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1、 几何与代数几何与代数几何与代数几何与代数 主主讲: 关秀翠 东南大学数学系东南大学数学系东南大学数学系东南大学数学系 教学内容和学时分配教学内容和学时分配第四章第四章 n维向量维向量 教教 学学 内内 容容学时数学时数4.1 n维维向量空间向量空间24.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性44.3 子空间的基和维数子空间的基和维数24.4 向量的内积向量的内积24.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构24.7 用用Matlab解题解题 1线线 性性 代代 数数一、主要任务一、主要任务解线性方程组解线性方程组 线性方程组线性方程组方程间方程间的关系的关系向量间向量间的关系的关系矩阵
2、的性矩阵的性质和运算质和运算 行列式行列式的运算的运算 考虑考虑再学再学方程对应一个向量方程对应一个向量再学再学向量组构成矩阵向量组构成矩阵再学再学方阵方阵再学再学核心工具初等变换核心工具初等变换核心工具初等变换核心工具初等变换第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 线性方程组的各种形式：线性方程组的各种形式：1) 一般形式：一般形式：2) 矩阵形式：矩阵形式：3) 向量形式：向量形式：第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构
3、线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 2. 线性方程组的相容性线性方程组的相容性 定理定理. 设设A Rm n, b Rm, 则则 (1)当当r(A, b) = r(A)+1时时, Ax = b无解无解; (2) 当当r(A, b) = r(A) = n时时, Ax = b有唯一解有唯一解;(3) 当当r(A, b) = r(A) n时时, Ax = b有无穷多解有无穷多解, 且通解中含有且通解中含有n r(A)个自由未知量个自由未知量. 推论推论. 设设A Rm n, 则则 (1) 当当r(A) =
4、n时时, Ax = 只只有零解有零解;(2) 当当r(A) n时时, Ax = 有有非零解非零解, 且通解中且通解中含有含有n r(A)个自由未知量个自由未知量. 3.1 3.1 线性方程组和高斯消元法线性方程组和高斯消元法线性方程组和高斯消元法线性方程组和高斯消元法 一一. . 线性方程组解的存在性和唯一性线性方程组解的存在性和唯一性 命题命题. 设设A Rm n, b Rm, 则则 (1) r(A, b) = r(A)+1 Ax = b无解无解; (2) r(A, b) = r(A) = n Ax = b有唯一解有唯一解;(3) r(A, b) = r(A) n Ax = b有无穷多解有无
5、穷多解, 且通解中含有且通解中含有n r(A)个自由未知量个自由未知量. 推论推论. 设设A Rm n, 则则 (1) r(A) = n Ax = 只只有零解有零解;(2) r(A) n Ax = 有有非零解非零解, 且通解中含且通解中含有有n r(A)个自由未知量个自由未知量. 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 命题命题. 设设A Rm n, b Rm, 则则 (1) r(A, b) = r(A)+1 Ax = b无解无解; (2) r(A, b) = r(A) = n
6、Ax = b有唯一解有唯一解;(3) r(A, b) = r(A) n Ax = b有无穷多解有无穷多解, 且通解中含有且通解中含有n r(A)个自由未知量个自由未知量. Ax = b 有解有解 b 能能由列向量由列向量组组 I:A1,An 线性线性表示表示 向量组向量组 I:A1,An与向量组与向量组II:A1,An,b等等价价 r(A) = r(A, b)一一. . 线性方程组解的存在性和唯一性线性方程组解的存在性和唯一性 ？第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 Ax =
7、b 有解有解 b 能能由列向量由列向量组组 I:A1,An 线性线性表示表示 向量组向量组 I:A1,An与向量组与向量组II:A1,An,b等等价价 r(A) = r(A, b)命题命题. 设设A Rm n, b Rm, 则则 (1) r(A, b) = r(A)+1 Ax = b无解无解; (2) r(A, b) = r(A) = n Ax = b有唯一解有唯一解;(3) r(A, b) = r(A) n Ax = b有无穷多解有无穷多解, 且通解中含有且通解中含有n r(A)个自由未知量个自由未知量. Ax = b 有有唯一唯一解解 b 能能能能由列向量组由列向量组由列向量组由列向量组A
8、 A1 1,A An n线性表示线性表示线性表示线性表示, , 表示方式唯一表示方式唯一 r(A) = r(A, b)，且，且A1,An线性无关线性无关 r(A) = r(A, b) = n 一一. . 线性方程组解的存在性和唯一性线性方程组解的存在性和唯一性 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 推论推论. 设设A Rm n, 则则 (1) r(A) = n Ax = 只只有零解有零解;(2) r(A) n Ax = 有有非零非零解解. 一一. . 线性方程组解的存在性和唯一
9、性线性方程组解的存在性和唯一性 Ax = 只有零解只有零解 A1,An线性无关线性无关 r(A) = r(A1,An) = n 只有零解只有零解 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 推论推论. 设设A Rm n, 则则 (1) r(A) = n Ax = 只只有零解有零解;(2) r(A) n Ax = 有有非零非零解解. Ax = 有非零解有非零解 A1,An线性相关线性相关有非零解有非零解 r(A) = r(A1,An) n Ax = 只有零解只有零解 A1,An线性无关
10、线性无关 r(A) = r(A1,An) = n 只有零解只有零解 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 推论推论. 设设A Rm n, 则则 (1) r(A) = n Ax = 只只有零解有零解;(2) r(A) n Ax = 有有非零非零解解. l若有非零解若有非零解, 这些解具有哪些性些解具有哪些性质?也也是是 Ax=0 的解的解.由由 是是Ax=0的解的解, 即即性质性质1也是也是 Ax = 0 的解的解.性质性质2 由由 是是Ax = 0的解的解, 即即 k, 第四章
11、第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 推论推论. 设设A Rm n, 则则 (1) r(A) = n Ax = 只只有零解有零解;(2) r(A) n Ax = 有有非零非零解解. l若有非零解若有非零解, 这些解具有哪些性些解具有哪些性质?若若若若Ax = 0 有非零解有非零解有非零解有非零解, , 则这则这些解的任意些解的任意些解的任意些解的任意线线性性性性组组合仍是合仍是合仍是合仍是解。解。解。解。K(A) = x Rn| Ax = 齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间
12、即即A的核的核空间或空间或零空间零空间l若有非零解若有非零解, 如何找到所有的如何找到所有的(无无穷多个多个)解解? 只要只要找到向量空找到向量空间K(A)的的一个一个基基,就就能表示能表示所有解所有解.(基基础解系解系)第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 二二. 齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系的基础解系1. Ax = 0的一组解的一组解 1, 2, s称为称为一个一个基础解系基础解系:(1) 1, 2, , s 线性无关线性无关; (2) Ax = 0的的任一解任一
13、解都可由都可由 1, 2, , s线性表示线性表示. 那么该方程组的那么该方程组的通解通解就可表示成就可表示成x = k1 1 +k2 2+ks s, 其中其中k1, k2, ,ks为常数为常数. 这种形式的通解称为这种形式的通解称为Ax =0的的结构式通解结构式通解. K(A) = x Rn | Ax = 齐次线性方程组齐次线性方程组的解空间的解空间 注注1 1：基础解系是：基础解系是Ax = 0解向量组的解向量组的极大无关组极大无关组， 所以所以基础解系基础解系不唯一不唯一，且任两，且任两个基础解系个基础解系等价等价. .第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4
14、.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 向量组的极大无关组向量组的极大无关组 (i) I0l.i.; (ii) II0,I0, l.d. I可由可由I0线性性表示表示命命题：如果：如果r( 1, 2, s)= r, 则 1, 2, s中任意中任意r个个线性性无关的向量均无关的向量均为 1, 2, s的极大无关的极大无关组. 极大无关极大无关组不唯一，任两个极大无关不唯一，任两个极大无关组都等价，都等价，且含有相同个数且含有相同个数(秩秩)的向量的向量. 向量空向量空间V的基的基为向量向量组V中的中的极大无关极大无关组. V的的维数维数为向量向量组
15、的的秩秩. 齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间V=x Rn| Ax=0的基础的基础解系解系为向量向量组V的的极大无关极大无关组, V的的维数维数为n r(A). 向量组向量组极大无关组极大无关组向量空向量空间. 基基解空间解空间定理定理4.14 设设A Rm n, r(A)=rn,则则dim(K(A)=n r即即Ax = 的的任一任一基础解系中均含有基础解系中均含有n r个解向量个解向量. x x1 1 = = c c1,1,r r+1+1x xr r+1+1 + + c c1,1,r r+2+2x xr r+2+2 + + + + c c1 1n nx xn n x x2 2 =
16、= c c2,2,r r+1+1x xr r+1+1 + + c c2,2,r r+2+2x xr r+2+2 + + + + c c2 2n nx xn n x xr r = = c cr r, ,r r+1+1x xr r+1+1 + + c cr r, ,r r+2+2x xr r+2+2 + + + + c crnrnx xn n x xr r+1+1 = = x xr r+1+1 x xr r+2+2 = = x xr r+2+2 x xn n = = x xn n n r个个自由自由未知量未知量A初等行变换初等行变换证明：证明：B为行最简形矩阵为行最简形矩阵r(B) = r(A)
17、= r Bx = 0有有 n r 个自由未知量个自由未知量.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 = = x xr r+1+1 + + x xr r+2+2 + + + + x xn n x x1 1 x x2 2 x xr r x xr r+1+1x xr r+2+2 x xn n c c1,1,r r+1+1 c c2,2,r r+1+1 c cr r, ,r r+1+1 1 10 00 0c c1,1,r r+2+2 c c2,2,r r+2+2 c cr r, ,r r
18、+2+2 0 01 1 0 0 c c1 1n n c c2 2n n c crnrn 0 00 01 1线性线性无关无关增维也增维也无关无关= xr+1 1 + xr+2 2 + + xn n-r 1 , 2 , , n-r 线性无关线性无关任意解任意解x可由其线性表示可由其线性表示基础解系基础解系定理定理4.14 设设A Rm n, r(A)=rn,则则dim(K(A)=n r即即Ax = 的的任一任一基础解系中均含有基础解系中均含有n r个解向量个解向量. 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结
19、构线性方程组的解的结构 为一基为一基础解系，础解系，c c1,1,r r+1+1 c cr r, ,r r+1+1 1 10 00 0c c1,1,r r+2+2 c cr r, ,r r+2+2 0 01 1 0 0 c c1 1n n c crnrn 0 00 01 1 1 1 = , = , 2 2 = , = , n n r r = = 含有含有n r个解向量个解向量.设设 1 1, , 2 2, , , t t为为任一任一基础解系基础解系. 则则 1 1, , 2 2, , , t t线性无关，且与线性无关，且与线性无关，且与线性无关，且与 1 1, , 2 2 , , n r等价等
20、价.t =n r 即即任一基础解系中均含有任一基础解系中均含有n r个解向量个解向量. 定理定理4.14 设设A Rm n, r(A)=rn,则则dim(K(A)=n r即即Ax = 的的任一任一基础解系中均含有基础解系中均含有n r个解向量个解向量. 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 性质性质1. 与基础解系等价的线性无关向量组也与基础解系等价的线性无关向量组也 是是基础解系基础解系.性质性质2. 若若A Rm n, r(A) = r, 则则Ax = 的任意的任意n r个
21、线性无关的解向量都是个线性无关的解向量都是Ax = 的基础解系的基础解系.3. 解解Am n x = 的一般步骤的一般步骤 A A初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 行行行行阶阶阶阶梯梯梯梯阵阵阵阵r r( (A A) ) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %变量量r对应的系数矩的系数矩阵 C=A,-eye(16
22、); %系数矩系数矩阵(A, E ) C1=rref(C) %求行最求行最简形形C1=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
23、0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1
24、 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 d24, d32, d34, d
25、41, d42,d43, d44随心所欲构造随心所欲构造Drer魔方魔方=(dij) Ar D = 016维变量量y (A, E) = 0ry自由自由变量可取量可取为d24, d32, d34, d41, d42,d43, d4416 3213510 11896712415 14 1110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 7第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 %程序程序mymagic.m%输入入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d4
26、4，得到整个，得到整个Drer魔方魔方 d=input(please input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %变量量r对应的系数矩的系数矩阵 C=A,-eye(16); %系数矩系数矩阵(A, E ) x=null(C,r); %求求
27、齐次方程次方程组的基的基础解系解系 y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4) +d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7); %基基础解系的解系的线性性组合合 y=y(8:23,:); %y为16维魔方向量魔方向量 D=vec2mat(y,4,4) %将将y转化化为4阶魔方魔方阵mymagicplease input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:6 3 15 20 09 12 7随心所欲构造随心所欲构造Drer魔方魔方110 17 2011 26 5616 314
28、 1520 09 12 7第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 (2)任任给d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一的一组值，就，就可得唯一确定可得唯一确定Drer魔魔方的其他值方的其他值.110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 7还不够随心所欲？还不够随心所欲？赋予魔方更予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由自由变量的量的选取不唯一取不唯一(3)任任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一的
29、一组值，也，也可得唯一确定可得唯一确定Drer魔魔方的其他值方的其他值.6 67 79 98 85 59 97 7125861146710还不够随心所欲？还不够随心所欲？(3)任任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一的一组值，也，也可得唯一确定可得唯一确定Drer魔魔方的其他值方的其他值.6 67 79 98 85 59 97 7赋予魔方更予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由自由变量的量的选取不唯一取不唯一125861146710由由d43+26=d43+62+d13.6 614149 948488 87 71111如何如何选取自由取自由变量？量？ 3636由
30、由x+26=x+24+d14. 3333xx+22 2x+3x+46x 39x+54由由x+26=3x+24.可得可得 x = 1.还不够随心所欲？还不够随心所欲？(3)任任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一的一组值，也，也可得唯一确定可得唯一确定Drer魔魔方的其他值方的其他值.6 67 79 98 85 59 97 7赋予魔方更予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由自由变量的量的选取不唯一取不唯一125861146710由由d43+26=d43+62+d13.如何如何选取自由取自由变量？量？由由x+26=x+24+d14. 3333由由x+26=3x+24
31、.可得可得 x = 1.6 614149 948488 87 71111 3636132 244755-38r2 = r1+1 无解无解 r2 = r1=n 唯一解唯一解 r2 = r1 n 无穷多解无穷多解 基础解系的基础解系的基础解系的基础解系的本质本质本质本质是解向量组的极大无关组是解向量组的极大无关组是解向量组的极大无关组是解向量组的极大无关组, ,维数为维数为维数为维数为n-rn-r( (A A) )二二. 齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系的基础解系K(A) = x Rn | Ax = 齐次线性方程组齐次线性方程组的解空间的解空间一一. . 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性
32、 ( (Ax = b) )r1=r(A), r2=r(A, b).A A初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 行行行行阶阶阶阶梯梯梯梯阵阵阵阵r r( (A A) ) n n? ?行行行行最最最最简简简简形形形形取非主列对取非主列对取非主列对取非主列对应的变量为应的变量为应的变量为应的变量为自由未知量自由未知量自由未知量自由未知量; ;令其为令其为令其为令其为e e1 1, , ,e en-rn-r, , 求求求求得通解得通解得通解得通解. .只有零解只有零解只有零解只有零解N N初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 Y Y第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.
33、5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 三三. . 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的一般解的一般解 1. 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax = 0 称为非齐次线性称为非齐次线性 方程组方程组Ax = b 的的导出组导出组.性质性质1. 设设 1, 2都是都是 Ax = b 的解的解, 则则 1 2是是 Ax = 0的解的解.性质性质2. 是是Ax = b的解的解, 是是Ax = 0 的解的解, 则则 + 是是Ax = b的解的解.2.非齐次线性方程组的解向量的性质非齐次线性方程组的解向量的性质 A( 1 2) = A 1A 2 = b b
34、 = 0A( + ) = A +A = b + 0 = b第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 定理定理4.15.设设 0是是Ax = b的一个解的一个解, 1, , n r是是Ax = 0 的的基础解系基础解系, 则则Ax = b的的结构式结构式通解通解为为 x = 0 + k1 1 +kn r n r .称称 0为为Ax = b的一个的一个特解特解.证明证明:Ax = A( 0+k1 1 +kn r n r )=A 0=b.对任意对任意Ax = b的解的解x, k1,kn
35、r, s.t. x 0 = k1 1 +kn r n r , x = 0 + k1 1 +kn r n r . x 0 为为 Ax = 0 的解的解,第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 3. 解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组Am n x = b的一般步骤的一般步骤( (A bA b) )初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 行行行行阶阶阶阶梯梯梯梯阵阵阵阵r r( (A A) = ) = r r( (A bA b) )? ?行行行行最最最最简简简简形形形形无解无解无解
36、无解N N初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 Y Y令非主列令非主列令非主列令非主列变量为变量为变量为变量为e e1 1, , ,e en-rn-r, , 求求求求得基解得基解得基解得基解; ;令其为令其为令其为令其为0, 0,求得特解求得特解求得特解求得特解. .定理定理4.15.设设 0是是Ax = b的一个解的一个解, 1, , n r是是Ax = 0 的的基础解系基础解系, 则则Ax = b的的结构式结构式通解通解为为 x = 0 + k1 1 +kn r n r .称称 0为为Ax = b的一个的一个特解特解.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4
37、.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 解解:初等初等行行变换变换方程组的通解为方程组的通解为例例5. 求方程组求方程组 的通解的通解. 10121/21/2注注注注: : : :求基础解系求基础解系求基础解系求基础解系时右端向量为时右端向量为时右端向量为时右端向量为0 0 0 0 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 四四. . 线性方程组在解析几何中的应用线性方程组在解析几何中的应用1. 两直线的相对位置两直线的相对位置 A1
38、x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 L1:L2: A3x + B3y + C3z + D3 = 0 A4x + B4y + C4z + D4 = 0 r2= r1+1平行或异面平行或异面 r2=r1=3交于一点交于一点 r2= r1=2 3重合重合 记记A = A1 B1 C1 A2 B2 C2A3 B3 C3A4 B4 C4, A =A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2A3 B3 C3 D3A4 B4 C4 D4. r(A)=r1r(A)=r2第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方
39、程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 2. 三平面的相对位置三平面的相对位置 1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0 r2= r1+1 无解无解 平行或平行或“ ”或或“” r2= r1= 3 交于一点交于一点 r2= r1 =2 3 交于一线交于一线 r2= r1 =1 3 三平面重合三平面重合 记记A = A1 B1 C1 A2 B2 C2A3 B3 C3 , A =A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2A3 B3 C
40、3 D3. r(A)=r1r(A)=r2基础解系基础解系本质是解向量组的极大无关组本质是解向量组的极大无关组, 维数为维数为n-r(A)(1) r r( (A A, ,b b) =) = r r( (A A)+1)+1 AxAx= =b b无解无解无解无解b b不能由不能由不能由不能由A A的列向量的列向量的列向量的列向量(2)组线性表示组线性表示组线性表示组线性表示直线直线直线直线( (或平面或平面或平面或平面) )间无公共点间无公共点间无公共点间无公共点; ;(3)(2)(2) r r( (A A, ,b b)=)=r r( (A A) )= =n n AxAx= =b b有唯一解有唯一解
41、有唯一解有唯一解 b b可由可由可由可由A A的列向的列向的列向的列向(4)量组唯一地线性表示量组唯一地线性表示量组唯一地线性表示量组唯一地线性表示 直线直线直线直线( (或平面或平面或平面或平面) )间有唯一公共间有唯一公共间有唯一公共间有唯一公共点点点点; ;(5)(3) (3) r r( (A A, ,b b)= )= r r( (A A) ) n n Ax Ax= =b b有无穷多解有无穷多解有无穷多解有无穷多解, , 且通解中含且通解中含且通解中含且通解中含有有有有(6)n n r r( (A A) )个自由变量个自由变量个自由变量个自由变量, , AxAx= =0 0的基础解系有的
42、基础解系有的基础解系有的基础解系有n n r r( (A A) )个个个个解向量解向量解向量解向量(7)b b可由可由可由可由A A的列向量组线性表示的列向量组线性表示的列向量组线性表示的列向量组线性表示, , 但表示方式不唯一但表示方式不唯一但表示方式不唯一但表示方式不唯一 (8) 直线直线直线直线( (或平面或平面或平面或平面) )重合或平面交于一条直线重合或平面交于一条直线重合或平面交于一条直线重合或平面交于一条直线. .x = 0 + k1 1 +kn r n r . 一一. . 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性二二. 齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系的基础解系三三. . 非
43、齐次线性方程组非齐次线性方程组的一般解的一般解 例例6 A Rm n, b Rm, 判断判断下列命下列命题是否是否正正确确.(1)若若Ax=0只有零解只有零解,则Ax=b有有唯一解唯一解.答答:错, 因因r(A)=n, r(A)= n = r(A, b)(2)若若Ax=0有非零解有非零解,则Ax=b有无有无穷多解多解.答答:错, 因因r(A)n, r(A)= r(A, b) ?(3)若若Ax=b唯一解唯一解,则Ax=0只有零解只有零解.答答:对, r(A)= r(A, b) =n.?r(A)=n(5)若若r(A)=r =m,则Ax=b必有解必有解. 答答:对, r(A)=r =m= r(A,
44、b) .(6)若若r(A)=r =n, 则Ax=b必有唯一解必有唯一解.答答:错, A为m n,当当m n时, 可有可有r(A, b) =n+1.(4)若若Ax=0有非零解有非零解,则ATx=0也有非零解也有非零解. 答答:错,比如：比如：A为m n, r(A)=m n, r(AT)=m, 这时ATx=0只有零解只有零解. 例如例如A为3 4, R(A)=3 4, r(AT)=3=m.例例6 A Rm n, b Rm, 判断判断下列命下列命题是否是否正正确确.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 例例7. 证明明r(ATA) = r(A). 证明明: 设A为s n的矩的矩阵, x为n维列向量列向量. 进而得而得r(ATA) = r(A). 一方面一方面Ax = (ATA)x = , xT(ATA)x = 0 |Ax|2 = (Ax)T(Ax) = 0 Ax = . 可可见Ax = 解必解必为(ATA)x = 的解的解. 另一方面另一方面(ATA)x = 故故Ax = 与与(ATA)x = 同解同解, 因此因此nr(ATA) = nr(A).
