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1、1.2 1.2 随机事件的概率随机事件的概率一一 事件的频率与概率事件的频率与概率定义定义1.11.1随机事件随机事件A A 发生的可能性大小的度量发生的可能性大小的度量（数值）（数值） 称为事件称为事件A A发生的发生的概率概率. .记作记作统计定义、统计定义、 公理化定义、公理化定义、 古典定义、古典定义、几何定义几何定义. .定义概率：定义概率： 定义定义 例如，掷骰子例如，掷骰子为为“点数小于点数小于3”3”如果总共掷了如果总共掷了100100次次, ,则在则在100100次重复试验中次重复试验中, ,A A发生的频率为发生的频率为: :若事件若事件A A发生了发生了 次次, ,在在
2、次重复试验中次重复试验中, ,称为称为记为记为设设其中其中 “1 “1点点”出了出了1515次次, ,“2“2点点”出了出了1919次，次，A A发生了发生了 为在这为在这100100次重复试验中次重复试验中A A发生的频数发生的频数. .在在100100次重复试验中次重复试验中, ,则称则称 为为事件事件A A发生的发生的频率频率, ,次次, ,事件事件 发生的发生的频数频数, ,在这在这n n次试验中，次试验中，在这在这n n次试验中，次试验中，频率频率: :频率具有以下性质频率具有以下性质: :非负性非负性 正则性正则性有限可加性有限可加性 对任何事件对任何事件A,A,有有任意任意m m
3、个个互不相容的互不相容的事件事件 满足满足 定义定义 若事件若事件A A发生了发生了 次次, ,在在 次重复试验中次重复试验中, ,称为事件称为事件A A发生的发生的记为记为则称则称 为事件为事件 发生的发生的频数频数, ,频率频率, ,证证3 3 次次, ,证证1 1证证2 2事件事件A A出现了出现了k k次次, ,则则 从而从而在每次试验中在每次试验中都发生都发生, ,故在故在n n次次发生了发生了n n次，次， 从而从而 出现了出现了 次次, , 由于这由于这m m个事件互不相容个事件互不相容, , 出现了出现了 它们不可能它们不可能同时发生同时发生, , 故事件故事件发生了发生了从而
4、从而试验中试验中次次, , 出现了出现了 次次. . 设在设在n n次试验中次试验中, ,必然事件必然事件设在设在n n次试验中次试验中, , 频率的大小频率的大小 这是因为频率具有波动性这是因为频率具有波动性, , 反映了事件反映了事件A A发生的频繁程度发生的频繁程度, ,但是用频率来定义但是用频率来定义从而反映了事件从而反映了事件A A一个事件发生的一个事件发生的是行不通的是行不通的. .即使在相同条件下即使在相同条件下重复作多个重复作多个n n次试验次试验, ,其频率值可能大不相同其频率值可能大不相同. .发生的可能性的大小发生的可能性的大小. .可能性的可能性的大小大小, ,试验者试
5、验者试验次数试验次数频数频数频率频率 蒲蒲 丰丰费费 勒勒迪摩根迪摩根皮尔孙皮尔孙皮尔孙皮尔孙维维 尼尼 上述试验记录表明上述试验记录表明, , 当试验次数当试验次数n n充分大时，充分大时，当试验次数当试验次数n n较小时较小时, ,事件事件A A出现的频率出现的频率但当但当n n充分大时充分大时, , 频率的波动频率的波动“出正面出正面”的频率的频率总在总在附近摆动，附近摆动， 且试验次数越多，且试验次数越多， 一般摆动越小一般摆动越小. .明显减小明显减小. .波动较明显波动较明显, , 在充分多次试验中在充分多次试验中, , 我们称这个频率的稳定值我们称这个频率的稳定值是随机现象是随机
6、现象这个定义称为概率的统计定义这个定义称为概率的统计定义. .例如，抛一枚硬币，例如，抛一枚硬币，事件发生的频率事件发生的频率总在一个总在一个定值附近摆动定值附近摆动, , 试验次数越多试验次数越多, ,摆动的幅度一般越小摆动的幅度一般越小, ,这个性质称为这个性质称为频率的稳定性频率的稳定性. .统计规律性的典型统计规律性的典型是概率这一概念的经验基础是概率这一概念的经验基础. .频率的稳定性频率的稳定性为随机事件为随机事件A A发生的发生的正面出现的概率为正面出现的概率为表现表现, ,概率概率, , 记为记为P(A)P(A)三三、概率的公理化定义概率的公理化定义公理公理3 3 如果这种对应
7、关系如果这种对应关系都有一个实数都有一个实数与之对应与之对应: :定义定义1.2 1.2 对于每一个对于每一个满足下面三条公理满足下面三条公理: :则称则称 为为公理公理1 1 都有都有对任意可数个对任意可数个称为称为上的一个上的一个事件事件 的概率的概率. .设试验的样本空间为设试验的样本空间为,事件事件A,A,公理公理2 2 对任何事件对任何事件A,A,有有具有测度具有测度的样本空间为的样本空间为称为一个称为一个记作记作概率测度概率测度. .概率空间概率空间, ,两两不相容的事件两两不相容的事件, ,公理公理1 1说明说明, ,说明说明: :公理公理2 2说明说明, ,公理公理3 3说明说
8、明, ,对应关系对应关系是从事件域是从事件域到数集到数集的映射。的映射。任一事件的概率都任一事件的概率都不是负数不是负数; ;必然事件的概率为必然事件的概率为1;1;可列个事件若两两可列个事件若两两则它们至少一个发生的概率则它们至少一个发生的概率正好等于正好等于它们各自概率的和它们各自概率的和. .不相容不相容, ,四四、 概率测度的其它性质概率测度的其它性质证证 所以所以由于由于互不相容互不相容的事件的事件特别地特别地, ,AB证证 之和之和等于它们的概率之和等于它们的概率之和. .若事件若事件A A与与B B互不相容互不相容, ,A1A2IA A3 3A A4 4A A5 5的概率的概率,
9、 ,则则2. 2. 任意任意有限个有限个证证 A是完备事件组是完备事件组, ,故它们两两故它们两两3.3.如果如果是一完备事件组是一完备事件组,则则有有特别地特别地,对于对立事件对于对立事件 且且不相容，不相容，由于由于一般情况下一般情况下, ,4.4.如果如果BA则则证证从而从而BAB-A4.4.如果如果BA则则推论推论 则则BAB-A对任何事件对任何事件A A 如果如果 BA5. 5. 有有证证（加法公式）（加法公式）对任意事件对任意事件A A与与B B ， 5 5 对任意三个事件对任意三个事件有有5 5 对任意四个事件对任意四个事件有有5 5. 对任意事件对任意事件A A与与B B ， 有有一般地，一般地，例例 求求解解设设A A, ,B B为两个事件为两个事件, ,且且
