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1、会计学1牛莱公式及简单牛莱公式及简单(jindn)定积分计算定积分计算第一页，共39页。定理6.2.1 二、积分上限函数二、积分上限函数(hnsh)(hnsh)及其导及其导数数称为积分(jfn)上限函数.性质(xngzh)：证明 如果)(xf在,ba上可积，则积分上限的函数在,ba上连续.因为)(xf在,ba上可积，则 在有界.)(xf第2页/共38页第三页，共39页。由积分(jfn)中值定理得由极限(jxin)性质知,由连续函数定义(dngy)知,ba上连续.函数在定理6.2.2 (连续函数的原函数存在定理） 如果)(xf在,ba上连续，则积分上限的函数在,ba可导，且它的导数为定理的重要意
2、义：(1)肯定了连续函数的原函数是存在的 .(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.第3页/共38页第四页，共39页。证明(zhngmng)证毕.由函数 的连续性和积分中值定理得由定理(dngl)6.2.1的证明知,对区间端点(dun din)的情况用单侧导数说明即可.第4页/共38页第五页，共39页。求上限(shngxin) 函数的导数应注意:“”中的表达式是一样 (yyng)的.例1 求根据上限函数求导数(do sh)公式得解第5页/共38页第六页，共39页。定理(dngl)证明(zhngmng)第6页/共38页第七页，共39页。例 2 已知解 由上限(shngxin) 函数的
3、求导公式的例3 设,求解 第7页/共38页第八页，共39页。三、牛顿三、牛顿(nidn)(nidn)莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理 6.2.3（微积分基本 (jbn) 公式）证明(zhngmng) 令第8页/共38页第九页，共39页。微积分基本(jbn)公式表明：注意(zh y)求定积分(jfn)问题转化为求原函数的问题.例 4 求解 第9页/共38页第十页，共39页。例 5 计算解 例 6 下列计算是否正确 ?解 不正确(zhngqu).因为上不可积.被积函数在积分(jfn)区间上为正,但积分(jfn)值是负的,与积分性质矛盾.使用牛莱公式时,一定要注意被积函数在积分区间上的可积性.第10页/
4、共38页第十一页，共39页。例 7 计算(j sun)解 注意:恒等变形(bin xng)时,一定要使被积函数有意义.例 8 计算(j sun) 解 原式注意: 计算定积分开根号时,一定要带绝对值.第11页/共38页第十二页，共39页。练习(linx)：注意(zh y):当被积函数带有绝对值时,先去绝对值.例11 求 解四、简单定积分的计算(j sun)-凑微法第12页/共38页第十三页，共39页。例12 计算(j sun)解解例13 计算第13页/共38页第十四页，共39页。解例14 计算原式例15 设函数 为连续的奇函数 ,且已知求积分 的值.解第14页/共38页第十五页，共39页。例16
5、 (030204) 设, 则( )解因为当 时,故这便排除(pich)了选项(C)和(D).又令则即 在 单调增加,第15页/共38页第十六页，共39页。有故即选项(B)正确(zhngqu).第16页/共38页第十七页，共39页。五、综合题五、综合题(1) 求导数(do sh)例已知函数由方程确定。求解方程两边关于求导数得解得第17页/共38页第十八页，共39页。解例已知由参数方程求确定，第18页/共38页第十九页，共39页。例 求解分析：这是 型不定式，应用洛必达法则 .(2)求不定式的极限(jxin)第19页/共38页第二十页，共39页。(3) 利用(lyng)牛顿莱布尼兹公式及定积分定义
6、求和式极限例6求解原式第20页/共38页第二十一页，共39页。证明(zhngmng)(4) 证明(zhngmng) 单调性、方程的根第21页/共38页第二十二页，共39页。第22页/共38页第二十三页，共39页。提示(tsh)：第23页/共38页第二十四页，共39页。 例(040403) 设 (A) 在 点不连续.(B) 在 内连续, 在 点不可导 (D) 在 内可导, 但不一定满足(C) 在 内可导, 且满足(5) 求函数关系 (gun x)并讨论其连续性则( )第24页/共38页第二十五页，共39页。当 时, 当 时, 显然当 时, 解在 处连续 当 时, 当 时, 在 处不可导. 故B正
7、确 第25页/共38页第二十六页，共39页。3.微积分基本 (jbn) 公式1.积分(jfn)上限函数2.积分(jfn)上限函数的导数牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系五、小结五、小结第26页/共38页第二十七页，共39页。思考题思考题思考题解答思考题解答(jid)第27页/共38页第二十八页，共39页。(980205)(980205)确定确定(qudng)(qudng)常数常数的值的值, ,使使解解因为因为时时且且故故思考(sko)第28页/共38页第二十九页，共39页。若若则在则在内内若若则在则在内内故故(*)(*)均不成立均不成立 . . 再用罗必达法则再用罗必达法则(fz)
8、:(fz):若若则上式为则上式为与条件不符与条件不符 , ,故故从而再用罗必达法则得从而再用罗必达法则得第29页/共38页第三十页，共39页。练练 习习 题题第30页/共38页第三十一页，共39页。第31页/共38页第三十二页，共39页。第32页/共38页第三十三页，共39页。第33页/共38页第三十四页，共39页。第34页/共38页第三十五页，共39页。第35页/共38页第三十六页，共39页。练习题答案(d n)第36页/共38页第三十七页，共39页。第37页/共38页第三十八页，共39页。内容(nirng)总结会计学。上可积，则 在。定理6.2.2 (连续函数的原函数存在定理）。(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.。(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.。由函数 的连续性和积分中值定理得。中的表达式是一样的.。求定积分问题转化为求原函数的问题.。例 6 下列计算是否(sh fu)正确。例 8 计算。注意: 计算定积分开根号时,一定要带绝对值.。注意:当被积函数带有绝对值时,先去绝对值.。例 求第三十九页，共39页。
