《九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第1节 菱形的性质与判定课件 （新版）北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第1节 菱形的性质与判定课件 （新版）北师大版（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北师大版九年级上册 第一节：菱形的性质与判定 第一章：特殊平行四边形第一章：特殊平行四边形第一课时第一课时菱形的性质菱形的性质问题导入 下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？征？与与下下图相比较，这图相比较，这些些平行四边形特殊在哪里平行四边形特殊在哪里？这些平行四边形的邻边相等，像这样的平行四边形叫菱形。这些平行四边形的邻边相等，像这样的平行四边形叫菱形。探究新知有一组邻边相等的平行四有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。边形叫做菱形。菱形在生活中随处可见，你能
2、举出一菱形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。菱形具有工整菱形具有工整,匀称匀称,美观等许多优点美观等许多优点,常被人们用在图案设计上常被人们用在图案设计上.（1 1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？ 菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形。平分。中心对称图形。 （2 2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。）你认为菱形还具有哪些特
3、殊的性质？与同伴交流。 想一想（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？用菱形纸片折一折，回答下列问题： 菱形是轴对称图菱形是轴对称图形，有两条对称形，有两条对称轴，分别是两条轴，分别是两条对角线所在的直对角线所在的直线，两条对称轴线，两条对称轴互相垂直。互相垂直。菱形的四条边相等。菱形的四条边相等。探究性质(2)结合手中的折纸得到的菱形结合手中的折纸得到的菱形ABCD，找出图中相等的角和线段。，找出图中相等的角和线段。由折纸过程和对称由折纸过程和对称轴的性质可得轴的性质可得相等的角有：相等的角有： 1= 2； 3= 4； 5= 6； 7= 8；相等的线段有：
4、相等的线段有：AB=BC=CD=DA.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）ACBD. 菱形四边相等，对角线互相垂直的证明：菱形四边相等，对角线互相垂直的证明：证明：（1）四边形ABCD是菱形，AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等） 又AB=ADAB=BC=CD=AD（2）AB=AD ABD是等腰三角形又四边形ABCD是菱形OB=OD （菱形的对角线互相平分）在等腰三角形ABD中，OB=ODAOBD即ACBD菱形的性质：菱形的性质：1、对角线互相垂直且平分、对角线互相垂直且平分,并且每条对角并且每条对角线平分一
5、组对角；线平分一组对角；2、四条边都相等、四条边都相等,对边平行且相等对边平行且相等；3、对角相等、对角相等,邻角互补；邻角互补；4、菱形既是轴对称图形、菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对对称轴是两条对角线所在直线角线所在直线,也是中心对称图形也是中心对称图形,5、菱形是特殊的平行四边形、菱形是特殊的平行四边形,它具备平行它具备平行四边形的一切性质四边形的一切性质. 例例2.2.已知如图，菱形已知如图，菱形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线BDBD，ACAC分别为分别为6cm6cm和和8cm8cm，则菱形的边长是（，则菱形的边长是（ ）A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cmA
6、.10cm B.7cm C. 5cm D.4cmC解析：解析： ABCD是菱形是菱形 AC BD， AO=4 , BO=3 在在RtAOB中，中， 菱形的边长为菱形的边长为5cm, 故选故选C. 例例3. 3. 如图，在菱形如图，在菱形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC与与BDBD相交相交于点于点O O，BAD=60BAD=60，BD=6BD=6，求菱形的边长，求菱形的边长ABAB和和对角对角线线ACAC的长。的长。 分析：由菱形的分析：由菱形的性质得到性质得到AC BD,AB=AD,结合题意，得到结合题意，得到ABD是等边三是等边三角形从而求出角形从而求出AB的长，再借助勾的长，再
7、借助勾股定理求出股定理求出AC的的长。长。 解：解： 四边形四边形ABCD是菱形是菱形 AB=AD（菱形的四条边都相等）（菱形的四条边都相等）AC BD（菱形的对角线互相垂直）（菱形的对角线互相垂直）OB=OD= (菱形的对角线互相平分）菱形的对角线互相平分）在等腰在等腰 ABC中中BAD=60 ABD是等边三角形是等边三角形 AB=BD=6在在Rt AOB中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 3cm3cm60600 0 . .已知菱形的周长是已知菱形的周长是12cm12cm，那么它的边长是，那么它的边长是_._. . .如下图：菱形如下图：菱形ABCDABCD中中BADBAD6060，则，则
8、ABDABD_._.巩固练习解析：根据菱形的四边相等，得到边长为3.解析：根据菱形的四边相等，得到AB=AD,再因为BAD=60，得到ABD是等边三角形，所以有ABD=60.52.2.已知菱形已知菱形ABCDABCD的两条对角线的长分别为的两条对角线的长分别为6和和8，M、N分别是边分别是边BC、CD的中点，的中点，P是对角线是对角线BD上一点，则上一点，则PM+PN的最小值为的最小值为_._.解析：当解析：当P点为点为AC与与BD的交点时，的交点时， PM+PN的值最小，为菱形的边长的值最小，为菱形的边长 两条对角线分别为两条对角线分别为6和和8, 此菱形的边长为此菱形的边长为5， 故故PM
9、+PN的最小值为的最小值为5.课堂总结请各位同学回忆一下菱形的性质有请各位同学回忆一下菱形的性质有哪些？请从边，角，对角线和对称哪些？请从边，角，对角线和对称性的角度进行分析性的角度进行分析.边边角角对角线对角线对称性对称性菱形的两组对边平行菱形的两组对边平行菱形的四边相等菱形的四边相等菱形的两组对角相等菱形的两组对角相等菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的对角线互相平分，且每一组对角菱形的对角线互相平分，且每一组对角线平分一组对角线平分一组对角菱形的对角线互相垂直菱形的对角线互相垂直菱形是中心对称图形，对称中心是两菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点条对角线的交点菱形是轴对称图形，对
10、称轴是两条对角菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线线所在的直线课后作业 1.习题1.1：知识技能第1，2两题 2.预习第二课时.第二课时第二课时菱形的判定菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。3.菱形的性质菱形的性质1.菱形的定义菱形的定义（）菱形的四条边都相等（）菱形的四条边都相等（）菱形的对角线互相垂直（）菱形的对角线互相垂直2.菱形的特征菱形的特征菱形是一个轴对称图形菱形是一个轴对称图形 我们可以怎样判定一个四边形是菱形？我们可以怎样判定一个四边形是菱形？复习引入有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.探
11、究新知数学语言：数学语言：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形且是平行四边形且AB=AD四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形菱形的判定：定义法菱形的判定：定义法菱形的性质菱形的性质“两条对角线互相垂直平分两条对角线互相垂直平分”中，中，“对对角线互相平分角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线垂直对角线垂直”是菱形所特有的性质。是菱形所特有的性质。由此，可以得到一个猜想：由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱那么这个平行四边形是一个菱形。形。”除定义
12、法之外，还能找到其他的判定除定义法之外，还能找到其他的判定方法吗？方法吗？如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两四边形若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两个木棒之间的夹角等于个木棒之间的夹角等于90时，得到的图形是什么图形时，得到的图形是什么图形呢？呢？探究一探究一如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四如图，你
13、还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四边形边形和你的同伴交换一下，和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形看看是否成了一个菱形对角线互相垂对角线互相垂直的平行四边直的平行四边形是菱形形是菱形如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，证明： 四边形ABCD是菱形证明证明 四边形ABCD是平行四边形 OAOC又ACBD BD所在直线是线段AC的垂直平分线 ABBC 四边形ABCD是菱形验证猜想验证猜想对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。ABCD在在ABCDABCD中，中，ACBDACBD ABCDABCD是菱形是菱形菱形的判定菱形的判定2：数学语言：数学
14、语言：先画两条等长的线段先画两条等长的线段ABAB、ADAD，然后分别以，然后分别以B B、D D为圆为圆心，心，ABAB为半径画弧，得到两弧的交点为半径画弧，得到两弧的交点C C，连接，连接BCBC、CDCD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？形？根据画图，你能得到还有什么方法能判定一个根据画图，你能得到还有什么方法能判定一个四边形是菱形吗？四边形是菱形吗？ABCDO探究二探究二有四条边相等的四边形是菱形。有四条边相等的四边形是菱形。已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中中,AB=BC=CD=DA.,AB=BC=CD=DA.求证：四
15、边形求证：四边形ABCDABCD是菱形是菱形DABC证明：证明：AB=CD,AD=BCAB=CD,AD=BC四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形又又AB=AD,AB=AD,四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形验证猜想验证猜想四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形. .AB=BC=CD=DAABCD菱形菱形ABCDABCD在四边形在四边形ABCDABCD中中AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形四四边形边形ABCDABCD菱形的判定菱形的判定3：数学语言：数学语言： 菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：1.有一组
16、邻边相等的平行四边形是有一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形有四条边相等的四边形是菱形.例题讲解1.1.下列条件中下列条件中, ,不能判定四边形不能判定四边形ABCDABCD为菱形的是（为菱形的是（ ） . AC. AC BD BD ，ACAC与与BDBD互相平分互相平分 . AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=DA . AB=BC. AB=BC，AD=CDAD=CD，且，且AC AC BD . AB=CD. AB=CD，AD=BCAD=BC，AC AC BDC解析：根据菱形的解析：根据
17、菱形的三个判定可得三个判定可得C是错是错误的误的.ABCDO2 2、如图，、如图， ABCDABCD的两条对角线的两条对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，AB=5AB=5，AC=8AC=8，DB=6DB=6 求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .ABCDO四边形ABCD是菱形.OA=OC=4 OB=OD=3证明:又AB=5 ACBDAOB=90又 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形巩固练习1.判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ）(3)对角线互相垂直,且有一组
18、邻边相等的四边形是菱形； （ ）(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 （ ）2.对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）A.矩形 B.一般的平行四边形C.菱形 D.以上都不对C拓展提高例例1.在平行四边形在平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD交于点交于点O，E是是BD延长线上的点，且延长线上的点，且ACE是等边三角形是等边三角形,求证：四求证：四边形边形ABCD是菱形是菱形.分析：根据平行四边形的性质得出对角线互相平分，再根据等边三角形“三线合一”的性质得出垂直关系即可判定四边形ABCD为菱形。证明：证明： 四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， AO=
19、CO, ACE是等边三角形，是等边三角形， EO AC， 即即DB AC， 平行四边形平行四边形ABCD是菱形是菱形. 例例2.如图，在如图，在ABC中，中， ACB=90，CD AB于点于点D,AE平分平分 BAC,分别与分别与BC，CD交于点交于点E,F.EH AB于于点点H,连接连接FH，求证：四边形，求证：四边形CFHE是菱形是菱形.分析：根据角平分线的性质分析：根据角平分线的性质可得可得CE=EH，根据，根据“等角的余等角的余角相等角相等”可知可知 CEF= CFE，即即CE=CF，再证明，再证明EH/CF，于是得到四边形于是得到四边形CFHE是菱形是菱形.证明：AE平分BAC,EH
20、AB，ECAC, EH=EC，CAE=EAB，CAE+AEC=90，EAB+AFD=90，AEC=AFD,又AFD=CFE，CEF=CFE,EC=CF,EH=CF,又CDAB,EHAB，CD/EH,四边形CFHE是平行四边形又EH=EC平行四边形CFHE是菱形 一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直四条边相等四条边相等五种判定方法五种判定方法四边形四边形平行四边形平行四边形菱形菱形菱形的判定方法：菱形的判定方法：课堂总结课后作业 1.习题1.2：知识技能第1，2两题 2.预习第三课时.第三课时第三课时菱形的有关计算菱形的有关计算有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。有一组邻边相等的
21、平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质菱形的性质1.菱形的定义菱形的定义（）菱形的四条边都相等（）菱形的四条边都相等（）菱形的对角线互相垂直（）菱形的对角线互相垂直复习引入3.菱形的判定菱形的判定(A).有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(B).对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(C).有四条边相等的四边形是菱形有四条边相等的四边形是菱形.菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关系？它们之间有什么关系？菱形被它的两条对角线分成菱形被它的两条对角线分成四个什么三角形？它们有什四个什
22、么三角形？它们有什么关系？么关系？菱形的周长菱形的周长=4=4边长边长探究新知两个全等的等腰三角形两个全等的等腰三角形四个全等的直角三角形四个全等的直角三角形O【菱形的面积公式菱形的面积公式】菱形是菱形是特殊的平行四边形特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗面积公式计算菱形的面积吗?菱形ABCDOES菱形=BC AE想一想想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出已知菱形的两条对角线的长，能求出它的面积吗它的面积吗? = SABD+SBCD = ACBD S菱形菱形ABCD菱形的面积菱形的面积=底底高高=对角线乘积的一半对角线乘积的一半菱形的有关计
23、算菱形的有关计算菱形的周长=4边长菱形的面积=底高=对角线乘积的一半例例1 1：已知：已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是边长为是边长为13cm13cm的菱形的菱形, ,其其中对角线中对角线BDBD长长10cm.10cm.求求:(1).:(1).对角线对角线AC的长度的长度; ; (2).(2).菱形菱形ABCDABCD的面积的面积解:(1)四边形ABCD是菱形,AC和BD相交于点EAED=90=900 0AC=2=2AE=2=212=24(cm).12=24(cm).DBCAE44（菱形对角线互相垂直）（菱形对角线互相垂直）. .（菱形对角线互相平分）（菱形对角线互相平分）
24、. .例题讲解=2=2ABD的面积的面积(2)菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积DBCAE45例例2.如图所示，已知菱形如图所示，已知菱形ABCD的周长为的周长为40cm,两条两条对角线对角线AC、BD之比为之比为3：4，求（求（1）两条对角线的长；（）两条对角线的长；（2）菱形）菱形ABCD的面积。的面积。 分析：（1）AC:BD=3：4，即OA:OB=3：4,利用勾股定理求出OA、OB的长，就求出了AC和BD的长；（2）对角线乘积的一半即为菱形的面积解：（1）菱形的周长为40cm, AB=10cm， AC:BD=3:4 OA：OB=3:4 ACBD 在RtAOB中，有 设OA=
25、3x，OB=4x 即 x=2, OA=6cm,OB=8cm, AC=12cm,BD=16cm (2)1.1.已知菱形的周长是已知菱形的周长是1212，那么，那么它的边长是它的边长是( ).( ).2.2.已知如图，菱形已知如图，菱形ABCDABCD的边长和一条对角线的边长和一条对角线ACAC的长均为的长均为2cm2cm，则菱形的，则菱形的面积为（面积为（ ）. . 巩固练习3利用勾股定理求出菱形的边利用勾股定理求出菱形的边长，再求出其周长，根据菱长，再求出其周长，根据菱形的面积等于对角线的一半形的面积等于对角线的一半求出菱形的面积求出菱形的面积小提示：有关菱小提示：有关菱形问题可形问题可转化转
26、化为为直角三角形直角三角形或或等等腰三角形腰三角形的问题的问题来解决来解决3.菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm,（1）求这个菱形的每一个内角的度数； （2）求这个菱形另一条对角线的长.解：由题意知AC=10cm，（1）菱形周长为40cm，则 AB=BC=10cm，AC=10cm，ABC为等边三角形，ABC=60，BAD=180-60=120，（2）在RtABO中，AB=10cm,则另一条对角线长 菱形的对角线长分别为10cm,则菱形的面积4.已知：如图，在RtABC中，BAC=60，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE的延长线上，且AF=CE,求证：四边
27、形ACEF是菱形.证明：ACE=90，DE垂直平分BC，DFAC，BE=CE，B=BCE，B+BAC=90，ACE+BCE=90，BAC=ACE，AE=CE=AE，BAC=60，ACE是等边三角形，AEF=CAE=60，AF=CE=AE，AEF是等边三角形，EF=AE=AF=AC=CE，四边形ACEF是菱形如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？巩固提高解：依题意可知AB/CD，AD/BC 四边形ABCD是平行四边形分别作AB，BC边上的高为AF，AE，两纸条相同，纸条宽度AE=AF平行四边形的面积为 AECD=BCAF，CD=BC平行四边形ABCD为菱形课堂总结菱形的周长=4边长菱形的面积=底高=对角线乘积的一半菱形的有关计算课后作业习题1.3：知识技能第3，4两题谢谢观赏谢谢观赏
