《数学第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性 文（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节导数与函数的单调性总纲目录教材研读函数的导数与单调的关系考点突破考点二含参数的函数的单调性考点一不含参数的函数的单调性考点三已知函数的单调性求参数函数的导数与单调性的关系函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,(1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内单调递增单调递增;(2)若f(x)0,故f(x)在(4,5)上是增函数.C2.函数f(x)=cosx-x在(0,)上的单调性是()A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减答案答案D在(0,)上,f(x)=-sinx-10得,x1.故f(x)的单调增区间为(-,-1),(1,+).故选D.D4.函数y=x2-lnx的
2、单调递减区间为.(0,1答案答案(0,1解析解析由题意知函数的定义域为(0,+),由y=x-0(x0),解得01,00;当x时,f(x)0,即8x-0,解得x,函数y=4x2+的单调增区间为.故选B.B1-2已知定义在区间(-,)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间是.答案答案和解析解析f(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx.令f(x)=xcosx0,则其在区间(-,)上的解集为和,即f(x)的单调递增区间为和.典例典例2设f(x)=ex(ax2+x+1)(a0),试讨论f(x)的单调性.考点二考点二含参数的函数的单调性含参数的函数的单调性解析解析f(
3、x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1)=exax2+(2a+1)x+2=ex(ax+1)(x+2)=aex(x+2).当a=时,f(x)=ex(x+2)20恒成立,函数f(x)在R上单调递增;当0a2,令f(x)=aex(x+2)0,得x-2或x-,令f(x)=aex(x+2)0,得-x时,有0,得x-或x-2,令f(x)=aex(x+2)0,得-2x0,故f(x)在(0,+)上单调递增;当a0时,f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递减;当0a1时,令f(x)=0,解得x=,则当x时,f(x)0,故f(x)在上单调递减,在上单调递增.典例典例3已知函数f(x)=lnx,g(x)
4、=ax2+2x,a0.(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在1,4上单调递减,求a的取值范围.考点三考点三已知函数的单调性求参数已知函数的单调性求参数解析解析(1)h(x)=lnx-ax2-2x,x(0,+),所以h(x)=-ax-2.因为h(x)在(0,+)上存在单调递减区间,所以当x(0,+)时,-ax-2-有解.令G(x)=-,所以只要aG(x)min即可.而G(x)=-1,所以G(x)min=-1,所以a-1且a0.(2)因为h(x)在1,4上单调递减,所以当x1,4时,h(x)=-ax-20恒成立,即a-恒
5、成立,所以aG(x)max.因为x1,4,所以,而G(x)=-1,所以G(x)max=-(此时x=4),所以a-且a0.方法技巧方法技巧根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.3-1已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在区间(1,+)上为增函数,求a的取值范围;(2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围;(3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.解析解析(1)因为f(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+)上为增函数,所以f(x)0在(1,+)上恒成立,即3x2-a0在(1,+)上恒成立,所以a3x2在(1,+)上恒成立,所以a3,即a的取值范围是(-,3.(2)由题意得f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,所以a3x2在(-1,1)上恒成立.因为-1x1,所以3x20.f(x)=x3-ax-1,f(x)=3x2-a.由f(x)=0,得x=,f(x)在区间(-1,1)上单调递减,=1,即a=3.
