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1、都有定理定理(dngl)2(比比较审敛法较审敛法)设且存在(cnzi)对一切(yqi)有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数则强级数证:设对一切收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨第1页/共27页第一页，共28页。(1) 若强级数(j sh)则有因此(ync)对一切有由定理(dngl) 1 可知,则有(2) 若弱级数因此这说明强级数也发散 .也收敛 .发散,收敛,弱级数第2页/共27页第二页，共28页。例例1.讨论讨论(toln)p级数级数(常数(chngsh) p 0
2、)的敛散性. 解: 1) 若因为(yn wi)对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散 .发散 ,第3页/共27页第三页，共28页。因为(yn wi)当故考虑(kol)强级数的部分(b fen)和故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,2)若若第4页/共27页第四页，共28页。调和级数调和级数(jsh)与与p级数级数(jsh)是两个常用的比较级数是两个常用的比较级数(jsh).若存在(cnzi)对一切(yqi)第5页/共27页第五页，共28页。证明(zhngmng)级数发散(fsn) . 证: 因为(yn wi)而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散 .例例2.2.第6
3、页/共27页第六页，共28页。定理定理3.(比较比较(bjio)审敛法的审敛法的极限形式极限形式)则有两个级数(j sh)同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 证: 据极限(jxin)定义,设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,第7页/共27页第七页，共28页。由定理(dngl) 2 可知同时(tngsh)收敛或同时(tngsh)发散 ;(3) 当l = 时,即由定理(dngl)2可知, 若发散 , (1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知收敛 , 若第8页/共27页第八页，共28页。是两个(lin )正项级数, (1) 当 时,两个级数(j sh)
4、同时收敛或发散 ;2) 特别(tbi)取可得如下结论 :对正项级数(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时, 也收敛 ;也发散 .注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.第9页/共27页第九页，共28页。的敛散性. 例例3.判别判别(pnbi)级数级数的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限(jxin)形式知例4. 判别(pnbi)级数解:根据比较审敛法的极限形式知第10页/共27页第十页，共28页。定理定理4.比值比值(bzh)审敛法审敛法(Dalembert判别法判别法)设 为正项(zhn xin)级数, 且则(1) 当(2) 当证: (1)收敛(s
5、hulin) ,时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .由比较审敛法可知第11页/共27页第十一页，共28页。因此(ync)所以级数(j sh)发散.时(2)当当说明(shumng): (shumng): 当时,级数可能收敛也可能发散.例如, , p 级数但级数收敛 ;级数发散 .从而第12页/共27页第十二页，共28页。例例5.讨论讨论(toln)级数级数的敛散性 .解: 根据(gnj)定理4可知:级数(j sh)收敛 ;级数发散 ;第13页/共27页第十三页，共28页。二二、交错、交错(jiocu)级数级数及其审敛法及其审敛法则各项符号(fho)正负相间的级数称为交错(jiocu)级数 .定
6、理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数收敛 , 且其和 其余项满足第14页/共27页第十四页，共28页。证: 是单调递增(dzng)有界数列,又故级数(j sh)收敛于S, 且故第15页/共27页第十五页，共28页。收敛(shulin)收敛(shulin)用用Leibnitz判别法判别下列判别法判别下列(xili)级数的敛级数的敛散性散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛第16页/共27页第十六页，共28页。三、绝对三、绝对(judu)收敛与收敛与条件收敛条件收敛定义(dngy): 对任意项级数若若原级数收敛, 但取绝对值以后(yhu
7、)的级数发散, 收敛 ,数为条件收敛 .均为绝对收敛.例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .则称原级第17页/共27页第十七页，共28页。定理定理7.绝对收敛的级数绝对收敛的级数(jsh)一定一定收敛收敛.证: 设根据(gnj)比较审敛法显然(xinrn)收敛,收敛也收敛且收敛 ,令第18页/共27页第十八页，共28页。例例7.证明下列级数证明下列级数(jsh)绝对收敛绝对收敛:证: (1)而收敛(shulin) ,收敛(shulin)因此绝对收敛 .第19页/共27页第十九页，共28页。(2) 令因此(ync)收敛(shulin),绝对(judu)收敛.小结第20页/共27页第二十页，共
8、28页。内容内容(nirng)小结小结2. 判别正项级数敛散性的方法(fngf)与步骤必要条件(b yo tio jin)不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限第21页/共27页第二十一页，共28页。3.任意任意(rny)项级数项级数审敛法审敛法为收敛(shulin)级数Leibniz判别(pnbi)法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛第22页/共27页第二十二页，共28页。思考思考(sko)与与练习练习设正项级数(j sh)收敛(shulin), 能否推出收敛 ?提示:由比较判敛法可知收敛 .注意:反之不成立.例如,收敛 ,发散 .
9、第23页/共27页第二十三页，共28页。 作业作业(zuy) P268 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (4) ; 4 (1), (3), (5) ; 5 (2), (4)第三节 第24页/共27页第二十四页，共28页。备用备用(biyng)题题1. 判别(pnbi)级数的敛散性:解: (1)发散(fsn) ,故原级数发散 .不是 p级数(2)发散 ,故原级数发散 .第25页/共27页第二十五页，共28页。2.则级数(j sh)(A) 发散 ; (B) 绝对(judu)收敛;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据(gnj)条件不能确定.分析: (B) 错 ;又C第26页/共
10、27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。内容(nirng)总结都有。分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有。第1页/共27页。由定理 1 可知,。第2页/共27页。由比较审敛法可知 p 级数。调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.。由定理 2 可知。同时收敛(shulin)或同时发散。(3) 当l = 时,。(2) 当l = 0时,。时, 级数发散 .。收敛(shulin) , 且其和。用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:。上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛(shulin)。证: 设。解: (1)。感谢您的欣赏第二十八页，共28页。
