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1、第四节 动态方程的线性变换8/11/20241 若 是系统的一个状态向量，总可以找到一个非奇异的 线性变换阵 ，有 。那末， 也是系统的一个状态变量，经过这种满秩变换后，系统的传递函数阵不变（前面已经证明）。由于非奇异矩阵 的选择不是唯一的，所以 不是唯一的。一、状态变量模型的非唯一性二、特征根和特征向量我们称 为特征多项式，它的n个根 为 的特征值。由 解出的向量 称为对应 的特征向量。定义：若 是n阶方阵，如果数 和n维非零向量 使关系式 成立（或 ），那末，数 称为方阵 的特征值， 非零向量 称为 的对应于 的特征向量。8/11/20242例6-4-1：求 的特征值和特征向量。解：当 时
2、，由： 得：同理，当 时，8/11/20243例6-4-2： ，求特征值和特征向量。解：特征值为当 时，由 ，得：8/11/20244q若 有 个互异的特征根 ，则 必可化为对角阵 ，即 ，对角线元素为特征根的值。其转换阵为 ，其中 为 对应的特征向量。 说明： ，那末：我们知道，若 ，则 是 对应的特征向量。所以，转换矩阵 是由 的特征向量组成的。三、动态方程的约当标准型（对角型）8/11/20245例6-4-3将 转换为对角阵，并求转换矩阵。解：在例6-4-2中，已经求出了 的特征值为： 其对应的特征向量分别为： 所以转换阵为：即有：8/11/20246特例：若方阵 是可控标准型，且特征根
3、互异，则转换阵是范得蒙矩阵。q 若 有相同的特征根时，分两种情况：m个相同的特征值对应的特征向量完备，即m个相同的特征值对应m个独立的特征向量。这种情况较少见。转换阵 的求法同上。8/11/20247即： 前面m项是对应m重特征根的m个互相独立的特征向量；后面n-m个是互异特征根的特征向量。这时 阵可转换为如下形式的约当标准型。8/11/20248m个相同的特征值对应的特征向量不完备，即m个相同的特征值不存在m个独立的特征向量。这时不能将之化为对角阵而只能转换为约当阵。（设有m个重根 ）m行n-m行(约当块)8/11/20249 阵的求法分为两块，一块是互异部分，算法同上；另一块是重根部分。设 的求法 ：由此可求得：上式中， 为重根对应的特征向量(广义特征向量)； 为互异特征根对应的特征向量。8/11/202410例：试将下列状态方程化为约当标准型：解：求特征值： （二重根）时的特征向量为：另一广义的特征向量： 时特征向量：8/11/202411且有：8/11/202412小结n状态变量模型的非唯一性n特征根和特征向量n动态方程的约当标准型（对角标准型）8/11/202413
