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1、第四章第四章 非线性方程数值求解非线性方程数值求解 4.1 一元方程求根1）问题的提出问题的提出 满足函数方程满足函数方程 f(x)=0 (1)f(x)=0 (1)的的x x称为方程称为方程(1)(1)的的根根，或称为函数，或称为函数f(x)f(x)的的零点零点。如果。如果函数函数 ( (x)x)可分解为可分解为 ( (x)=(xx)=(x s)s)m mg(x)g(x)且且g(g(s s ) ) 0,0,则称则称s s是是 ( (x)x)的的m m重零点或重零点或 ( (x)=0x)=0的的m m重根。重根。当当m=1m=1时，称时，称s s是是 ( (x)x)的单根的单根 或单零点。或单零
2、点。若若f(x)f(x)不不是是x x的线性函数的线性函数, , 则称则称(1)(1)为为非线性方程非线性方程, , 特特别地别地, , 若若f(x)f(x)是是n n次次多项式，则称多项式，则称(1)(1)为为n n次多项式方程次多项式方程或或代数方程代数方程；若；若f(x)f(x)是超越函数，则称是超越函数，则称(1)(1)为为超越方程超越方程。 2理论上已证明理论上已证明，对于次数，对于次数n=4n=4的多项式方程的多项式方程, ,它的根它的根可以用公式表示可以用公式表示, ,而次数大于而次数大于5 5的多项式方程的多项式方程, ,它的根它的根一般不能用解析表达式表示一般不能用解析表达式
3、表示. .因此对于因此对于f(x)=0f(x)=0的函数的函数方程方程, ,一般来说一般来说, ,不存在根的解析表达式不存在根的解析表达式, ,而实际应用而实际应用中中, ,也不一定必需得到求根的解析表达式也不一定必需得到求根的解析表达式, ,只要得到只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。常用的求根满足精度要求的根的近似值就可以了。常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。方法分为区间法和迭代法两大类。求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。化。求根方法中最直观最简单的方法是二分法求根方法中最直观最简单的方法是二分法。32)2)预备知识预备
4、知识定理定理1 1.(.(根的存在定理根的存在定理) ) 假设函数假设函数y=f(x)y=f(x) C C a,ba,b , ,且且f(a)f(b)0, f(a)f(b)0, 则至少存在一点则至少存在一点x x (a,b)(a,b)使得使得f(x )=0.f(x )=0.( (并称区间并称区间( (a,b)a,b)为有根区间为有根区间) )定理定理2 2. . 假设函数假设函数y=f(x)y=f(x)在在 a,ba,b 上单调连续上单调连续, ,且且f(a)f(b)0, f(a)f(b)0, 则恰好只存在一点则恰好只存在一点x x (a,b)(a,b)使得使得f(x )=0f(x )=0定理定
5、理3 3. . 假设函数假设函数y=f(x)y=f(x)在在x=sx=s的某一邻域内充分可微，的某一邻域内充分可微，则则s s是方程是方程f(x )=0f(x )=0的的m m重根的充分必要条件是重根的充分必要条件是 41)1)问题问题 给定方程给定方程f(x)=0,f(x)=0,设设f(x)f(x)在区间在区间 a,ba,b连续连续, ,且且f(a)f(b)0,f(a)f(b)0, 使使 则称序列则称序列是是 p阶阶收敛收敛, 相应的迭代法称为相应的迭代法称为p阶方法阶方法. 特别地特别地, p = 1, 称线性收敛称线性收敛; 1p1),则利用m构造新的迭代公式: 此时, , 至少2阶收敛
6、. 不实用: m往往不确定.方法二方法二. 取 ,再对函数F(x)用Newton迭代:此时,X*为F(x)的单根,所以是2阶收敛. 但要用到二阶导数.6. 6. 6. 6. NewtonNewtonNewtonNewton法的改进法的改进法的改进法的改进( ( ( (I)-I)-I)-I)-重根情形重根情形重根情形重根情形46NewtonNewton迭代法迭代法需要求每个迭代点处的导数需要求每个迭代点处的导数 f (xk)复杂！复杂！这种格式称为这种格式称为简化简化NewtonNewton迭代法迭代法精度稍低精度稍低6. 6. 6. 6. NewtonNewtonNewtonNewton法的改
7、进法的改进法的改进法的改进( ( ( (II)II)II)II)47则则NewtonNewton迭代法变为迭代法变为这种格式称为这种格式称为弦截法弦截法( (割线法割线法) )（书（书P111 P111 例题例题4.74.7）收敛阶约为收敛阶约为1.6181.61848 例例例例4.4 4.4 用简化用简化Newton法和弦截法解下面方程的根，并和法和弦截法解下面方程的根，并和Newton 迭代法比较迭代法比较 解解解解: :由简化由简化Newton法法由弦截法由弦截法由由Newton迭代法迭代法49x0= 0.5x1= 0.3333333333x2 = 0.3497942387x3 = 0.
8、3468683325x4 = 0.3473702799x5 = 0.3472836048x6 = 0.3472985550x7 = 0.3472959759x8 = 0.3472964208x9 = 0.3472963440x10 = 0.3472963572x11 = 0.3472963553x0=0.5;x1=0.4;x2 = 0.3430962343x3 = 0.3473897274x4 = 0.3472965093x5 = 0.3472963553x6 = 0.3472963553简化简化Newton法法由弦截法由弦截法要达到精度要达到精度10-8 简化简化Newton法迭代法迭代11
9、次次弦截法迭代弦截法迭代5次次Newton迭代法迭代法迭代迭代4次次x0 =0.5;x1 =0.3333333333x2 =0.3472222222x3 =0.3472963532x4 =0.3472963553由由Newton迭代法迭代法50无论哪种迭代法：无论哪种迭代法：NewtonNewton迭代法迭代法简化简化NewtonNewton法法弦截法弦截法用用NewtonNewton迭代法求解迭代法求解: :x0 = 2x1 = -3.54x2 = 13.95x3 = -279.34x4 = 122017是否收敛均与初值的位置有关是否收敛均与初值的位置有关. .例例例例: : : :x0 =
10、1x1 = -0.5708x2 = 0.1169x3 = -0.0011x4 = 7.963110-10x5 = 0收敛收敛发散发散迭代法的迭代法的迭代法的迭代法的局部收敛性局部收敛性局部收敛性局部收敛性516.6.NewtonNewton法的改进法的改进法的改进法的改进( (III):III):牛顿下山牛顿下山法法 一般地说，牛顿法的收敛性依赖于初值 的选取，如果 偏离 较远，则牛顿法可能发散。 为了防止发散，通常对迭代过程再附加一项要求，即保证函数值单调下降： 满足这项要求的算法称为下山法下山法。 牛顿下山法牛顿下山法采用以下迭代公式：其中 称为下山因子。 牛顿下山法只有线性收敛牛顿下山法
11、只有线性收敛.52第四章第四章 非线性方程数值求解非线性方程数值求解略略- 4.4 Aitken加速方案/Steffensen迭代法简单迭代公式的加速简单迭代公式的加速 设 是根 的某个近似值，用迭代公式校正一次得假设 ， 则有据此可导出如下加速公式：其一步分为两个环节： 迭代: 改进:5455埃特金迭代法求方程的实根56定理定理4.4.1设序列 线性收敛于x*, 则 的Aitken序列 存在,且 即 比 更快收敛于x*.5758SteffensenSteffensen迭代迭代在Aitken加速法中,只要有三个相邻的点就可以进行家速,即对任意线性收敛序列 构建的. 现将其与不 动点迭代 方法结合起来: 迭代函数 迭代初始值 迭代序列59或写成不动点迭代形式60复习题复习题4（4.2除外）；除外）；例题例题4.2习题习题4.3、4.5、4.10Seeyounexttime!61
