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1、xy第五章第五章 弯曲变形弯曲变形5.1挠度和转角挠度和转角 梁变形基本方程梁变形基本方程 弯曲变形基本公式弯曲变形基本公式F挠度挠度：横截面的形心在垂直于轴线横截面的形心在垂直于轴线（x轴）方向的线位移，用轴）方向的线位移，用 y 表示表示 xy转角转角：横截面在横截面在 xy 平面内的角位移平面内的角位移,用用表示表示 梁变形后的轴线，称为梁变形后的轴线，称为挠曲线挠曲线 挠曲线方程挠曲线方程在小变形下：在小变形下：xyxy梁变形基本方程梁变形基本方程（微分方程）（微分方程）5.1挠度和转角挠度和转角 梁变形基本方程梁变形基本方程由基本方程两次积分由基本方程两次积分:式中积分常数式中积分常
2、数 C1 、C2 可由梁约束处的已知可由梁约束处的已知位移确定，这些已知位移条件称为位移确定，这些已知位移条件称为约束条件约束条件铰支座处挠度为零铰支座处挠度为零 ( y =0 )固定端处挠度和转角均为零固定端处挠度和转角均为零( y = 0 = 0 )挠度方程和转角方程挠度方程和转角方程分段描述的挠曲线在交接处应满足的位移条件称为分段描述的挠曲线在交接处应满足的位移条件称为连续条件连续条件约束条件和连续条件统称为约束条件和连续条件统称为边界条件边界条件利用微分方程和边界条件，直接积分求得挠曲线方程而计算梁位移的方法称为利用微分方程和边界条件，直接积分求得挠曲线方程而计算梁位移的方法称为积分法
3、积分法，积分法可得到完整的位移分布，但有时较麻烦。，积分法可得到完整的位移分布，但有时较麻烦。例例:求图示悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端的挠度和转角。求图示悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端的挠度和转角。ABqlyx解：列出梁的弯矩方程解：列出梁的弯矩方程由基本方程由基本方程约束条件：约束条件：可求得：可求得：代入上式，整理得：代入上式，整理得：x例例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程。求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程。解：求弯矩方程较麻烦，可直接用四阶微分方程积分求解解：求弯矩方程较麻烦，可直接用四阶微分方程积分求解连续积分四次连续积分四次位移边界条件：位移边界条件：可求
4、得：可求得：yxABl力边界条件：力边界条件：则有：则有：例例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| | y | |max、最大转角、最大转角| | |max和跨中挠度和跨中挠度y (l /2)。设。设 a b 。解：分段列出梁的弯矩方程解：分段列出梁的弯矩方程分段对基本方程积分分段对基本方程积分由连续条件：由连续条件：可求得：可求得：由约束条件：由约束条件：yxCABlFba例例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| | y | |max、最大转角、最大转角| | |m
5、ax和跨中挠度和跨中挠度y (l /2)。设。设 a b 。yx转角为单调函数，最大值在两端转角为单调函数，最大值在两端将积分常数代入，整理得：将积分常数代入，整理得：CABlFba当当 a b 时，有时，有例例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| | y | |max、最大转角、最大转角| | |max和跨中挠度和跨中挠度y (l /2)。设。设 a b 。yx相差不到相差不到 3%令令CABlFba可求得：可求得：则：则：当当当当当简支梁挠曲线无拐点时，可用跨中挠度代替最大挠度。当简支梁挠曲线无拐点时，可用跨中挠度代替最大挠度
6、。例例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| | y | |max、最大转角、最大转角| | |max和跨中挠度和跨中挠度y (l /2)。设。设 a b 。yx用奇异函数描述的弯矩方程用奇异函数描述的弯矩方程则：则：CABlFba由由由奇异函数的定义，有由奇异函数的定义，有得得挠曲线方程挠曲线方程5.2叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形对于小变形条件下的线弹性梁，可应用叠加法求变形，常用于指定位移的计算对于小变形条件下的线弹性梁，可应用叠加法求变形，常用于指定位移的计算ABqlFABlABlMBFABqlMByxABl例例:求图示简
7、支梁的挠曲线方程。求图示简支梁的挠曲线方程。qa解：利用集中力挠曲线方程，采用叠加法求解解：利用集中力挠曲线方程，采用叠加法求解b当当 a = 0 ，有：，有：例例:图示简支梁的转角图示简支梁的转角A 、B 和跨中挠度和跨中挠度 yC 。l /4l /4l /4l /4CABF2 = F/2F1 = F/2解：所求位移等于两个力单独作用时相应位移的叠加解：所求位移等于两个力单独作用时相应位移的叠加查表查表例例:图示简支梁的转角图示简支梁的转角A 、B 和跨中挠度和跨中挠度 yC 。l /4l /4l /4l /4CABF2 = F/2F1 = F/2例例:图示简支梁的转角图示简支梁的转角A 、
8、B 和跨中挠度和跨中挠度 yC 。l /4l /4l /4l /4CABF2 = F/2F1 = F/2F记跨中作用集中力记跨中作用集中力 F 时，跨中挠度时，跨中挠度(最大挠度最大挠度)为为 yC0 ：例例:求图示变截面悬臂梁自由端的挠度求图示变截面悬臂梁自由端的挠度 yC 。ABl/2yxl/2C2EIEIFFFMo=Fl /2yC1yB2yC2解：先不考虑解：先不考虑 AB 段变形段变形(刚化刚化)，计算，计算 C 对对 B 的的相对挠度相对挠度解除解除 AB 段刚化，并令段刚化，并令 BC 段刚化，计算段刚化，计算 C 由由于于 AB 段变形而产生的牵连位移段变形而产生的牵连位移例例:
9、求图示变截面悬臂梁自由端的挠度求图示变截面悬臂梁自由端的挠度 yC 。ABl/2yxl/2C2EIEIFFFMo=Fl /2yC1yB2yC2类似，若要求自由端转角，有：类似，若要求自由端转角，有：这种分析方法称为梁的逐段刚化法这种分析方法称为梁的逐段刚化法5.3简单超静定简单超静定梁梁ABql例：作图示梁的内力图例：作图示梁的内力图解：一次超静定解：一次超静定qX ( FBy )ABFSq：ql+ +MX：Xl+ +- -+ +Mq：ql2 /2- -FSX：X- -多余约束处的位移条件多余约束处的位移条件基本方程基本方程(补充方程补充方程)3ql/85ql/8+ +- -FS：M：9ql2
10、/128ql2/8yxABqlX (mA)qyxABqlmAFAyFBy令令令令简支梁简支梁:悬臂梁悬臂梁:例：求图示组合结构中杆例：求图示组合结构中杆1(EC 杆杆)和杆和杆2(FD 杆杆)的内力的内力ADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)解：一次超静定，取静定基解：一次超静定，取静定基位移协调条件：位移协调条件：其中：其中：用叠加法求用叠加法求AB 梁上梁上 D 处的挠度处的挠度 yDFXFl/3FXADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)位移协调条件：位移协调条件：其中：其中：FX2Fl/3-Xl/3F
11、XFXADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)位移协调条件：位移协调条件：其中：其中：FXFXFXADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)位移协调条件：位移协调条件：其中：其中：FXFXFXADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EI求杆求杆1和杆和杆2的内力的内力当当 EI E1A1E2A2 ，AB视为刚性梁视为刚性梁当当E1A10 ，为静定静定结构构同理，当同理，当E2A20 ，为静定静定结构构当当 E1A1 和和 E2A2 趋于无穷，为连续梁趋于无穷，为连续梁例：已知长度为例：已知长
12、度为 l 的等直单跨梁的挠度方程为的等直单跨梁的挠度方程为(1)求梁内绝对值最大的剪力和弯矩求梁内绝对值最大的剪力和弯矩(2)分析梁的支承和受载情况分析梁的支承和受载情况解：由梁的近似微分方程及梁的微分关系，可知梁内无集中载荷，且有解：由梁的近似微分方程及梁的微分关系，可知梁内无集中载荷，且有(1)令令得得有极值弯矩有极值弯矩边界处，有边界处，有剪力方程在梁内为单调函数剪力方程在梁内为单调函数边界处，有边界处，有经比较，梁内绝对值最大经比较，梁内绝对值最大的剪力和弯矩分别为的剪力和弯矩分别为例：已知长度为例：已知长度为 l 的等直单跨梁的挠度方程为的等直单跨梁的挠度方程为(1)求梁内绝对值最大
13、的剪力和弯矩求梁内绝对值最大的剪力和弯矩(2)分析梁的支承和受载情况分析梁的支承和受载情况梁内有线性分布的载荷梁内有线性分布的载荷边界处，有边界处，有x = 0 处，可能为铰支或集中力作用处处，可能为铰支或集中力作用处(2)边界处，有边界处，有解：解：x = l 处，可能为铰支或固定处，可能为铰支或固定例：已知长度为例：已知长度为 l 的等直单跨梁的挠度方程为的等直单跨梁的挠度方程为(1)求梁内绝对值最大的剪力和弯矩求梁内绝对值最大的剪力和弯矩(2)分析梁的支承和受载情况分析梁的支承和受载情况边界处，有边界处，有梁内有线性分布的载荷梁内有线性分布的载荷x = 0 处，可能为铰支或集中力作用处处
14、，可能为铰支或集中力作用处(2)边界处，有边界处，有解：解：x = l 处，可能为铰支或固定处，可能为铰支或固定q0l/10q0llq0q0 l 2/15q0l5.4梁的刚度条件梁的刚度条件 合理刚度设计合理刚度设计梁的刚度条件梁的刚度条件:许可挠度许可挠度许可转角许可转角对一般工程构件，如果满足强度要求，通常刚度条件也能满足。但在某些对一般工程构件，如果满足强度要求，通常刚度条件也能满足。但在某些情况下，刚度条件有时也可能起控制作用。情况下，刚度条件有时也可能起控制作用。合理刚度设计的思路合理刚度设计的思路:合理刚度设计的措施：合理刚度设计的措施：选择合适的截面形状选择合适的截面形状合理选择材料合理选择材料梁的有效加强梁的有效加强尽量减小跨度尽量减小跨度合理安排梁的约束和加载方式合理安排梁的约束和加载方式CABl/2Fl/2例：一工字钢简支梁，跨中受横力例：一工字钢简支梁，跨中受横力F=35kN，跨度，跨度l=4m，许用应力，许用应力=160MPa，许用用挠度度 =l /500，弹性模量性模量E=200GPa，试选择工字工字钢型号。型号。解：梁的最大弯矩为解：梁的最大弯矩为按梁的强度条件，有：按梁的强度条件，有：按梁的刚度条件：按梁的刚度条件：查型钢表查型钢表 22a22a工字钢可同时满足强度和刚度要求。工字钢可同时满足强度和刚度要求。
