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1、第四章第四章 高阶线性微分方程高阶线性微分方程Higher-Order Linear ODE2024/8/111 1高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人 4.1 4.1 高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论 4.2 4.2 常系数高阶线性方程的解法常系数高阶线性方程的解法 4.3 4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法高阶方程的降阶和幂级数解法本章内容本章内容/Main Contents/CH.4 Higher-Order Linear ODE2024/8/112 2高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人 理解高阶线性方程解的性质和解的结构理解高阶线性
2、方程解的性质和解的结构 熟练掌握常系数高阶线性方程的解法熟练掌握常系数高阶线性方程的解法本章要求本章要求/Requirements/ 掌握高阶方程的一般解法掌握高阶方程的一般解法CH.4 Higher-Order Linear ODE2024/8/113 3高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人 4.1 4.1 高阶线性微分方程的高阶线性微分方程的 一般理论一般理论/General Theory of Higher-Order Linear ODE/高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人-重庆科技学院-李可人-重庆科技学院-李可人-重庆科技学院-李可人 理解高阶齐次
3、线性方程解的性质和解的结构理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构 理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求本节要求/Requirements/2024/8/115 5高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人n 阶线性微分方程一般形式：阶线性微分方程一般形式：其中其中是区间是区间上的连续函数。上的连续函数。 称它为称它为 n 阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程，而方程（，而方程（4.14.1）为）为 n 阶非阶非齐次线性微分方程齐次线性微分方程。4.1.1 引言引言 /Introducation/ n 阶微分方程一般形式：阶微分方程一
4、般形式：2024/8/116 6高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人方程（方程（4.1）的解的存在唯一性定理）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：上，且满足初始条件：定理定理1 1及及都是区间都是区间则对于任一则对于任一及任意的及任意的方程（方程（4.14.1）存在）存在，定义于区间，定义于区间上的连续函数上的连续函数, ,唯一解唯一解如果如果2024/8/117 7高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人4.1.2 4.1.2 齐线性方程解的性质与结构齐线性方程解的性质与结构 定理定理2 2 （叠加原理）（叠加原理）如果如果则它们的线性组合则它们的线性组合
5、的的解，这里解，这里是任意常数。是任意常数。是方程（是方程（4.2）也是（也是（4.2）的的k个解，个解，例例有解有解2024/8/118 8高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人证明证明2024/8/119 9高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人问题问题：时，若时，若能否成为方程（能否成为方程（4.2）的通解？）的通解？ 不一定不一定不包含解不包含解要使要使为方程（为方程（4.2）的通解）的通解还需满足一定的条件。还需满足一定的条件。?当当是齐线性方程的解，是齐线性方程的解，如在上例中如在上例中2024/8/111010高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学
6、院-李可人函数线性无关和相关函数线性无关和相关定义在定义在上的函数上的函数，如果存在，如果存在使得恒等式使得恒等式不不全为零的常数全为零的常数 对所有对所有成立，成立，称这些函数是称这些函数是线性相关线性相关的，否则称是的，否则称是线性无关线性无关的。的。如如上线性无关上线性无关上线性相关上线性相关上线性无关上线性无关要使得要使得则则2024/8/111111高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人定义在定义在区间上的区间上的 k个可微个可微 k-1次的函数次的函数所作成的行列式所作成的行列式称为这些函数的称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式。 伏朗斯基行列式伏朗斯基行列式
7、2024/8/111212高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人 定理定理3 3在区间在区间上线性相关，上线性相关，上它们的伏朗斯基行列式上它们的伏朗斯基行列式。则在则在证明证明 由假设，即知存在一组不全为零的常数由假设，即知存在一组不全为零的常数 （4.64.6） （4.74.7）使得使得依次对依次对 t 微分此恒等式，得到微分此恒等式，得到若函数若函数的齐次线性代数方程组，的齐次线性代数方程组，关于关于2024/8/111313高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人它它的系数行列式的系数行列式方程方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即存在非零解的充要条
8、件是系数行列式必须为零，即由线性代数理论由线性代数理论证毕证毕其逆定理是否成立？其逆定理是否成立？ 例如：例如： 即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。无关的。不一定不一定2024/8/111414高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人故故是线性无关的。是线性无关的。2024/8/111515高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人如果方程如果方程(4.2)(4.2)的解的解在区间在区间上线性无关，则上线性无关，则任何点上都不等于零，即任何点上都不等于零，即在这个区间的在这个区间的定理定理4设有某个
9、设有某个，使得，使得考虑关于考虑关于的齐次线性代数方程组的齐次线性代数方程组证明证明 反证法反证法（4.94.9）2024/8/111616高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人其系数行列式其系数行列式，故（，故（4.94.9）有非零解）有非零解构造函数构造函数 根据叠加原理，根据叠加原理，是方程（是方程（4.2）的解，且满足初始条件）的解，且满足初始条件由解的唯一性知由解的唯一性知，即，即 因为因为不全为不全为0 0，与，与的假设矛盾。的假设矛盾。（4.104.10）另另 也是方程也是方程(4.2)(4.2)的解，的解，线性无关线性无关证毕证毕也满足初始条件（也满足初始条件（4
10、.10）2024/8/111717高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人1818定理定理5 5 n 阶齐线性方程阶齐线性方程(4.2)(4.2)一定存在一定存在 n 个线性无关的解，个线性无关的解，线性相关线性相关定理定理4定理定理3重要结论重要结论方程方程(4.2)(4.2)的解的解在区间在区间上线性无关上线性无关的充分必要条件是的充分必要条件是且任意且任意 n+1个解都线性相关。个解都线性相关。证明证明在在 上连续，取上连续，取则满足条件则满足条件存在唯一。存在唯一。2024/8/111818高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人线性无关。线性无关。即齐线性方程
11、即齐线性方程(4.2)一定存在一定存在 n 个线性无关的解。个线性无关的解。任取方程任取方程(4.2)的的n+ 1个解，个解，2024/8/111919高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人任意任意 n+1个解都线性相关。个解都线性相关。2024/8/112020高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人 定理定理6 6（通解结构通解结构） 其中其中是任意常数，是任意常数，且通解（且通解（4.11）是方程（是方程（4.24.2）的）的n个线性个线性无关的解，则方程（无关的解，则方程（4.24.2）的通解可表为）的通解可表为（4.114.11）包括包括方程（方程（4.24
12、.2）的所有解。）的所有解。l方程方程(4.2)(4.2)的一组的一组n n个线性无关解称为它的一个个线性无关解称为它的一个基本解组基本解组。如果如果ln 阶齐线性方程的所有解构成一个阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。维线性空间。2024/8/112121高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人 4.1.3 非齐线性方程与常数变易法 性质性质1 1 如果如果是方程（是方程（4.14.1）的解，而）的解，而（4.24.2）的解，则）的解，则性质性质2 2 方程（方程（4.14.1）的任意两个解之差必为方程（）的任意两个解之差必为方程（4.24.2）的解。）的解。是方程是方
13、程也是方程（也是方程（4.14.1）的解。）的解。2024/8/112222高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人是任意常数，且通解（是任意常数，且通解（4.144.14）包括）包括定理定理7 7为方程（为方程（4.24.2）的基本解组，）的基本解组，是方程（是方程（4.14.1）的某一解，则方程（）的某一解，则方程（4.14.1）的通解为）的通解为其中其中（4.144.14）设设方程（方程（4.1）的所有解。）的所有解。证明证明1)（4.14）一定是方程（）一定是方程（4.1）的解，且含有）的解，且含有n个独立个独立的任意常数，是通解。的任意常数，是通解。2)是方程（是方程（4
14、.14.1）的任一个解，则）的任一个解，则是方程是方程（4.2）的解）的解证毕证毕2024/8/112323高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人设设为方程（为方程（4.24.2）的基本解组，）的基本解组，为（为（4.24.2）的通解。）的通解。（4.154.15）（4.164.16）非齐线性方程非齐线性方程齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解非齐线性方程通解特解特解基解组基解组表示表示关键关键常数变易法常数变易法为（为（4.1）的解。）的解。2024/8/112424高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人令令2024/8/112525高阶线性微分方程的一般理论课件
15、-重庆科技学院-李可人（4.16）代入方程（4.1）2024/8/112626高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人方程组有唯一的解，设为方程组有唯一的解，设为（4.16）2024/8/112727高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人特解特解通解通解非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构结构:通解与自身的一个特解之和。通解与自身的一个特解之和。2024/8/112828高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人例例1 1 求方程求方程基本解组为基本解组为，的通解，已知它对应齐线性方程的的通解，已知它对应齐线性方程的解
16、解解得解得原方程的通解为原方程的通解为 令令2024/8/112929高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人3030例例2 2 求方程求方程于域于域解解 对应的齐线性方程为对应的齐线性方程为上的所有解。上的所有解。得得 易见有基本解组易见有基本解组这里这里 A、B 为任意常数。为任意常数。设设 为方程的解为方程的解 故得原方程的通解故得原方程的通解 （为任意常数为任意常数) 2024/8/113030高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人练习题练习题，并求方程，并求方程的的基本解组为基本解组为1 1 验证验证的通解。的通解。 2 2 求方程求方程方程的方程的基本解组为基本解组为，的通解，已知它对应齐的通解，已知它对应齐线性线性思考题思考题常数变易法中待定函数的条件如何选择？常数变易法中待定函数的条件如何选择？2024/8/113131高阶线性微分方程的一般理论课件-重庆科技学院-李可人
