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1、数学物理方程数学物理方程复习提纲复习提纲 一、一、基基 本本 概概 念念1.1.定解问题，定解问题的解，定解问题的适定性；定解问题，定解问题的解，定解问题的适定性；2.2.线性定解问题的简单叠加原理及线性定解问题的简单叠加原理及DuhamleDuhamle原理；原理；3.3.二自变量的二阶半线性方程的分类与化标准形二自变量的二阶半线性方程的分类与化标准形. .二典型定解问题的讨论二典型定解问题的讨论1 1双曲型方程：双曲型方程：. .弦振动方程的初值问题，混合问题及相应的物理解释；弦振动方程的初值问题，混合问题及相应的物理解释；高维波动方程高维波动方程CauchyCauchy问题的解及相应的物
2、理解释；问题的解及相应的物理解释；双曲型方程的其它定解问题（第一、三、四问题）双曲型方程的其它定解问题（第一、三、四问题）. .2 2抛物型方程：抛物型方程：一维热传导方程第一边值问题、一维热传导方程第一边值问题、CauchyCauchy问题的解及唯一性与稳定性；问题的解及唯一性与稳定性；FourierFourier变换及其性质变换及其性质. .3.3.椭圆型方程椭圆型方程: :调和函数及其性质；调和函数及其性质；边值问题的唯一性与稳定性；边值问题的唯一性与稳定性；PoissonPoisson方程与方程与LaplaceLaplace方程方程DirichletDirichlet问题的问题的 Gr
3、eenGreen函数法的分析过程函数法的分析过程. . 三方法三方法1 1决定任意函数法；决定任意函数法；2 2分离变量法（三种类型方程）；分离变量法（三种类型方程）；3 3基本公式、基本解方法基本公式、基本解方法GreenGreen函数法函数法; ;4 4积分变换法积分变换法FourierFourier变换法（三种类型方程）；变换法（三种类型方程）；5 5球面平均值法，降维法球面平均值法，降维法. .数学物理方程数学物理方程复习重点复习重点一、基本概念：一、基本概念： 1 1. .线性定解问题的简单叠加原理及线性定解问题的简单叠加原理及DuhamleDuhamle原理的表述形式原理的表述形式
4、, ,并会灵活的运并会灵活的运用用. . 2 2. .二自变量二阶半线性方程的分类与化标准型二自变量二阶半线性方程的分类与化标准型: :会判别一个方程的类型并会会判别一个方程的类型并会把它化成标准形式把它化成标准形式. .2 2. .椭椭圆圆型型方方程程 (1)(1)一维热传导方程的混合问题是如何求一维热传导方程的混合问题是如何求 解的？主要步骤有哪些解的？主要步骤有哪些? ? 解的表达式解的表达式 如何如何? ?要会证特征函数系的正交性要会证特征函数系的正交性. .(2)(2)熟记熟记FourierFourier变换的主要性质变换的主要性质, ,某些性某些性 质并会去证质并会去证, ,比如比
5、如: :卷积性质卷积性质, ,乘积性质乘积性质. .(3)(3)会用会用FourierFourier变换法求出简单的热方程变换法求出简单的热方程 初值问题解的表达式初值问题解的表达式. .3 3. .抛抛物物型型方方程程三、一般理论：熟记二自变量二阶线性偏微分方程特征的定义，会完整的熟记二自变量二阶线性偏微分方程特征的定义，会完整的表达出来，并会求某些简单方程的特征，比如：弦振动方表达出来，并会求某些简单方程的特征，比如：弦振动方程、二维程、二维LaplaceLaplace方程、一维热传导方程方程、一维热传导方程. . 四、要特别注意：方法的灵活运用. 具体地说，同一定解问题用不同的方法去求解
6、，比如具体地说，同一定解问题用不同的方法去求解，比如：1.1.弦振动方程的初值问题弦振动方程的初值问题，可分别用可分别用： 决定任意函数法；决定任意函数法； 降维法；降维法； FourierFourier变换法变换法这三种不同的方法，还可用这三种不同的方法，还可用“分离变量法分离变量法”、“GreenGreen函数法函数法”等等. .2.2.二维二维LaplaceLaplace方程的上半平面方程的上半平面DirichletDirichlet问题问题, ,可分别用：可分别用： GreenGreen函数法；函数法； FourierFourier变换法；变换法； 降维法：从三维降维法：从三维Lapl
7、aceLaplace方程上半空间方程上半空间DirichletDirichlet问题问题 解的表达式入手，利用降维法（与某一变量无关）即解的表达式入手，利用降维法（与某一变量无关）即 可导出二维解的表达式可导出二维解的表达式. .3.3.一维热方程初值问题，一维热方程初值问题，, ,可分别用：可分别用： FourierFourier变换法：变换法： 降维法（从二维或三维问题解的降维法（从二维或三维问题解的PoissonPoisson积分积分, ,利用降利用降 维法即可导出一维问题解的维法即可导出一维问题解的PoissonPoisson积分）积分）, , 还可用还可用“分离变量法分离变量法”. .以上仅是三个典型的用多种不同方法求解同一问题的代表以上仅是三个典型的用多种不同方法求解同一问题的代表. .
