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1、第第6章虚功原理和结构的位移计算章虚功原理和结构的位移计算 本章教学基本要求：理解变形体系虚功原理的内容及其在本章教学基本要求：理解变形体系虚功原理的内容及其在结构位移计算中的应用；理解广义力和广义位移的概念；结构位移计算中的应用；理解广义力和广义位移的概念；熟熟练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练掌握图形相乘法在练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练掌握图形相乘法在位移计算中的应用位移计算中的应用；了解线弹性体系的互等定理。；了解线弹性体系的互等定理。 本章教学内容的重点：静定结构由于荷载作用、支座移动、本章教学内容的重点：静定结构由于荷载作用、支座移动、温度变化和制造误差而产生的温度变化和制
2、造误差而产生的位移计算位移计算，特别是用，特别是用图形相乘图形相乘法法计算梁和刚架的位移。计算梁和刚架的位移。 本章教学内容的难点：广义力和广义位移的概念；变形体本章教学内容的难点：广义力和广义位移的概念；变形体系的虚功原理及其证明系的虚功原理及其证明 。本章内容简介本章内容简介 6.1概述概述6.2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理6.3结构位移计算的一般公式单位荷载法结构位移计算的一般公式单位荷载法6.4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算6.5图形相乘法图形相乘法6.6静定结构由于支座移动引起的位移计算静定结构由于支座移动引起的位移计算6.7静定结构由于温度变化
3、引起的位移计算静定结构由于温度变化引起的位移计算*6.8具有弹性支座的静定结构的位移计算具有弹性支座的静定结构的位移计算6.9线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理6.1概概 述述本章任务本章任务学习学习任意平面杆件结构任意平面杆件结构在任意外因（在任意外因（ 荷载、温荷载、温度、支移度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线等）作用下，引起任意形式位移（线位移、角位移位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。）的计算原理及计算方法。一、结构的位移一、结构的位移在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构变形变形结构变形引起结构上任一横截面
4、位置和方向的改变，称为结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变，称为位移位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化是结构某一截面相对于初始状态位置的变化. 位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点按运动形式分：按运动形式分：线位移线位移角位移角位移绝对线位移（以地基为参照体）绝对线位移（以地基为参照体）相对线位移（以内部杆件为参照体）相对线位移（以内部杆件为参照体）绝对角位移（以地基为参照体）绝对角位移（以地基为参照体）相对角位移（以内部杆件为参照体）相对角位移（以内部杆件为参照体）1、一个截面的位移（绝对位移）、一个截面的位移（绝对位移）1）截面截面A
5、 位置的移动（用截面形心位置的移动（用截面形心的移动来表示）的移动来表示）A，称为线位移，称为线位移，可分解为：可分解为：水平线位移水平线位移AH（亦可记作亦可记作uA）竖向线位移竖向线位移 (挠度挠度)AV (亦可记作亦可记作vA)。 2）截面）截面A 位置的转动位置的转动（用该点切线方向的变化来表示）（用该点切线方向的变化来表示）A，称为角位移或转角。称为角位移或转角。 ABCqA1B1AAD DAvAuA2、两个截面之间的位移（相对位移）、两个截面之间的位移（相对位移）1）相对线位移）相对线位移 2）相对角位移）相对角位移AA1BB1FPFPCDD DAD DBCDCDE3、一个微杆段的
6、位移、一个微杆段的位移 dsuv微段刚体位移微段刚体位移dsg g0g g0dvdv= g g0 ds微段相对位移微段相对位移（剪切变形）（剪切变形）ds du= e eds微段相对位移微段相对位移（轴向变形）（轴向变形）ds微段相对位移微段相对位移（弯曲变形）（弯曲变形）d= ds/R =kdsAA一个微杆段的位移可分解为一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移刚体位移和变形体位移之和之和1）刚体位移（不计微段的变形）：）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、2）变形位移（反映微段的变形）：）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、d 。这是描。这是描述微段总变形的三个基本参数。述微段总变
7、形的三个基本参数。 为轴向伸长应变为轴向伸长应变; 为平均剪切应变为平均剪切应变; k 为轴线曲率（为轴线曲率（ ，R为轴线为轴线变形后的曲率半径）。变形后的曲率半径）。 dsuv微段刚体位移微段刚体位移dsg g0g g0dvdv= g g0 ds微段相对位移微段相对位移（剪切变形）（剪切变形）dsdu= e eds微段相对位移微段相对位移（轴向变形）（轴向变形）ds微段相对位移微段相对位移（弯曲变形）（弯曲变形）d= ds/R =kds对于常见的在荷载作用下的弹性结构，则有对于常见的在荷载作用下的弹性结构，则有式中，式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩；分别为微段上的轴力、剪
8、力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面 =1.2， 圆圆形截面形截面 =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面 =A/A1（A1为腹板面积）。为腹板面积）。 (6-1)二、结构位移产生的原因二、结构位移产生的原因1）荷载作用；）荷载作用；2）温度变化或材料胀缩）温度变化或材料胀缩；3）支座沉陷或制造误差）支座沉陷或制造误差。三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的1）从工程应用方面看）从工程应用方面看主要进行结构刚度验算；
9、满足结主要进行结构刚度验算；满足结构的功能和使用要求构的功能和使用要求.2）从结构分析方面看）从结构分析方面看为为超静定结构的内力分析超静定结构的内力分析（如第（如第7章力法等）打好基础（利用位移条件建立补充方程）。章力法等）打好基础（利用位移条件建立补充方程）。3）从土建施工方面看）从土建施工方面看在结构构件的制作、架设等过程在结构构件的制作、架设等过程中，常需预先知道结构位移后的位置，以便制定施工措施中，常需预先知道结构位移后的位置，以便制定施工措施（反拱，加设支撑等），确保安全和质量。（反拱，加设支撑等），确保安全和质量。 4）从后续专题方面看）从后续专题方面看在结构力学的两大课题，即结
10、构在结构力学的两大课题，即结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。 工程结构设计的一般步骤工程结构设计的一般步骤一般要求计算模型荷载分析内力计算内力计算截面设计构造要求变形验算变形验算结构布置静荷载静荷载动荷载动荷载静力计算静力计算动力计算动力计算层间位移计层间位移计算算四、结构位移计算的方法四、结构位移计算的方法1、几何法、几何法例如，材料力学中主要用于计算梁的挠度的重积分法。例如，材料力学中主要用于计算梁的挠度的重积分法。 2、虚功法、虚功法计算结构位移的虚功法是以计算结构位移的虚功法是以虚功原理虚功原理为基础的，所导出为基础的，所导
11、出的的单位荷载法单位荷载法最为实用。单位荷载法能直接求出结构任最为实用。单位荷载法能直接求出结构任一截面、任一形式的位移，能一截面、任一形式的位移，能适用于各种外因，且能适适用于各种外因，且能适合于各种结构合于各种结构；还解决了重积分法推导位移方程较烦且；还解决了重积分法推导位移方程较烦且不能直接求出任一指定截面位移的问题。不能直接求出任一指定截面位移的问题。 能量法：能量法：实功实功虚功虚功外力作虚功外力作虚功内力作虚功内力作虚功虚位移原理虚位移原理 虚力原理虚力原理虚功原理虚功原理单位位移法单位位移法单位荷载法单位荷载法计算力计算力(3.8节节)计算位移计算位移(本章本章)（虚功方程）（虚
12、功方程）6.2变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 一、功、实功与虚功一、功、实功与虚功 1、功、功 功包含了力和位移两个因素功包含了力和位移两个因素 2、实、实 功功 所谓实功所谓实功，是指力在，是指力在其自身引起的位移其自身引起的位移上所做的功。上所做的功。 分为常力实功和变力实功分为常力实功和变力实功 。D D111 1P1PP1D DD D 1111o1静力荷载所做的实功为变力实功。静力荷载所做的实功为变力实功。静力荷载静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内力始加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载
13、与内力始终保持平衡。终保持平衡。 静力荷载静力荷载所做的实功所做的实功 FP1在在12上做的功上做的功: W12是力是力FP1在另外的原因（在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，引起的位移上所做的功，故为虚功。故为虚功。所谓所谓“虚虚”，就是表示位移与做功的力无关，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功时，在作虚功时，力不随位移而变化是常力力不随位移而变化是常力，故式中没有系数，故式中没有系数1/2 3、常力所做的虚功、常力所做的虚功 所谓虚功所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。变化、支座移动等）
14、引起的位移上所做的功。 FP11 12D D1111D D1212 1 12M2FP1 (先先)D D 1111D D1212q q2121q q222212M2(后后)11对于各种形式对于各种形式常力所做的虚功常力所做的虚功，用力和，用力和相应相应位移这位移这两个两个彼此独立无关彼此独立无关的因子的乘积来表示，即的因子的乘积来表示，即:式中式中:FP是做功的与力有关的因素，称为广义力，是做功的与力有关的因素，称为广义力， 可以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。可以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。是做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广是做功的与位移有关的因素，称为与广义力
15、相应的广义位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、义位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、相对角位移等。相对角位移等。 二、广义力和广义位移二、广义力和广义位移（6 - 5）三、刚体体系的虚功原理三、刚体体系的虚功原理刚体体系刚体体系处于处于平衡的必要和充分条件平衡的必要和充分条件是：对于符合约束条是：对于符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所有件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力外力所做的虚功总所做的虚功总和等于零。和等于零。 Fi i=0 .去掉约束而代以相应的反力，去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：该反力便可看成外力。则有：FPPB- -FP P
16、 +FB B=012四、变形体的虚功原理四、变形体的虚功原理 1、关于原理的表述、关于原理的表述变形体系变形体系处于处于平衡的必要及充分条件平衡的必要及充分条件是：是：对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚位移上所做虚功总和外力在虚位移上所做虚功总和等于等于各微段上内力在其各微段上内力在其变变形虚位移形虚位移上所做虚功总和。上所做虚功总和。或者简单地说，或者简单地说，外力虚功等于变形虚功外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚（数量上等于虚变形能）。变形能）。2、关于原理的证明、关于原理的证明状态状态2:位移状态位移状态(另外原因引起
17、另外原因引起) 微段位移状态微段位移状态微段受力状态微段受力状态状态状态1:力状态力状态du, dv, d是状态是状态2中的原因（荷载，中的原因（荷载，温变支移等）引起的微段变形。温变支移等）引起的微段变形。FPFR1FR2FR3Mqds E FFEdsE FdsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQABCDdsg g0g g0dudvddsdsBCC1dsADA1B1D1C2D2OO(1)按外力虚功与内力虚功计算按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑）（从变形的连续条件考虑） dW总总= dW外外+dW内内将微段将微段ds上的作用力区分为上的作用力区分为外力与内力，外力与内力，
18、微段总的虚功：微段总的虚功： FPFR1FR2FR3Mqds E FFEdsE FdsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQABCDBCC1dsADA1B1D1C2D2OOdsg g0g g0dudvddsds整个结构的总虚功为整个结构的总虚功为：或简写为：或简写为：W总总=W外外+W内内 由于任何由于任何两相邻微段的相两相邻微段的相邻截面上邻截面上的的内力内力是成对出是成对出现的，它们大小相等，方现的，它们大小相等，方向相反；向相反；qdsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQA某微段受力某微段受力dsqM+dMFN+dFNFQ+dFQ右侧相邻微段受力右侧相邻微段受力左侧相邻微段
19、受力左侧相邻微段受力 dsMFNFQ CDBDCAB又由于又由于虚位移虚位移是光滑的、连是光滑的、连续的，两微段相邻的截面总续的，两微段相邻的截面总是紧密贴在一起的，而且有是紧密贴在一起的，而且有相同的位移，相同的位移，因此，因此，每一对相邻截面上的内力每一对相邻截面上的内力所做的虚功总是相所做的虚功总是相互抵消的。互抵消的。由此可见，必有：由此可见，必有：W内内= 0 ；因此：因此： W总总=W外外（a） (2)按刚体虚功与变形虚功计算按刚体虚功与变形虚功计算(从力系的平衡条件考虑从力系的平衡条件考虑) 将微段的虚位移区分为将微段的虚位移区分为刚体虚位移刚体虚位移和和变形虚位移两类变形虚位移
20、两类 微段总的虚功微段总的虚功: dW总总=dW刚刚+dW变变FPFR1FR2FR3Mqds E FFEdsE FdsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQABCDBCC1dsADA1B1D1C2D2OOdsg g0g g0dudvddsds由刚体虚功原理，可知：由刚体虚功原理，可知： dW刚刚=0于是，微段上总的虚功：于是，微段上总的虚功： dW总总=dW刚刚+dW变变=dW变变 对于全结构，有：对于全结构，有： 因此有：因此有： W总总=W变变 (b)比较（比较（a）、（）、（b）两式，可得：两式，可得： W外外=W变变就是我们需要证明的结论。就是我们需要证明的结论。它不仅适用于杆件
21、结构，也适用于板、壳等非杆件结构。它不仅适用于杆件结构，也适用于板、壳等非杆件结构。 (c)须注意的是：须注意的是：这里（这里（b）中的）中的W变变与（与（a）中的）中的W内内是有区别的。是有区别的。（a）中的）中的W内内是指所有微段上是指所有微段上内力在截面的总位移内力在截面的总位移（包（包括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，如括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，如前所述，它恒等于零；前所述，它恒等于零；而这里（而这里（b）中的）中的W变变仅指所有微段上仅指所有微段上内力在截面的变形内力在截面的变形位移上位移上所做虚功的总和。所做虚功的总和。 假如此微段上还有集中荷载或力
22、偶荷载作用，可以认为它们作假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作用在截面用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，仅仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功，考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功，只有截面上的内力做功只有截面上的内力做功。对于平面杆系有。对于平面杆系有 dW变变= Md+ FNdu + FQdv(d )W变变实际上是所有微段上实际上是所有微段上内力内力在变形虚位移上所做虚功的总和，在变形虚位移上所做虚功的总和，称为称为变形虚功变形虚功（数量上等于虚变形能）。（数量上等于虚变形
23、能）。 （6-6）由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和和dFQ以及分布以及分布荷载荷载q 在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为上各力在其变形上所做的虚功为 1) 变形虚功变形虚功W变变对于平面杆系而言，对于平面杆系而言，因为因为单个外力虚功单个外力虚功按式（按式（6-5）W=FP计算，故所有外力（包括荷载和支座反力）在计算，故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功的总和为虚位移上所做虚功的总和为: W外外=S SFPD D 将有关将有关W外外和和W 的计算
24、式（的计算式（e）和（）和（d）代入式（）代入式（c），则），则平面杆件结构的虚功方程平面杆件结构的虚功方程可表示为可表示为 :（e） （6-7） 平衡力系平衡力系位移状态位移状态2) 外力虚功外力虚功W外外3、关于原理的说明、关于原理的说明1）在上面的推证过程中，）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变形的只考虑了力系的平衡条件和变形的连续条件。连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，也可所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，也可以用来代替几何方程（即协调方程）。以用来代替几何方程（即协调方程）。 2）虚功方程）虚功方程是个是个“两用方程两用方程”，具体应用时可有两种形式。，
25、具体应用时可有两种形式。鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，a.如果力系是给定的，则可虚设位移，式（如果力系是给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体）便称为变形体系的系的虚位移方程虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中的某未知力的某未知力(3.8节节) ；b.如果位移是实有的，则可虚设力系，式（如果位移是实有的，则可虚设力系，式（6-7）便称为变形体）便称为变形体系的系的虚力方程虚力方程，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章即主
26、要介绍虚力方程及其应用态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用 （ a ） 实实平衡力系平衡力系虚虚位移状态位移状态（ b ） 虚虚平衡力系平衡力系实实位移状态位移状态虚位移方程虚位移方程虚力方程虚力方程3）在推证式（）在推证式（6-7）时，）时，没有涉及到材料的性质没有涉及到材料的性质。因此，。因此，变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于弹性问题，弹性问题，也适用于非弹性问题也适用于非弹性问题。 4）变形体系的虚功原理）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系同样适用于刚体体系。由于刚体。由于刚体体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故
27、变体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形虚功形虚功W变变=0，于是式（，于是式（6-6）成为）成为 W=0 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。只是变形体系虚功原理的一个特例。 （6-8） 6.3结构位移计算的一般公式单位荷载法结构位移计算的一般公式单位荷载法一、利用虚功原理计算结构位移一、利用虚功原理计算结构位移根据平面杆件结构的虚功方程（根据平面杆件结构的虚功方程（6-7），其等号），其等号左侧左侧为为FP1FP2dsdsdq q, du, dvD Dc1c2K1Kiiq+t1+t2FP=1ii例例,求求K点位移，则在点位移，则在K点点虚加虚加一
28、单位力一单位力Fp=1虚平衡力系虚平衡力系实位移状态实位移状态于是有于是有即得即得 （6-9 ) 此式此式适用于任何材料的静定或超静定结构适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过虚设。这种通过虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变形情况结构小变形情况。 广义单位荷载广义单位荷载FP=1为外加单位荷载（为外加单位荷载（FP上面不加横线表示），上面不加横线表示），属单位物理量，是量纲属单位物理量，是量纲1的量（以往称为无量纲量）。的量（以往称为无量纲量）。
29、一、利用虚功原理计算结构位移一、利用虚功原理计算结构位移（式中（式中FR i 、 M ，FN ，FQ为虚设单位力作用下引起的反力和内力）二、虚拟单位荷载的施加方法二、虚拟单位荷载的施加方法 应用应用单位荷载法每次只能求得一个位移单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可以。这个位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角位移，即是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角位移，即属广义位移。因此，属广义位移。因此，需特别强调需特别强调，当求任意广义位移时，所，当求任意广义位移时，所需施加的虚单位荷载，应是一个在所求位移截面、沿所求位需施加的虚单位荷载，应是一个在所求位移截面、沿所求位移
30、方向并且与所求广义位移移方向并且与所求广义位移相应的相应的广义力。广义力。这里，这里，“相应相应”是指力与位移在做功上的对应，如集中力与是指力与位移在做功上的对应，如集中力与线位移对应，力偶与角位移对应，等等。线位移对应，力偶与角位移对应，等等。 1）图示为求刚架）图示为求刚架 K 点沿点沿 i-i方向的方向的 线位移时的虚拟力状态。线位移时的虚拟力状态。 FP=1iiK2）图示为求刚架）图示为求刚架K截面角位移时截面角位移时的虚拟力状态。的虚拟力状态。3）图示为求刚架）图示为求刚架A、B两点沿其两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力连线方向相对线位移时的虚拟力状态。状态。 4）图示为求刚架）图
31、示为求刚架A、B两截面相两截面相对角位移时的虚拟力状态。对角位移时的虚拟力状态。M=1KFP=1FP=1ABM=1M=1AB二、虚拟单位荷载的施加方法二、虚拟单位荷载的施加方法5）求桁架）求桁架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态 6）桁架第）桁架第i杆角位移时的虚拟力状态。施加于该杆两端结点的杆角位移时的虚拟力状态。施加于该杆两端结点的一对力正好构成一个单位力偶一对力正好构成一个单位力偶M=1，其中每一个力均为其中每一个力均为1/li且且与该杆垂直，这里的与该杆垂直，这里的li为第为第i杆的长度。杆的长度。 7）桁架第）桁架第i与第与第j杆两
32、根杆间相对角位移的虚拟力状态。施加杆两根杆间相对角位移的虚拟力状态。施加于该两杆两端结点的各一对力，正好构成方向相反的一对单于该两杆两端结点的各一对力，正好构成方向相反的一对单位力偶。位力偶。 FP=1FP=1ABli1/li1/lililj1/li1/li1/lj1/lj6.4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算 (公式法公式法) 一、在荷载作用下位移计算的一般公式一、在荷载作用下位移计算的一般公式当仅考虑荷载作用时，无支座位移项当仅考虑荷载作用时，无支座位移项式中，式中，dq q、du和和dv是实际状态中由荷载引起的微段是实际状态中由荷载引起的微段ds上的变形上的变
33、形位移，对于弹性结构可由位移，对于弹性结构可由6.1节公式（节公式（6-1）进行计算，只是须进行计算，只是须注意，该公式中的各内力注意，该公式中的各内力M、FN、FQ，应具体采用由实际状态应具体采用由实际状态中的荷载引起的内力中的荷载引起的内力MP、FNP、FQP。(a)dsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQA微段受力状态微段受力状态dsdsdsg g0g g0dudvd微段变形状态微段变形状态6-1式式（6-7） 如果各杆均为直杆，则可用如果各杆均为直杆，则可用dx代替代替ds，即得即得荷载作用下位移荷载作用下位移计算的一般公式计算的一般公式:（6-8） MP、FNP、FQP实际荷
34、载引起的内力；实际荷载引起的内力； 、 、 虚设单位荷载引起的内力。虚设单位荷载引起的内力。 将将6-1式代入式代入(a)式得平面杆件结构在荷载作用下的位移计式得平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式算公式:关于内力的正负号规定如下：关于内力的正负号规定如下： 轴力轴力FN 以拉力为正；以拉力为正； 剪力剪力FQ 以使微段顺时针转动者为正；以使微段顺时针转动者为正；弯矩弯矩 MP 、 只规定乘积只规定乘积 的正负号。的正负号。当当 与与MP使使杆件同侧纤维受拉杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。时，其乘积取正值。 二、各类结构的位移公式二、各类结构的位移公式1、梁和刚架、梁和刚架在梁和刚架中，位
35、移主要是弯矩引起的，轴力和在梁和刚架中，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响较小，因此，位移公式可简化为剪力的影响较小，因此，位移公式可简化为 （6-9） 2、桁架、桁架在桁架中，在结点荷载作用下，各杆只受轴力，而且在桁架中，在结点荷载作用下，各杆只受轴力，而且每根杆的截面面积每根杆的截面面积 A 、轴力、轴力FN和和FN沿杆长一般都是常沿杆长一般都是常数，因此，位移公式可简化为数，因此，位移公式可简化为: （6-10） 3、桁梁组合结构、桁梁组合结构在桁在桁-梁组合结构中，梁式杆主要受弯曲，桁杆梁组合结构中，梁式杆主要受弯曲，桁杆只受轴力，因此位移公式可简化为只受轴力，因此位移公式可简化为
36、（6-11）4、拱、拱 计算表明，通常只需考虑弯曲变形的影响，即可按式（计算表明，通常只需考虑弯曲变形的影响，即可按式（6-9）计算。但当拱轴线与压力线比较接近（即两者的距离）计算。但当拱轴线与压力线比较接近（即两者的距离与杆件的截面高度为同量级），或者是计算扁平拱（与杆件的截面高度为同量级），或者是计算扁平拱（f / la0 BLa0 B点的水平位移是（点的水平位移是（） A A、向右向右 B B、向左向左C C、等于零等于零 D D、不一定不一定7 7、图示桁架、图示桁架C C点的水平位移不等于零。点的水平位移不等于零。（ ）8 8、应用虚力原理求体系的位移时，虚、应用虚力原理求体系的位移时，虚设力状态可在需求位移处添加相应的非设力状态可在需求位移处添加相应的非单位力，亦可求的该位移。（单位力，亦可求的该位移。（ ）7题图1010、图示刚架在、图示刚架在荷载作用下，铰荷载作用下，铰B B向下的竖向位向下的竖向位移为（）移为（） 9题图B
