概率的定义及其确定方法.ppt

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1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第1 1页页页页1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法确定概率的频率方法确定概率的频率方法确定概率的频率方法确定概率的频率方法主要内容主要内容概率的公理化定义概率的公理化定义概率的公理化定义概率的公理化定义排列与组合公式排列与组合公式排列与组合公式排列与组合公式确定概率的古典方法确定概率的古典方法确定概率的古典方法确定概率的古典方法确定概率的几何方法确定概率的几何方法确定概率的几何方法确定概率的几何方法第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2 2页页页页直观定义直观

2、定义 事件事件A 出现的可能性大小出现的可能性大小. .统计定义统计定义 事件事件A 在大量重复试验下在大量重复试验下 出现的频率的出现的频率的稳定值稳定值称为该事件的概率称为该事件的概率. .古典古典定义定义；几何定义几何定义. .第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第3 3页页页页非负性公理非负性公理： P(A) 0;正则性公理正则性公理： P()=1;可列可加性公理可列可加性公理：若若A1, A2, , An 互不相容，则互不相容，则一、概率一、概率的的公理化定义公理化定义第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第

3、第4 4页页页页随机试验可大量重复进行随机试验可大量重复进行. .二、二、确定概率的频率方法确定概率的频率方法进行进行n次重复试验次重复试验，记记 n(A) 为事件为事件A的频数，的频数， 称称 为事件为事件A的的频率频率.频率频率fn(A)会稳定于某一常数会稳定于某一常数(稳定值稳定值).).用频率的稳定值作为该事件的概率用频率的稳定值作为该事件的概率. .P16 例例1.2.1（1）频率依赖于试验，不确定；概率客观存在，不依赖于试验。频率依赖于试验，不确定；概率客观存在，不依赖于试验。第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第5 5页页页页试验试验1 1

4、 要求要求1 1：计算机模拟计算机模拟1010组抛均匀硬币试验，每组分组抛均匀硬币试验，每组分别抛别抛11,11,，2020次。统计每组试验出现正面的频次。统计每组试验出现正面的频率。画出率。画出1010组试验的结果散点图（组试验的结果散点图（i, ,f( (i) )），观察频），观察频率的变化，并对结果予以分析。率的变化，并对结果予以分析。要求要求2 2：计算机模拟计算机模拟1010组抛均匀硬币试验，每组分组抛均匀硬币试验，每组分别抛别抛1000,20001000,2000，1000010000次。统计每组试验出次。统计每组试验出现正面的频率。画出现正面的频率。画出1010组试验的结果散点图

5、组试验的结果散点图（i, ,f( (i) )），观察频率的变化，并对结果予以分析。），观察频率的变化，并对结果予以分析。其中i表示第i组试验，f(i)表示第i组试验对应的频率。第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第6 6页页页页排列、组合：排列、组合：n个不同元素中任取个不同元素中任取r个，求取法数个，求取法数. .排列讲次序，组合不讲次序排列讲次序，组合不讲次序. .全排列全排列：Pn= n!，0! = 1.重复排列重复排列：nr选排列选排列：三、三、排列与组合公式排列与组合公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第

6、第第7 7页页页页组组 合合组合组合：重复组合重复组合：关注的是每个元素被取到几次，所以可以考虑将关注的是每个元素被取到几次，所以可以考虑将取出的元素分为取出的元素分为n 堆，第堆，第i 个元素放到第个元素放到第i 堆，故堆，故可将可将r个元素用个元素用n-1-1个挡板分为个挡板分为n堆，划分方法种堆，划分方法种数是：数是：第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第8 8页页页页加法原理加法原理 完成完成某件事情有某件事情有 n 类类方法，方法， 在第一类方法中有在第一类方法中有m1种方种方法，在第二类方法中有法，在第二类方法中有m2种方法，依次类推，在第种

7、方法，依次类推，在第 n 类类方法中有方法中有mn种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法.乘法原理乘法原理 完成完成某件事情需先后分成某件事情需先后分成 n 个个步步骤，做第一步有骤，做第一步有m1种种方法，第二步有方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第种方法，依次类推，第 n 步有步有mn种方种方法，则完成这件事共有法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法种不同的方法.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第9 9页页页页若一个随机试验若一个随机试验(,F, P )具有以下两个特征：具有以下两

8、个特征： (1) 有限性。有限性。样本空间的样本点只有为有限个。样本空间的样本点只有为有限个。即即=1，2，n；(2) 等可能性。等可能性。每个基本事件发生的可能性是相每个基本事件发生的可能性是相等的，即等的，即 P(1)=P(2)=P(n)。则称这类随机试验的数学模型为则称这类随机试验的数学模型为古典概型古典概型。 则事件则事件A的概率为的概率为:P(A) = A中样本点的个数中样本点的个数 / 样本点总数样本点总数四、四、 确定概率的古典方法确定概率的古典方法第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第1010页页页页抛一枚硬币三次抛一枚硬币三次 抛三枚硬

9、币一次抛三枚硬币一次 1=(正正正正正正), (反正正反正正), (正反正正反正), (正正反正正反), (正反反正反反), (反正反反正反), (反反正反反正), (反反反反反反) 此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点等可能等可能.2=(三正三正), (二正一反二正一反), (二反一正二反一正), (三反三反) 此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点不等可能不等可能. 注意：古典概型中，一定要保证样本点的等可能性注意：古典概型中，一定要保证样本点的等可能性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第1111页页页页例例1.2.3 N 个产品个产品，其中

10、其中M个不合格品个不合格品、N M个个合格品合格品. (口袋中有口袋中有M 个白球个白球， N M 个黑球个黑球)常见模型常见模型(1) 不返回抽样不返回抽样从中不返回任从中不返回任取取n 个个, 则此则此 n 个中有个中有 m 个不合格个不合格品的概率为：品的概率为：此模型又称此模型又称 超几何模型超几何模型. n N, m M, nmNM.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第1212页页页页口袋中有口袋中有5 个白球、个白球、7个黑球、个黑球、4个红球个红球.从中不返回任从中不返回任取取3 个个.求取出的求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率个球为

11、不同颜色的球的概率.思思 考考 题题第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第1313页页页页购买购买：从从01，35 中选中选7个号码个号码.开奖开奖：7个基本号码，个基本号码，1个特殊号码个特殊号码. 彩票问题彩票问题幸运幸运35选选7例例1.2.5第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第1414页页页页中奖规则中奖规则 1) 7个基本号码个基本号码 2) 6个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 3) 6个基本号码个基本号码 4) 5个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 5) 5个基本

12、号码个基本号码 6) 4个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 7) 4个基本号码，或个基本号码，或 3个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第1515页页页页中奖概率中奖概率 中所含样本点个数：中所含样本点个数：将将35个号分成三类：个号分成三类： 7个基本号码个基本号码、 1个特殊号码个特殊号码、 27个无用号码个无用号码记记 pi 为中为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：等奖的概率。利用抽样模型得： 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第161

13、6页页页页中奖概率如下中奖概率如下：不中奖的概率为不中奖的概率为： p0=1p1p2p3p4p5p6 p7第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第1717页页页页例例1.2.4 N 个产品，其中个产品，其中M个不合格品个不合格品、N M个合格品个合格品. 从中有返回地任从中有返回地任取取n 个个.则此则此 n 个中有个中有 m 个不合格品的概率为：个不合格品的概率为：常见模型常见模型(2) 返回抽样返回抽样条件：条件： m n , 即即 m = 0, 1, 2, , n.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第1818

14、页页页页例例1.2.6 n 个不同球放入个不同球放入 N 个不同的盒子中个不同的盒子中. .每个盒子中所放球数不限每个盒子中所放球数不限. .求恰有求恰有n 个盒子中各有一球的概率个盒子中各有一球的概率( (n N) 常见模型常见模型(3) 盒子模型盒子模型第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第1919页页页页求求n 个人中至少有两人生日相同的概率个人中至少有两人生日相同的概率. .看成看成 n 个球放入个球放入 N=365个盒子中个盒子中.P(至少两人生日相同至少两人生日相同)=1 P(生日全不相同生日全不相同)用盒子模型得用盒子模型得：pn= P(至

15、少两人生日相同至少两人生日相同)=生日问题生日问题p20=0.4058, p30=0.6963, p40=0.8820, p60=0.9922 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2020页页页页补例补例1.2.1 六根草，头两两相接、尾两两相接。求六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率成环的概率. .解：解：用乘法原则直接计算用乘法原则直接计算所求概率为所求概率为第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2121页页页页n个人坐成个人坐成一排一排，求甲、乙两人相邻而求甲、乙两人相邻而坐的概率坐的概率. .解：

16、解：用捆绑法。用捆绑法。（1）n个人坐成一排，一共有个人坐成一排，一共有n!种坐法。种坐法。（2）先将甲乙两人看做一人，则一共有）先将甲乙两人看做一人，则一共有n-1个人，个人，共有（共有（n-1）！种坐法；然后两人再按顺序排好，）！种坐法；然后两人再按顺序排好，一共是一共是2！种方法，所以甲乙相邻一共有！种方法，所以甲乙相邻一共有（n-1）！）！2！种坐法。所以概率为：！种坐法。所以概率为：补例补例1.2.2第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2222页页页页补例补例1.2.3 n 个人围一圆桌坐，求甲、乙两人个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概

17、率相邻而坐的概率. 解二：解二：考虑甲先坐好，则乙有考虑甲先坐好，则乙有n-1-1个位置可坐，个位置可坐， 而而“甲乙相邻甲乙相邻”只有两种情况，所以只有两种情况，所以P(A) = 2/(n-1-1)。解一：解一：捆绑法得捆绑法得甲甲乙乙甲甲乙乙丙丙丙丙n个人的圆桌排列个人的圆桌排列有有 种方式种方式(n-1)!第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2323页页页页练习：练习：P30 3,4(3),5,6,10,11,12,15,17,19,20,21作业作业：1、将、将C,C,E,E,I,N,S这七个字母随机地排成一行，则这七个字母随机地排成一行，则恰

18、好排成恰好排成SCIENCE的概率是多少？的概率是多少？2、P30 22第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2424页页页页五、五、确定确定概率的几何方法概率的几何方法几何概型几何概型若若 可度量性可度量性。样本空间。样本空间 充满某个区域，充满某个区域， 其度量其度量(长度、面积、体积长度、面积、体积)为为S ； 等可能性等可能性。落在落在 中的任一子区域中的任一子区域A的概率，的概率，只与子区域的度量只与子区域的度量SA有关，有关， 而与子区域的位置而与子区域的位置无关无关 则事件则事件A的概率为的概率为: P(A)= SA /S 第一章第一章 随

19、机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2525页页页页例例1.2.9 （蒲丰投针问题蒲丰投针问题）平面上画有间隔为平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l（d） 的针，求针与平行线相交的概率的针，求针与平行线相交的概率.解：解： 以以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，表示针的中点与最近一条平行线的距离，以以 表示针与此直线间的交角表示针与此直线间的交角.易知样本空间易知样本空间 满足：满足：0 x d/2; 0 . 形成形成x- 平面上的一个矩形，其面积为：平面上的一个矩形，其面积为：S = d /2. P25例例

20、1.2.8；P27例例1.2.10第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2626页页页页 A = “针与平行线相交针与平行线相交” 的充要条件是的充要条件是: x lsin /2. 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得求解得第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2727页页页页由蒲丰投针问题知：长为由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的针与平行线相交的概率为的概率为: : 2l/d .而实际去做而实际去做 N 次试验次试验，得得 n 次针与次针与平行线相平行

21、线相交交，则频率为则频率为: : n/N.用频率代替概率得用频率代替概率得： 2lN/(dn).历史上有一些实验数据历史上有一些实验数据. . 的的随机模拟随机模拟( (MonteCarloMonteCarlo方法方法) )第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2828页页页页蒲丰投针问题的推广蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为掷一个边长为a, ,b, ,c( (均小于均小于d) )的的三角形三角形，求三角求三角形与平行线相交的概率形与平行线相交的概率 分析：分析：三角形与

22、平行线相交有以下三种情况：三角形与平行线相交有以下三种情况： 1) 一个顶点在平行线一个顶点在平行线上上; ; 2) 一条边与平行线重合一条边与平行线重合; ; 3) 两条边与平行线相交两条边与平行线相交. .前两种情况出现的概率为零前两种情况出现的概率为零. .所以只要去确定两条边与平行线相交的概率所以只要去确定两条边与平行线相交的概率. .第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第2929页页页页解：解：记记Pab, ,Pac, ,Pbc , ,Pa, ,Pb, ,Pc分别为边分别为边ab, ,ac, ,bc, ,a, ,b, ,c与平行线相交的概率，则

23、所与平行线相交的概率，则所求概率为求概率为 p= =P( (三角形与平行线相交三角形与平行线相交) )=Pab+ +Pac+ +Pbc. . 由蒲丰投针问题知由蒲丰投针问题知Pa=2a/(/(d ), ), Pb=2b/(/(d ), ), Pc=2c/ /(d ). . 因为因为 Pa= Pab+ +Pac, , Pb= Pab+ +Pbc, , Pc= Pac+ +Pbc 所以所以 Pa + + Pb + + Pc = 2(Pab+ +Pac+ +Pbc), , 由此得由此得 p = =Pab+ +Pac+ +Pbc=(=(Pa + + Pb + + Pc) )/2 =(=(a+ +b+

24、+c)/()/(d ).).第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第3030页页页页练习练习1：电台整点报时，某人表停，等待校表事件电台整点报时，某人表停，等待校表事件不超过不超过10min的概率是多少？的概率是多少？练习练习2： P31 23，24，27思考思考1：不可能事件概率为不可能事件概率为0； （ ）概率为概率为0的事件为不可能事件；的事件为不可能事件； （ ）必然事件概率为必然事件概率为1； （ ）概率为概率为1的事件为必然事件。的事件为必然事件。 （ ）第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率山东轻工业学院山东轻工业学院第第第第3131页页页页思考思考2：若若P(AB)=0,则（则（ ）A）A和和B不相容不相容 B）AB是不可能事件是不可能事件C）AB未必是不可能事件未必是不可能事件D)P(A)=0或或P(B)=0作业作业：P31 26,28