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1、第七章第七章 二次型二次型第一节第一节 二次型及化二次型为标准形二次型及化二次型为标准形1引入引入: : 解析几何中二次曲线的一般方程为解析几何中二次曲线的一般方程为二次项二次项一次项一次项常数项常数项平方项平方项交叉项交叉项若仅考虑二次项若仅考虑二次项:二元二次齐次多项式函数二元二次齐次多项式函数推广推广n元二次齐次多项式函数元二次齐次多项式函数2一、二次型的概念一、二次型的概念称为二次型，简记为称为二次型，简记为 . .定义定义1 含有含有 个变量个变量 的二次齐次多项式函数的二次齐次多项式函数当当 是复数时，是复数时， 称为复二次型；称为复二次型；当当 是实数时，是实数时， 称为实二次型
2、称为实二次型. .本章只研究实二次型本章只研究实二次型. .3例如例如都为二次型；都为二次型；而而，则不是二次型，则不是二次型.只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形称为二次型的标准形定义定义24二、二次型的矩阵表示方法二、二次型的矩阵表示方法对二次型对二次型若取若取 ，则则56若记若记则二次型可记作：则二次型可记作：其中其中 为一个对称矩阵为一个对称矩阵. .在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之，任给一个对称
3、矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在之间存在一一对应一一对应的关系的关系7对二次型对二次型定义定义3对称矩阵对称矩阵 叫做二次型叫做二次型 的矩阵；的矩阵； 叫做对称矩阵叫做对称矩阵 的二次型；的二次型； 对称矩阵对称矩阵 的秩叫做二次型的秩叫做二次型 的秩的秩. . 8解解例例1 写出对称矩阵所对应的二次型写出对称矩阵所对应的二次型9解解例例2 求二次型求二次型的矩阵及秩，并将其表示成矩阵形式的矩阵及秩，并将其表示成矩阵形式. .所以二次型所以二次型 的矩阵为：的矩阵为：又又 ，所以，所以 的秩为的秩为3. .且且 的矩阵形式为：的矩阵形式为：注注 标准形的矩阵为对角
4、阵标准形的矩阵为对角阵. .10三、化二次型为标准形三、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形为标准形（1）线性变换线性变换定义定义4 称称为由变量为由变量 到到 的线性变换的线性变换. .11若记若记则上述线性变换可记作矩阵形式：则上述线性变换可记作矩阵形式：若若 ，即，即 可逆，则称可逆，则称 为为可逆线性变换可逆线性变换. .12（2）对二次型作可逆线性变换对二次型作可逆线性变换则有则有令令 ，显然显然 为对称矩阵为对称矩阵. . 若对二次型若对二次型作可逆线性变换：作可逆线
5、性变换：则则 ，为一个关于变量为一个关于变量 的二次型的二次型. .13定义定义5 对对 阶矩阵阶矩阵 ，若存在，若存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得则称矩阵则称矩阵 与与 合同合同. .注注 1. 经过可逆线性变换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的，即对二经过可逆线性变换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的，即对二次型进行可逆线性变换就相当于对二次型的矩阵进行合同变换次型进行可逆线性变换就相当于对二次型的矩阵进行合同变换. .对对 进行的运算进行的运算 称为对称为对 进行合同变换进行合同变换. .2. 可逆线性变换不改变二次型的秩可逆线性变换不改变二次型的秩. .14（3
6、）用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形定义定义6 若若 为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换称为正交变换. .将此结论应用于二次型有如下定理将此结论应用于二次型有如下定理: :定理定理1 任给二次型任给二次型 ，总存在，总存在正交变换正交变换 ，使，使 化为标准形化为标准形其中其中 是是 的矩阵的矩阵 的全部特征值的全部特征值. . 由前章内容知道，对任意的实对称矩阵由前章内容知道，对任意的实对称矩阵 ，存在正交矩阵，存在正交矩阵 ，使得，使得 ，即即 . .15用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤1. 写出二次型写出二
7、次型 的矩阵的矩阵 ；3. 求出对应于特征值的特征向量求出对应于特征值的特征向量 ；4. 将将 正交化，单位化，得正交化，单位化，得 ；2. 求出求出 的所有特征值的所有特征值 ；则得则得 的标准形：的标准形：5. 令令 ，作正交变换，作正交变换 ，16例例3 将二次型将二次型通过正交变换通过正交变换 ，化成标准形，化成标准形. .解解从而得特征值从而得特征值1、写出对应的二次型矩阵，并求其特征值、写出对应的二次型矩阵，并求其特征值172、求特征向量、求特征向量3、将特征向量正交化、将特征向量正交化得正交向量组：得正交向量组：令令184、将正交向量组单位化、将正交向量组单位化令令5、构造正交矩
8、阵、构造正交矩阵令令19则原二次型经过正交变换则原二次型经过正交变换 ，即即可化为标准形：可化为标准形：20注注 1、二次型的化简，在理论和实际中经常遇到。正交变换化二次型为标准型的方、二次型的化简，在理论和实际中经常遇到。正交变换化二次型为标准型的方法，是通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简问题转法，是通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简问题转化为对称矩阵的对角化问题，而这是已经解决了的问题。化为对称矩阵的对角化问题，而这是已经解决了的问题。2、实二次型的化简，并不局限于使用正交变换法，根据二次型本身的特点，也能找、实二次型的化简，并不局限于使
9、用正交变换法，根据二次型本身的特点，也能找到另外一些可逆线性变换化二次型为标准型，如拉格朗日配方法。到另外一些可逆线性变换化二次型为标准型，如拉格朗日配方法。3、用正交变换化二次型为标准形的方法可以保持二次型图像的大小、夹角都不变。、用正交变换化二次型为标准形的方法可以保持二次型图像的大小、夹角都不变。 而一般的可逆线性变换化二次型为标准型可能会使得图形的几何形状发生变化。而一般的可逆线性变换化二次型为标准型可能会使得图形的几何形状发生变化。21化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次曲线表示何种二次曲线. .例例4 求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型解解二次型矩阵为二次型
10、矩阵为可得特征值为：可得特征值为：22对应的特征向量分别为：对应的特征向量分别为：将其单位化得：将其单位化得：23故可对原二次型作正交变换故可对原二次型作正交变换可化原二次型为：可化原二次型为：可知可知 表示椭圆表示椭圆. .24小结：小结：将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法正交变换法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于不同问题的不同要求：如果要求找出一个正交矩阵，无疑或者其它方法，这取决于不同问题的不同要求：如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用用 但是需要注意的是，但是需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数就等于所给二次型的秩中含有的项数必定相同，项数就等于所给二次型的秩25
