的振动方向与传播方向相垂直。方向相垂直。2. 纵波（纵波（Longitud
4、inal Waves）:质元的振动方向平行于波传播方向。运动称为纵向质元的振动方向平行于波传播方向。运动称为纵向的，故波被称为纵波。的，故波被称为纵波。无论横波还是纵波，质元都是无论横波还是纵波，质元都是在其平衡点位置附近振在其平衡点位置附近振动，动，并不是质元本身运动到了波传播的位置。由于波并不是质元本身运动到了波传播的位置。由于波动状态向前传播，此波也称为行波。动状态向前传播，此波也称为行波。Websters dictionary defines a wave as a disturbance or variation that transfers energy progressively
5、 from point to point in a medium and that may take the form of an elastic deformation or of a variation of pressure, electric or magnetic intensity, electric potential, or temperature. 地震波：地震波：The first kind of surface wave is called a Love wave, named after A.E.H. Love, a British mathematician who
6、worked out the mathematical model for this kind of wave in 1911. Its the fastest surface wave and moves the ground from side-to-side. Confined to the surface of the crust, Love waves produce entirely horizontal motion. Traveling through the interior of the earth, body waves arrive before the surface
7、 waves emitted by an earthquake. These waves are of a higher frequency than surface waves. The other kind of surface wave is the Rayleigh wave, named for John William Strutt, Lord Rayleigh, who mathematically predicted the existence of this kind of wave in 1885. A Rayleigh wave rolls along the groun
8、d just like a wave rolls across a lake or an ocean. Because it rolls, it moves the ground up and down, and side-to-side in the same direction that the wave is moving. Most of the shaking felt from an earthquake is due to the Rayleigh wave, which can be much larger than the other waves 一一. 机械波产生的条件机械
9、波产生的条件1. 波源波源2. 波传播的媒质波传播的媒质11-10 11-10 波的产生与传播波的产生与传播简谐波简谐波:若若波源作简谐振动波源作简谐振动, , 则在波则在波传播的区域传播的区域, , 媒质中的质元媒质中的质元亦作简谐振动。这时的波，亦作简谐振动。这时的波，称为简谐波。称为简谐波。比如抖动长绳的一端，另一端固定。比如抖动长绳的一端，另一端固定。当不断抖动时，波将在绳中传播。当不断抖动时，波将在绳中传播。横波与纵波传播横波与纵波传播:1 2 34 5 6 78 9 10 11 1213 t=04 5 6 78 9 10 11 12131 23t=T/478 9 10 11 121
10、3654321t=T/2654321137810 1112t=T纵波运动模拟纵波运动模拟二二. 绳（或弦）中波（或弦）中波动方程的数学形式方程的数学形式考虑在绳子中任取一微小质元考虑在绳子中任取一微小质元 m =mx, 该质元在元在张力的作用下力的作用下上下运上下运动。绳中中横向（横向（D 或或 y方方向）向）净张力可以表示力可以表示为 根据牛顿第二运动定律，根据牛顿第二运动定律，其中其中 D(x,t) 是绳子的是绳子的y方向位移，所以相应的二阶导数方向位移，所以相应的二阶导数为该质元为该质元 的纵向加速度。的纵向加速度。由于横向力与波传由于横向力与波传播方向垂直，这就播方向垂直，这就是此波为
11、横波的缘是此波为横波的缘由。由。取极限情况取极限情况 D Dx0考虑考虑 qq 是小量，即小振动情况，是小量，即小振动情况，sinqq 可以用可以用tanqq 代替代替 ，即绳子在该点的斜率，即绳子在该点的斜率:容易证明下面的函数是该方程的一个解：容易证明下面的函数是该方程的一个解：或者或者通常也表示为通常也表示为波速波速：绳子的质：绳子的质量密度和绳中的量密度和绳中的张力决定了绳中张力决定了绳中波传播的速度。波传播的速度。一般，一般，波的速度波的速度并不随意变化并不随意变化。Sprott演示演示2 35这个方程称为波动方程的解，或波函数。波动方程这个方程称为波动方程的解，或波函数。波动方程的
12、的这一解可以理解为这一解可以理解为，存在一个波源，其振动方程，存在一个波源，其振动方程为为方程的这一振动方式，在绳中（或媒质中）以速度方程的这一振动方式，在绳中（或媒质中）以速度v 传播开来。经历时间（传播开来。经历时间（x / v）后，振动状态传到）后，振动状态传到 x位置处，该点媒质的振动状态为与位置处，该点媒质的振动状态为与 t 时刻波源的振时刻波源的振动状态相同，即动状态相同，即x 位置处的振动相对于波源位置的振动，只是位相落位置处的振动相对于波源位置的振动，只是位相落后了后了 。三三. 波的描述及其特征量波的描述及其特征量:1. 周期与频率周期与频率 ：描述波传播的时间的周期性。由于
13、波：描述波传播的时间的周期性。由于波源的运动时周期性的，波在媒质中的传播也是周期的源的运动时周期性的，波在媒质中的传播也是周期的性。周期的倒数为频率，通常用性。周期的倒数为频率，通常用 f 或或n 表示：表示：振动的圆频率为振动的圆频率为也是波动的圆频率。也是波动的圆频率。表示媒质质元振动位相改变表示媒质质元振动位相改变 2p 与与时间的比值。时间的比值。2. 波速波速：由媒质本身的性质决定，如绳中张力与线密度的大小由媒质本身的性质决定，如绳中张力与线密度的大小决定。决定。4. 位相与波前（位相与波前（wave front）：类似于振动，波函数中，：类似于振动，波函数中，确定波函数状态时空坐标
14、及初位相统称为波函数的位相。确定波函数状态时空坐标及初位相统称为波函数的位相。而波前则是在波的传播方向上具有相同位相的点的集合，而波前则是在波的传播方向上具有相同位相的点的集合，它们组成一个面，称为它们组成一个面，称为波阵面波阵面，或，或波前波前。3. 波长波长：波以速度：波以速度 v 传播一个周期所走过的距离记为传播一个周期所走过的距离记为一个波长，用一个波长，用 表示。表示。波波长长描描述述了了波波的的空空间间的的周周期期性性。空空间间任任意意位位置置，在在经经历历了了 的的整整数数倍倍后后，将将重重复复该该点点的的振振动动状状态态，此此为为空间的周期性空间的周期性。不难理解，波前传播的速
15、度是不难理解，波前传播的速度是 v，它也表示了振动状态向前传播，它也表示了振动状态向前传播的速度，因此该速度也为的速度，因此该速度也为相速度相速度。5. 波数：波数：波数定义为：波数定义为：改写为改写为波波数数是是波波在在传传播播的的路路径径上上，位位相相改改变变2p与与所所走走过过的的路路程程的的比比值值。或或者者说说，在在给给定定时时间间内内，波波走走过过的的路路程程 x 等等于于k个个波波长长 ，就就等等于于2p。即即重重复复前前面面的的运运动动状状态态。这这就就是为什么是为什么 k 被称为波数。被称为波数。 四四. 再论波动方程的解再论波动方程的解是一个二阶奇次的偏微分方程。其解不是唯
16、一的。是一个二阶奇次的偏微分方程。其解不是唯一的。换句话说，这个方程可以允许有许多个解。并且，换句话说，这个方程可以允许有许多个解。并且，这些解的线性叠加也是该方程的解。这些解的线性叠加也是该方程的解。比如比如 都是该方程的解，即它们都满足都是该方程的解，即它们都满足该方程，该方程，则，容易证明则，容易证明也是该方程的解，其中也是该方程的解，其中ci 为常数。为常数。（1）波函数叠加原理）波函数叠加原理这个关系即这个关系即为波函数叠为波函数叠加原理加原理（2）行波解）行波解任意形式如任意形式如 的函数式波动方程的解；的函数式波动方程的解； 的函数形式也是波动方程的一个解。的函数形式也是波动方程
17、的一个解。 假定假定 是对变量是对变量 求导，则求导，则其二阶导数为其二阶导数为对时间求二阶导数，则有对时间求二阶导数，则有同样的方法可以证明同样的方法可以证明 f2（vt + x） 也是该方程的解。也是该方程的解。考虑振动源为简谐振动，即为考虑振动源为简谐振动，即为sine或或cosine 类型的类型的函数，括号（函数，括号（vt - x）或）或 （vt + x）内的量纲为长度。）内的量纲为长度。而一般三角函数内应该为角度，也就是一般要乘以而一般三角函数内应该为角度，也就是一般要乘以2p p / , 其中其中 有长度的量纲，才能符合三角函数量有长度的量纲，才能符合三角函数量纲的要求。纲的要求
18、。假若振源的函数为假若振源的函数为则该振动传播的波函数应该具有如下形式：则该振动传播的波函数应该具有如下形式：比较波源的振动方程，可以看出，若取比较波源的振动方程，可以看出，若取则该方程变为振源的振动方程。而则该方程变为振源的振动方程。而则为振动的周期。则为振动的周期。若若 ，则表明在该处的振动与振源具有相同，则表明在该处的振动与振源具有相同的振动形式。只是该处的振动位相比的振动形式。只是该处的振动位相比 处的振处的振动位相滞后动位相滞后 原因是什么？原因是什么？原原因因是是，这这是是振振源源处处振振动动通通过过传传输输 一一段段 x 距距离离以以后后，在在该该处处产产生生的的振振动动。换换句
19、句话话说说，这这是是振振源源的的振振动动模模式式沿着沿着 x 正方向传播以后，引起该处媒质的振动。正方向传播以后，引起该处媒质的振动。所以这是一个向着所以这是一个向着x 正方向（正方向（right-going）传播的波！）传播的波！也就是所谓也就是所谓行波行波 travelling wave媒质质点的振动模式的传播，形成了行波。由于波媒质质点的振动模式的传播，形成了行波。由于波传播的周期性，传播的周期性， 即为描述空间周期性的波长。即为描述空间周期性的波长。任何形如任何形如函数形式的正弦或余弦形式的波为函数形式的正弦或余弦形式的波为向向 x 轴正向传播轴正向传播的谐波的谐波。余弦形式的波函数为
20、。余弦形式的波函数为显然显然和和是向是向 x 轴负方向传播的行波轴负方向传播的行波。在波传播的过程中，在波传播的过程中，x 的绝对值越大的点的位置的的绝对值越大的点的位置的振动位相越滞后。振动位相越滞后。因为振动传播到更远的点需要更因为振动传播到更远的点需要更长的时间。长的时间。比如沿正向传播的波，比如沿正向传播的波，由于由于 ，传播到，传播到 x 处所需要的时间是处所需要的时间是也就是说，波传播的越远，需要越长的时间。沿也就是说，波传播的越远，需要越长的时间。沿 x 轴轴负方向传播的波也是同样的道理。负方向传播的波也是同样的道理。 P点在点在t 时刻的位时刻的位移移相当于相当于O点点在在 t
21、-t时刻的位移时刻的位移。若波源处振动的方程为若波源处振动的方程为经历一段时间后传到坐标为经历一段时间后传到坐标为 x 处的处的P点点平面简谐波的波动的平面简谐波的波动的波函数波函数 给出波线上任一点给出波线上任一点处（距原点处（距原点x处）在任一时刻处）在任一时刻 t 的位移。的位移。Right-going行波的几个基本表示形式行波的几个基本表示形式:（1）时间的周期性和空间的周期性）时间的周期性和空间的周期性:波波函数函数具有具有时时间周期性间周期性（T )T若若 x 点固定点固定, 媒质在给定媒质在给定x0处位置的振动曲线即为处位置的振动曲线即为 y(t, x0).(2) 若若 t 一定
22、一定, 对应的在对应的在t0 时刻的时刻的 y-x 波形图为波形图为波波函数函数具有具有空空间周期性间周期性（ )行波运动特性的描述行波运动特性的描述给定给定t 时刻波线上不同点时刻波线上不同点 x2 和前面的点和前面的点 x1 的位相差的位相差为为:波程差波程差 （ wave-path difference ）。则则t + t 时刻波形时刻波形v（2）波不同位置的位相差）波不同位置的位相差:t 时刻波形时刻波形- ： 更远的更远的点位相滞后点位相滞后原点原点 O O 不必不必一定一定在波源处，也可以是波传播路在波源处，也可以是波传播路径上任一点径上任一点。但是原点不同，写出的波函数的形。但是
23、原点不同，写出的波函数的形式也是不同的。式也是不同的。沿沿 -x 轴方向传播的波轴方向传播的波,注意注意:（3）波的速度的描述）波的速度的描述:是波传播的速度，也称为是波传播的速度，也称为相速度相速度。与（。与（x，t）无关。）无关。决定于（比如弦上的波）弦的张力和弦的线密度。决定于（比如弦上的波）弦的张力和弦的线密度。波传播路径上任一点位置媒质波传播路径上任一点位置媒质质点的速度质点的速度则为：则为：yxx此此速速度度曲曲线线是是（x，t）的的函函数数，与与波波形形曲曲线线不不仅仅有有p p /2 /2 的的位位相相差差，振振动还反向。动还反向。v8m5m9mCDABx解解: 已知波沿已知波
24、沿-x方向传播，方向传播，w w = 4p p，k = w w / v .B B点的相位落后于点的相位落后于A A点的相位点的相位: :(2) 一谐波以速度一谐波以速度v=20m/s 沿沿 -x 方向运动方向运动 ，若，若 , (1) 写出原点写出原点 A的方程的方程; (2) 若取若取B点为原点，波点为原点，波动方程为何？动方程为何？ (3) 写出写出C 和和 D 两点的振动方程两点的振动方程.(1)例例:B 点振动方程为点振动方程为:以以 B点为原点的波动方程为：点为原点的波动方程为：(3)一一. 动能与势能动能与势能:弦上取一小段，其质量员为弦上取一小段，其质量员为dm, 弦的线密度为弦
25、的线密度为m m，横，横向振动的速度为向振动的速度为 ，所以弦的横向振动的动能为，所以弦的横向振动的动能为11-12 11-12 弦上行波的能量、功率和波强弦上行波的能量、功率和波强其中其中 dm = m m dx，所以所以面积面积S考虑在一个周期内单位时间的动能传输的平均值，即考虑在一个周期内单位时间的动能传输的平均值，即对一个周期的积分：对一个周期的积分：动能在单位时间内传输的比率动能在单位时间内传输的比率:弦上这一小段的弹性势能，是在张力弦上这一小段的弹性势能，是在张力FT作用下，从作用下，从dx 段被拉长段被拉长 ds 小段所作的功（与弦的相对变化率相小段所作的功（与弦的相对变化率相关
26、）关）: 其中用到其中用到因为因为其中用了其中用了单位时间内的动能变化率为单位时间内的动能变化率为类似于动能的情况，一个周期内，单位时间内类似于动能的情况，一个周期内，单位时间内的势能变化率的平均值为的势能变化率的平均值为注意：动能和注意：动能和势能的变化率势能的变化率之和不是常数！之和不是常数！二二. 平均能流或平均功率平均能流或平均功率波的传播也就是能量传递的一种形式；也是信息波的传播也就是能量传递的一种形式；也是信息传递的一种形式。传递的一种形式。动能和势能的形式相同，并同时达到最大值动能和势能的形式相同，并同时达到最大值, 又同时达又同时达到最小值。到最小值。 能量是流动的。能量是流动
27、的。国际单位制中国际单位制中 I 的单位是的单位是 W/ M2。三三. . 波强波强波强或能流密度，定义为波单位时间通过单位面积波强或能流密度，定义为波单位时间通过单位面积的能量的能量S式中式中 是一般情况下传播波的媒质的体密度。是一般情况下传播波的媒质的体密度。11-13 波的波的干涉干涉波的叠加原理波的叠加原理波的重叠并不以任何形式改变其波的重叠并不以任何形式改变其它波的传播。它波的传播。波的传播的波的传播的独立性独立性或或波的叠加波的叠加原理原理。在在几几列列波波相相遇遇或或叠叠加加的的区区域域内内, ,任任一一点点的的振振动动位位移移是是各各列列波波单单独独在在该点产生的该点产生的位移
28、的合成位移的合成。波的干涉波的干涉干涉现象是波动的重要特征之一；是干涉现象是波动的重要特征之一；是波的叠加原理的重要应用之一。波的叠加原理的重要应用之一。两列两列频率相同频率相同, ,振动方向相同振动方向相同, ,相位相同或相位差恒定相位相同或相位差恒定的的简谐波的叠加简谐波的叠加在波重叠区出现稳定的波的在波重叠区出现稳定的波的干涉增强和干涉相消现象干涉增强和干涉相消现象考虑两列同方向同频率振动的考虑两列同方向同频率振动的余弦波，余弦波，S1r1S2r2P波干涉的条件波干涉的条件在在 P 点合振动的形式应该为点合振动的形式应该为:基于振动的叠加原理有基于振动的叠加原理有位相差位相差(1) 当当
29、 (k=0,1,2,)振幅最大振幅最大 A 相干加强相干加强(2) 当当 (k=0,1,2,), 最小最小 A 相干减弱，或干涉相消相干减弱，或干涉相消(3) 当当 (k=0,1,2,), A的的值介于介于 和和 之之间，既非干涉，既非干涉增增强强，也非干涉减弱。属于一般情况。，也非干涉减弱。属于一般情况。特殊情况特殊情况:(i)两列相干波源同相位时两列相干波源同相位时, 其相干加强和减弱情况仅取决其相干加强和减弱情况仅取决于波程差。于波程差。(ii) 当当 当波程差为波长的整数倍时当波程差为波长的整数倍时 Amax当波程差为半波长的奇数倍时当波程差为半波长的奇数倍时 Amin(iii) 若取
30、若取 = 2k 强度最大；强度最大； = (2k+1) , 强度最小。强度最小。I2 4 6 -2 8 -4 -6 -8 0 Imax = 4I0 .Imin= 0 .The animation at left shows two sinusoidal waves travelling in the same direction. The phase difference between the two waves increases with time so that the effects of both constructive and destructive interference
31、may be seen. First of all, notice that the sum wave (in blue) is a travelling wave which moves from left to right. When the two gray waves are in phase the result is large amplitude. When the two gray waves become out of phase the sum wave is zero. M 和和 N 是同一媒质中波的两个波源，除了是同一媒质中波的两个波源，除了M在波峰，在波峰，N在波谷外
32、，其它均相同在波谷外，其它均相同 : A=5cm, f=100Hz and v=10m/s 。M 和和 N的振动垂直于屏。试写出从的振动垂直于屏。试写出从M和和N两个波到达两个波到达P点的干涉的结果。点的干涉的结果。例例:结论结论:由于干涉由于干涉 P 点的振动相消，点的振动相消，motionless。解解:m1 . 0= = =v fMNP20 m15 mM 和和 N 的位相差的位相差11-14 驻波驻波（Standing Waves ）驻波可以看成是波的干涉的一种特殊情况驻波可以看成是波的干涉的一种特殊情况两两个同个同频率同振幅的振率同振幅的振动但是相向但是相向传播的波的叠播的波的叠加加比
33、如绳上的驻波，绳上各点以各自确定的振幅比如绳上的驻波，绳上各点以各自确定的振幅在各自平衡位置附近振动在各自平衡位置附近振动, 并并没有振动状态或相没有振动状态或相位的传播位的传播 驻波是一种驻波是一种 特殊的振动状态特殊的振动状态一一. 驻波的形成驻波的形成考虑两相向传播的波考虑两相向传播的波:根据波的叠加原理根据波的叠加原理 这是的振动不具有行波的特性，即函数不具有这是的振动不具有行波的特性，即函数不具有 的形式，各点以的形式，各点以2ymsinkx 为振动的振为振动的振幅，最大振幅为幅，最大振幅为 2ym，最小值为，最小值为0。 The movie at left shows how a
34、standing wave may be created from two travelling waves. If two sinusoidal waves having the same frequency (wavelength) and the same amplitude are travelling in opposite directions in the same medium then, using superposition, the net displacement of the medium is the sum of the two waves. As the mov
35、ie shows, when the two waves are 180 out-of-phase with each other they cancel, and when they are in-phase with each other they add together. As the two waves pass through each other, the net result alternates between zero and some maximum amplitude. However, this pattern simply oscillates; it does n
36、ot travel to the right or the left. I have placed two dots on the string, one at an antinode and one at a node. Which is which? or nodes两相邻波节之间的距离两相邻波节之间的距离二二. 驻波特驻波特性性(i) 振幅等于零的位置振幅等于零的位置 |sinkx|=0 波波节节各点振幅随位置而变各点振幅随位置而变相应的频率称为基频：相应的频率称为基频：基频与弦长成基频与弦长成反比。反比。什么意什么意思？思？最低阶的波长是最低阶的波长是对于长为对于长为L两端固定的弦，两
37、端固定的弦，若弦长满足的是若弦长满足的是，或，或对应的频率为对应的频率为称为第一泛音。称为第一泛音。若弦长满足的是若弦长满足的是，或，或对应的频率为对应的频率为称为第二泛音。其余类推称为第二泛音。其余类推。波长变短，频率变高。波长变短，频率变高。猫咪：我也要弹古筝！猫咪：我也要弹古筝！有何感受？有何感受？(ii) 振幅最大振幅最大，2A,的位置满足的位置满足 |sinkx|=1 波腹波腹 两相邻波腹之间的距离也是两相邻波腹之间的距离也是 /2.或或 antinodes(iii) 除了波腹和波节外其它任意位置的振幅在除了波腹和波节外其它任意位置的振幅在 0 和和2A 之间之间. 相邻波节之间的相
38、位相同相邻波节之间的相位相同,而波节的两边相位相反。而波节的两边相位相反。三三. 波传播时在边界上的反射波传播时在边界上的反射若两端固定若两端固定 (或称两端为或称两端为 “硬的硬的” )，端点（边界）必须，端点（边界）必须是波节。是波节。(iv). 相移相移:弦端点固定的情况弦端点固定的情况 v 大者为大者为 波波密密媒质媒质; ; v 小者为小者为 波波疏疏媒质媒质.一般情况：波疏媒质传播一般情况：波疏媒质传播波密媒质时反射波密媒质时反射, 有半波损有半波损失失!弦的弦的 “软端软端” (或或 “自由端自由端” )反射，反射点为波腹，反射波没反射，反射点为波腹，反射波没有半波损失有半波损失
39、 。一般情况：一般情况：波密波密媒质传播媒质传播波疏波疏媒质时反射媒质时反射, 没有没有半波损失半波损失 !在反射点处反射波有在反射点处反射波有 相位相位的突的突变变,称为称为半波损失半波损失simulation11-15 声波（声波（Sound Waves）Introduction 声波是纵波声波是纵波 声波的应用举例：声波的应用举例：探测石油探测石油;探测水下障碍物，比如潜艇探测水下障碍物，比如潜艇超声波探测人体软组织超声波探测人体软组织1. 声波的速度声波的速度 任何机械波，横波和纵波，其传播的速度都依赖于任何机械波，横波和纵波，其传播的速度都依赖于媒质的弹性性质（储存势能）和其惯性性质
40、（储存动媒质的弹性性质（储存势能）和其惯性性质（储存动能）。能）。对绷紧的弦对绷紧的弦,推广推广6000Granite5941Steel6420AluminumSolid1522Seawater (b)1482Water (20)1402Water (0)Liquids1284Hydrogen965Helium343Air (20)331Air (0)GasesSpeed (m/s) MediumThe speed of sound (a)表格说明：表格说明：(a) 除非说明情况，其余为除非说明情况，其余为 0C 和和1 atm ; (b)(b) 海水声速海水声速为 20C 3.5% 盐分情况
41、分情况.体变模量定义体变模量定义声速可表示为声速可表示为模模型型：取取一一截截面面积积为为A的的柱柱形形空空气管。气管。（b）考虑厚为）考虑厚为 x 的小段气体，气体脉冲以速度的小段气体，气体脉冲以速度v 向前向前移动。其前沿遇到较高压强区，使其速度变慢为移动。其前沿遇到较高压强区，使其速度变慢为 v+ v, v 为负。当其后沿到达脉冲时，需要时间间隔为为负。当其后沿到达脉冲时，需要时间间隔为（a）假定未被扰）假定未被扰动的空气压强为动的空气压强为p，脉冲内压强为，脉冲内压强为 p + p； 由于压缩，由于压缩， p 为正。为正。此单元气体受力此单元气体受力气体质量元气体质量元 Newton第
42、二运动定律第二运动定律脉冲外脉冲外 x部分气体占有体积部分气体占有体积 V(=Av t)， x进入脉冲进入脉冲被压缩的体积为被压缩的体积为 V(=A v t)or由热力学由热力学: 故故2. 波动方程波动方程 声行波声行波 考虑任意位置考虑任意位置 s 处流体的振动处流体的振动rrVA假定稳定是流体的密度和压强分别为假定稳定是流体的密度和压强分别为 0 p0。波传播时导致流体。波传播时导致流体密度和压强的小扰动分别为密度和压强的小扰动分别为 。相应地左边的速度为。相应地左边的速度为 ，右边的速度为，右边的速度为 。流体。流体 t 时间内进入时间内进入 V的质元的质元故有故有, 因因 V间压强差
43、是间压强差是所以作用在所以作用在 m 上的力是上的力是其中其中 。 假定压强是密度的函数假定压强是密度的函数,and其中，其中， 是是 处的变化率。处的变化率。因因 比较比较固有固有, or由由 故故 The same as previous result!在压强差下流体在压强差下流体产生的位移产生的位移流体层流体层 xx处流体位处流体位动动 s 距离距离x + x处流体处流体位动位动 s + s 距距离离A 空气在任意位置的压强也是波动的：空气在任意位置的压强也是波动的：空气位移的波函数形式空气位移的波函数形式空气质元的体积空气质元的体积振动时体积的改变量是振动时体积的改变量是 所以所以 p
44、 的方程可以写为的方程可以写为 直接求导直接求导令令 pm = Bksm , 得压强振幅得压强振幅 3. 强强度与声波等度与声波等级 考虑球面情况考虑球面情况强度（强度（Intensity）：）： As this figure, we consider a thin slice of air of thickness dx, area A, and mass dm, oscillatingpass through it. The kinetic energy dK of the slice isHere vs is not the (phase) speed of the wave but t
45、he speed of the oscillating element of air, which can be obtained fromby a partial derivative to the argument time t. Using this relation and putting dm = rAdx allow us to rewrite the equation for dK as orThe average rate at which kinetic energy is transported is We assume that potential energy is c
46、arried along withthe wave at this same average rate. The wave intensityI, which is the average rate per unit area at which both kinds of energy are transmitted by the wave, is given by4. 分贝（分贝（The Decibel Scale） The displacement amplitude at the human ear rangesfrom about 10-5 m for the loudest tole
47、rable sound toabout 10-11 m for the faintest detectable sound, a ratioof 106. The ratio of intensity of human auditory system is 1012 . Usually, instead of speaking of the intensity of a soundwave, it is more convenient to speak of its sound level b bwhich is defined as where dB is the abbreviation
48、for decibel, the unit of sound level, a name that was chosen to recognize the work of Alexander Graham Bell. I0 in the equation isa standard reference intensity (=10-12 W/m2), chosenbecause it is near the lower limit of the human rangeof hearing. For I=I0 , b b=0 . So the standard reference levelcor
49、responding to zero decibel. Then b b increases by 10 dB every time the sound intensity increases by an order of magnitude (a factor of 10). For example, b b=40, that means the intensity is 104 times of standard reference level.Some Sound Levels (dB)Hearing threshold 0Rustle of Leaves 10Conversation
50、60Rock concert 110Pain threshold 120Jet engine 130 两端开放的声波管两端开放的声波管一端开放一端封闭的声波管一端开放一端封闭的声波管simulation5. 声驻波声驻波 长为长为 L 的声波管只有一端开放情况下的波长的声波管只有一端开放情况下的波长 两端开放声波管的波长两端开放声波管的波长n harmonic number. 相应的频率关系相应的频率关系对应的频率关系：对应的频率关系：6. Beats（略）（略）Two sound waves at a particular location arewhere w1w2 . We assume
51、, for simplicity, that the waveshave the same amplitude. Superposition principle then we haveNow we assume that the angular frequencies w1 and w2 ofthe combining waves are almost equal, which means thatww. We can regard above equation as a sine functionwhose angular frequency is w and whose amplitud
52、e varieswith the angular frequency w in the brackets. We look at the quantities in the bracket, a maximumamplitude will occur whenever has the value +1 and -1, which happens twice in each repetition of thecosine function. wbeat=2w=w1-w2. Because w=2pf, we can recast this as7. Doppler 效应效应 A police c
53、ar, and your car- parking by the side of the highway. The police car sounds its 1000 Hz siren. You will hear the same frequency. However, if there isa relative motion between you and the police car, eithertoward or away from each other, you will hear a different frequency.toward a sourceaway from a
54、sourceYou will hear a higher frequencyYou will hear a lower frequencyThese motion-related frequency changes are examplesof the Doppler effect.D:detectorS:sourcef :emitted frequency by a sourcedetected frequency by a detector If either the detector or the source is moving, or bothare moving, two freq
55、uencies are related bytowardsshift upawayshift downLets discuss it from following two specific situations: The detector moves relative to the air and the source isstationary relative to the air. The source moves relative to the air and the detector isstationary relative to the air.Detector Moving; S
56、ource Stationarywavelength lspeed of wave v In time t, the wavefronts move a distance vt. If the detector is stationary, the detectedfrequency iseigenfrequency emitted by the source If the detector moves with a speed vD towards the source, what does the detector detect?The wavefronts move with speed
57、v + vD ! So the frequency detected by the detector is given bySimilarly, if the detector moves away from the source,the detector find that the wavefronts move a distance(v-vD)t at time interval t. So the frequency detected is(Pay your attention: vs=0 here and ff unless vD=0.)Combining these two equa
58、tions, one has+: towards increase- -: away decreaseSource Moving ; Detector StationarySource Smoves towardsDetector D Close your eyes and think about the situation, if you area detector, what will be changed in this case? If the source moves towardsthe detector, it will be found that the wavelengthd
59、ecreases:So the detected frequency is On the other hand, if the source moves away from thedetector, we haveCombining these two cases, one has- -: towards increase+: away decreaseGenerallyRed shift of spectrumMach cone angle：Assignments:11T13 T16 Assignments:11T17 T20 Assignments:11 T21 T24Study properties of wave with different speeds and even variational speed.
