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1、解解 直直 角角 三三 角角 形形 的的 应应 用用 一一、利利用用解解直直角角三三角角形形的的知知识识来来解解决决实实际际应应用用问问题题，是是中中考考的的一一大大类类型型题题，主主要要涉涉及及测测量量、航航空空、航航海海、工工程程等等领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念：领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念： 1 仰角、俯角；仰角、俯角； 2 方向角；方向角； 3 坡角、坡度；坡角、坡度； 4 水平距离、垂直距离等。水平距离、垂直距离等。 再依据题意画出示意图，根据条件求解。再依据题意画出示意图，根据条件求解。 二、解实际问题常用的两种思维方法：二、解实际问题常用的两种思维方法：
2、（1）切切割割法法：把把图图形形分分成成一一个个或或几几个个直直角角三三角角形形与与 其他特殊图形的组合；其他特殊图形的组合； （2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。D15例例1 1 （2002年年四四川川省省中中考考题题）要要求求tan30的的值值，可可构构造造如如图图所所示示的的直直角角三三角角形形进进行行计计算算：作作RtABC，使使C=90，斜边，斜边AB=2，直角边，直角边AC=1，那么，那么BC= ，tan30= . 在此图基础上，通过添加适当在此图基础上，通过添加适当的辅助线，可求出的辅助线，可求出tan15的值。的值。请简要写出你添
3、加的辅助线和求出的请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15的值。的值。 ACB1230解：延长解：延长CB至至D，使，使BD=AB，连结，连结AD，则，则D=15，tan15= 。ACB1230DEx2例例2 2 （2002年河北省中考题）年河北省中考题）如图，某建筑物如图，某建筑物BC直立于水直立于水平地面，平地面，AC=9米要建造阶梯米要建造阶梯AB，使每阶高不超过，使每阶高不超过20厘米，厘米，则此阶梯最少要建则此阶梯最少要建 阶（最后一阶的高不足阶（最后一阶的高不足20厘米时，厘米时，按一阶计算；按一阶计算； 取取1.732） ACB30解：在解：在RtACB中，中，C=90， BC
4、=ACtan30=9 =3 =5.196 此阶梯的阶数此阶梯的阶数= 26（阶）。（阶）。 故填上故填上26。 9米米AOFBC例例3 3 （2002年年福福州州市市中中考考题题）某某市市在在“旧旧城城改改造造”中中计计划划在在市市内内一一块块如如图图所所示示的的三三角角形形空空地地上上种种植植某某种种草草皮皮以以美美化化环环境境，已已知知这这种种草草皮皮每每平平方方米米售售价价a元元，则则购购买买这这种种草草皮皮至至少少需需要要（ ） A、450a元元 B、225a元元 C、150a元元 D、300a元元 h30米20米150解：如图所示，作出此三角形的高解：如图所示，作出此三角形的高h。
5、则则S= 3020sin（180150） = 3020 =150（平方米）（平方米） 购买这种草皮至少需要购买这种草皮至少需要150a元。故选（元。故选（C）。）。ABCD例例4 （济南市（济南市2002年中考题）在生活中需测量一些球（如足球、年中考题）在生活中需测量一些球（如足球、篮球篮球）的直径）的直径.某校研究性学习小组，通过实验发现下面测某校研究性学习小组，通过实验发现下面测量方法：如图将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到量方法：如图将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子球的影子AB，设光线，设光线DA、CB分别与球相切于点分别与球相切于点E、F，则，则EF即为球的直
6、径，若测得即为球的直径，若测得AB的长为的长为41.5cm， ABC=37.请你计请你计算出球的直径算出球的直径. (精确到精确到1cm,可用数据可用数据:sin37=0.6,cos37=0.8).DEFACB37G解：过解：过A作作AG CB,垂足为垂足为G,则则AG=EF.在在Rt ABG中中, sinB B= = ,AG=ABsinB=41.5sin37=41.5 0.6=24.9 25(cm),即即EF 25cm.答：球的直径约为答：球的直径约为25cm.例例5 5 （2002年黑龙江省哈尔滨市中考题）为了申办年黑龙江省哈尔滨市中考题）为了申办2010年冬年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通
7、状况。在大直街拓宽工程中，奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以，在地面上事先划定以B为圆心，半径与为圆心，半径与AB等长的圆形危险区。现在某工人站在离等长的圆形危险区。现在某工人站在离B点点3米远的米远的D处测得树处测得树的顶端的顶端A点的仰角为点的仰角为60，树的底部，树的底部B点的俯角为点的俯角为30。问距离。问距离 B点点8米远的保护物是否在危险区内？米远的保护物是否在危险区内？CDBE3060A解：过点解：过点C作作CE AB于于E.在在RtCBE中中,tan30=BE=CE tan30=在在RtCAE中中,tan60=A
8、E=CE tan60=AB=AE+EB= 6.92(米）米） 8(米）米）距离距离 B点点8米远的保护物不在危险区米远的保护物不在危险区.若若这这艘艘轮轮船船自自A处处按按原原速速度度继继续续航航行行，在在途途中中会会不不会会遇遇到到台台风风？若若会会，试试求求轮轮船船最最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。轮轮船船自自A处处立立即即提提高高船船速速，向向位位于于东东偏偏北北30方方向向，相相距距60里里的的D港港驶驶去去。为为使使台台风风到到来来之之前前到到达达D港港，问问船船速速至至少少应应提提高高多多少少？（提高的船速取整数，？（提高的船速取整数，
9、 ）？）？ 北北东东DAB30例例6 如图所示，一艘轮船以如图所示，一艘轮船以20里里/时的速度由西向东航行，途中时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以接到台风警报，台风中心正以40里里/时的速度由南向北移动，距时的速度由南向北移动，距台风中心台风中心20 里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到到A处时，测得台风中心移到位于点处时，测得台风中心移到位于点A正南方向正南方向B处，且处，且AB=100里。里。解解题题点点拨拨：（1）假假设设会会遇遇到到台台风风，设设最最初初遇遇到到台台风风时时间间为为t小小时时，此此时时，轮轮船船在在C
10、处处，台台风风中中心心到到达达E处处（如如图图），则则有有AC2+AE2=EC2，显显然然，AC=20t里里，AE=ABBE=10040t，EC=20 ，则则（20t）2+（10040t）2=(20 )2， 若若可求出可求出t，则会遇到台风，若不能求出，则会遇到台风，若不能求出t，则不会遇到台风。，则不会遇到台风。解解：（1）设设途途中中会会遇遇到到台台风风，且且最最初初遇遇到到台台风风的的时时间间为为t小小时时，此此时时轮轮船船位位于于C处处，台台风风中中心心移移到到E处处，连连结结CE，则则有有AC=20t，AE=10040t，EC=20 ，在在RtAEC中中，由由勾勾股股定理，得定理，得
11、(20t)2+(10040t)2=(20 )2，整理，得整理，得t24t+3=0 =（4）2413=40, 途中会遇到台风。途中会遇到台风。 解解得，得，t1=1,t2=3 最初遇到台风的时间为最初遇到台风的时间为1小时。小时。ACEB北北南南西西东东解题点拨：解题点拨： 先求出台风抵达先求出台风抵达D港的时间港的时间t t，因，因AD=60，则，则6060 t=t=提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。 解：解： 设台风抵达设台风抵达D港时间为港时间为t小时，此时台风中心至小时，此时台风中心至M点。点。 过过D作作DFAB，垂足为，垂
12、足为F，连结，连结DM。 在在RtADF中，中，AD=60，FAD=60 DF=30 ，FA=30 又又FM=FA+ABBM=13040t，MD=20 （30 ）2+（13040t）2=(20 )2 整理，得整理，得4t2-26t+39=0 解之，得解之，得 台风抵达台风抵达D港的时间为港的时间为 小时。小时。 轮船从轮船从A处用处用 小时到达小时到达D港的速度为港的速度为60 25.5。为使台风抵达为使台风抵达D D港之前轮船到港之前轮船到D D港，轮船至少应提速港，轮船至少应提速6 6里里/ /时。时。 DAMB30北北东东F例例7 7 如如图图，公公路路MN和和公公路路PQ在在点点P处处
13、交交会会，且且QPN=30，点点A处处有有一一所所中中学学，AP=160米米，（1 1）假假设设拖拖拉拉机机行行驶驶时时，周周围围100米米以以内内会会受受到到噪噪声声的的影影响响，那那么么拖拖拉拉机机在在公公路路MN上上沿沿PN方方向向行行驶驶时时，学学校校是是否否会会受受到到噪噪声声影影响响？请请说说明明理理由由（2 2）如如果果受受影影响响，已已知知拖拖拉拉机机的的速速度度为为18千千米米/时时，那那么么学学校校受受影影响响的时间为多少秒？的时间为多少秒？ 解题点拨解题点拨 （1） 作作ABMN于于B，求，求出出AB，若，若AB100米，则受影响，若米，则受影响，若AB100米，则不受影
14、响米，则不受影响. .PQMNAB30160解解（1）作作ABMN，B为垂足。为垂足。 在在RtABP中中 ABP=90，APB=30， AP=160米，米， AB= AP=80米米 点点A到直线到直线MN的距离小于的距离小于100米。米。 这所中学会受到噪声的影响。这所中学会受到噪声的影响。MPQNACDB（2）如如图图，如如果果以以点点A为为圆圆心心，100米米为为半半径径画画圆圆，那那么么圆圆A和和直直线线MN有有两两个个交交点点，设设交交点点分分别别为为C、D，连连结结AC、AD，那么，那么AC=AD=100（米）。（米）。 根根据据勾勾股股定定理理和和垂垂径径定定理理，CB=DB =
15、 =60（米），（米）， CD=120（米）（米） 学校受噪声影响的时间学校受噪声影响的时间t=120米米18千米千米/时时= 时时=24秒。秒。 解题点拨解题点拨 （2 2） 既然受影响，既然受影响，怎样求受影响的时间呢？因拖拉怎样求受影响的时间呢？因拖拉机速度已知，故应求学校在受噪机速度已知，故应求学校在受噪声影响时拖拉机行驶的路程，即声影响时拖拉机行驶的路程，即以以A为圆心，为圆心，100米为半径画圆米为半径画圆A，则，则A交交MN于于C、D两点，弦两点，弦CD的长为所求的路程，用垂径的长为所求的路程，用垂径定理可求定理可求CD。小结：小结：1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模、将实
16、际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题。型转化为数学问题。2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决。问题来解决。作业作业：如如图图，有有一一位位同同学学用用一一个个有有30角角的的直直角角三三角角板板估估测测他他们们学学校校的的旗旗杆杆AB的的高高度度，他他将将30角角的的直直角角边边水水平平放放在在1.3米米高高的的支支架架CD上上，三三角角板板的的斜斜边边与与旗旗杆杆的的顶顶点点在在
17、同同一一直直线线上上，他他又又量得量得D、B的距离为的距离为15米。米。 （1）试求旗杆）试求旗杆AB的高度（精确到的高度（精确到0.1米，米， ）；）； （2）请你设计出一种更简便的估测方法。）请你设计出一种更简便的估测方法。 30CDBEA （2002年年南南京京市市中中考考题题）如如图图，客客轮轮沿沿折折线线ABC，从从A出出发发经经B再再到到C匀匀速速直直线线航航行行，将将一一批批物物品品送送达达客客轮轮。两两船船同同时时起起航航，并并同同时时到到达达折折线线ABC上上的的某某点点E处处，已已知知AB=BC=200海里，海里，ABC=90，客轮速度是货轮速度的，客轮速度是货轮速度的2倍
18、。倍。 选择：两船相遇之处选择：两船相遇之处E点（点（ ） （A）在线段）在线段AB上上 （B）在线段）在线段BC上上 求求货货轮轮从从出出发发到到两两船船相相遇遇共共航航行行了了多多少少海海里里?(结结果果保保留留根根号号)ABCD解解：（1）设设DE=x（海海里里），则则客客轮轮从从A点点出出发发到到相相遇遇之之处处E点点的的距距离离为为2x海海里里。若若2x200，则则x100，即即DEAB，而而从从点点D出出发发，货货轮轮到到相相遇遇点点E处处的的最最短短距距离离是是100海海里里，所所以以x100，即即2x200。故故相相遇遇处处E点应在点应在CB上，选（上，选（B）。）。 设设货货轮轮从从出出发发点点D到到两两船船相相遇遇处处E共共航航行行了了x海海里里。过过D作作DFCB于于F，连结，连结DE，则，则DE=x，AB+BE=2x。
