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1、2.5幂函数、函数与方程高考数学高考数学一、幂函数的图象及性质一、幂函数的图象及性质1.幂函数的图象都过点(1,1).2.在幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1中,y=x,y=x3,y=x-1为奇函数,y=x2为偶函数;定义域为R的是y=x,y=x2,y=x3,定义域为0,+)的是y=;在x(0,+)内是增函数的是y=x,y=x2,y=x3,y=,是减函数的是y=x-1.知识清单2.若二次函数y=f(x)恒满足f(x+m)=f(-x+n),则其图象的对称轴为直线x=.3.函数的零点(1)一般地,若函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)0,则函数
2、y=f(x)在区间(a,b)上有零点.(2)对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,其函数的零点具有下列性质:当它通过零点(不是偶次零点)时函数值变号;相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.4.用二分法求方程近似解的步骤对于连续函数f(x),S1(确定有解区间,保证区间内只有一解)根据f(x)的图象,确定区间a,b,使f(a)f(b)0,从而使(a,b)上存在唯一点c,满足f(c)=0.S2求区间(a,b)的中点x1,计算f(x1):(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(2)若f(a)f(x1)0,此时方程的根c(x1,b),记这个区间为(a,b).S3在给定精确度的情况下,若a、
3、b的近似值相同均为P,则方程的近似解即为P(即cP),否则重复S2S3. 判断函数零点个数的常用方法判断函数零点个数的常用方法1.解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则方程有几个解,函数就有几个零点.2.函数零点存在性定理:利用该定理时,要求函数在a,b上的图象是连续的曲线,且f(a)f(b)0.结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.3.数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就有几个不同的零点.例1若函数y=f(x)(xR)满足f(x+2)=f(x),且x-1,1时,f(x)=|x|,则函数y=f(x)-log4|x+2|的零
4、点个数为.方法技巧方法1解析在同一坐标系中作出y=f(x)和y=log4|x+2|的图象,由图知交点个数为6,所以函数y=f(x)-log4|x+2|的零点个数为6.答案6 利用函数零点求参数的值或取值范围利用函数零点求参数的值或取值范围已知函数有零点(方程有根),求参数的值或取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.例2(2017江苏南通第三次调研,12)已知函数f(x)=x2+ax(aR),g(x)=(f(x)为f(x)的导函数).若方程g(f(x)=0有四个不等的实根,则a的取值范围是.方法2解析易求得f(x)=2x+a.则g(f(x)=0或或当a=0时不符合题意;当a0有两个与0,-a不同的根,此时gf(x)=0共有四个不同根;当a0时,由f(x)=0,得x=0,或x=-a两个解.因为-a-a2,所以a的取值范围是a2.答案a2
