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1、数学物理方程数学物理方程Equations of Mathematical Physics 王小虎王小虎四川大学四川大学 数学学院数学学院1一、什么是数学物理方程数学物理方程是指自然科学和工程技术的各门分支中出现的偏微分方程(有时也包括积分方程、微分积分方程)，这些方程给出了所考察的物理量关于自变量（时间变量和空间变量）的偏导数的关系例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范畴 2偏微分方程Partial Differential Equationsv如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，
2、那么这种微分方程就是偏微分方程。 345二阶线性偏微分方程三阶线性偏微分方程完全非线性偏微分方程半线性偏微分方程6“数学物理方程” VS “偏微分方程” 大多数情况下看作一致的。但是，两者的侧重点有所不同，前者侧重于模型的建立和定解问题的解题方法，而后者则侧重于其自身的数学理论。7二、二、数学物理方程数学物理方程主要内容主要内容：1、建立偏微分方程、建立偏微分方程应用数学理论应用数学理论 、方法和技巧，研究一些具有典型意义、方法和技巧，研究一些具有典型意义的物理现象，导出相应的数学模型的物理现象，导出相应的数学模型-偏微分方程。偏微分方程。2、 偏微分方程理论初步偏微分方程理论初步、一些基本的
3、方法和技巧：包括分离变量法、一些基本的方法和技巧：包括分离变量法、Green函数法、函数法、Fourier变换法、能量不等式、极值原理以及变换法、能量不等式、极值原理以及基本解和广义解等。基本解和广义解等。、讨论三类典型的二阶方程定解问题的解的存在性、讨论三类典型的二阶方程定解问题的解的存在性、唯一性和稳定性。唯一性和稳定性。、二阶线性偏微分方程的分类。、二阶线性偏微分方程的分类。8三、三、 数学物理方程数学物理方程的特点：的特点：1、数学理论、解题方法与物理实际有机结合、数学理论、解题方法与物理实际有机结合。根据物理现象建立偏微分方程模型及寻找求解方法，并用偏微根据物理现象建立偏微分方程模型
4、及寻找求解方法，并用偏微分方程有关理论来解释物理现象。分方程有关理论来解释物理现象。4、解题过程复杂、计算量大。、解题过程复杂、计算量大。2、涉及范围广、涉及范围广 物理、化学、生物、经济等自然学科、社会学科和工程技术物理、化学、生物、经济等自然学科、社会学科和工程技术领域。领域。3、 多门学科知识的综合应用多门学科知识的综合应用数学分析、数学分析、 线性代数、常微分方程、复变函数、泛函分析、线性代数、常微分方程、复变函数、泛函分析、物理等。物理等。9四、四、数学物理方程数学物理方程的学习方法：的学习方法：1、掌握所需的基本知识。、掌握所需的基本知识。数学分析、线性代数、常微分方程、复变函数、
5、泛函分析等。数学分析、线性代数、常微分方程、复变函数、泛函分析等。2、抓住主线、抓住主线以三类典型的二阶线性偏微分方程为主线，通过它们的共以三类典型的二阶线性偏微分方程为主线，通过它们的共性和个性，掌握其基本性质及求解方法。性和个性，掌握其基本性质及求解方法。3、注意物理背景与方程的相互联系、注意物理背景与方程的相互联系 。10五、起源与发展Fourier： 热传导方程dAlembert： 弦振动方程 Laplace方程三类典型方程三类典型方程 平衡态经典理论 ：11v一阶偏微分方程的求解问题 Cauchy，Lagrange，Kovalevskaya v二阶线性偏微分方程 du Bois-Re
6、ymond，Petrovsky 双曲型(Hyperbolic)、 抛物型(Parabolic)、 椭圆型(Elliptic)。 12现代理论:v建立于广义函数论与泛函分析基础上的偏微分方程。 v经典理论具有局限性。v在更一般的框架中讨论问题。13五、五、 几类数学物理方程：几类数学物理方程： Boltzmann 方程方程Navier-Stokes方程方程Schrodinger方程方程KdV方程方程14六、六、 数学家：数学家： L. Hormander 1962年年Fields奖，奖，1988年年Wolf奖奖 P.L. Lions 1994年年Fields奖奖 J. Bourgain 1994
7、年年Fields奖奖 Terence Tao 2006年年Fields奖奖 L. Nirenberg 2010年首届陈省生奖年首届陈省生奖 C. Villani ： 2010年年Fields奖奖 吴新谋、丁夏畦、郭柏灵、林芳华、辛周平、魏时吴新谋、丁夏畦、郭柏灵、林芳华、辛周平、魏时珍、陆文端、张旭珍、陆文端、张旭 等。等。15谷超豪（1926-）v复旦大学教授，中国科学院院士。v1980年当选为中国科学院数学物理学部委 员，撰有数学物理方程等专著。v全国科学大会奖、国家自然科学二等奖、三等奖、09年度国家最高科技奖。v2009年8月6日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，编号为171448的小行星命名为“谷超豪星”。 v2010年1月11日，获得2009年度国家最高科学技术奖。 16v李大潜、洪家兴、陈恕行等学生，都已成为国内外有影响力的数学家。据统计，他直接指导培养的研究生和听过他的课或受过指导的学生中有中国科学院院士6人、工程院院士3人，直接指导的博士生中有2篇论文获得全国优秀博士论文奖。 17一一.直角坐标情形直角坐标情形光滑曲线方程光滑曲线方程:弧长为弧长为二二. 参数方程情形参数方程情形设光滑曲线方程设光滑曲线方程: 准备知识：弧长公式：18v多重积分的计算及相应性质：vFourier级数v常微分方程 19
