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1、第四十一讲第四十一讲 双曲线双曲线回归课本回归课本1.1.双曲线的定义双曲线的定义平面内动点平面内动点P P与两个定点与两个定点F F1 1 F F2 2的距离的差的绝对值等于常数的距离的差的绝对值等于常数( (小于小于|F|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线. .即即( (|PF|PF1 1|-|-|PF|PF2 2|=2a|F|=2a0),0),|PF|PF2 2|=|=exex0 0-a-a(x(x0 00);0);或或|PF|PF1 1|=|=-ex-ex0 0-a-a(x(x0 00),0),|PF|PF2 2|=|=-ex-ex0 0+a+a(x(
2、x0 00).0).考点陪练考点陪练1.1.动点动点P P到定点到定点F F1 1(1,0)(1,0)的距离比到定点的距离比到定点F F2 2(3,0)(3,0)的距离小的距离小2,2,则则点点P P的轨迹是的轨迹是( )( )A.A.双曲线双曲线B.B.双曲线的一支双曲线的一支C.C.一条射线一条射线D.D.两条射线两条射线解析解析: :因因|PF|PF2 2|=|PF|=|PF1 1|-2=|F|-2=|F1 1F F2 2|,|,则点则点P P的轨迹是以的轨迹是以F F1 1为端点的为端点的一条射线一条射线. .故选故选C.C.答案答案:C:C评析评析: :当动点到两定点的距离之差的绝对
3、值为定值当动点到两定点的距离之差的绝对值为定值, ,即即|PF|PF1 1|-|-|PF|PF2 2|=2a|=2a时时, ,要注意两点要注意两点: :判断判断2a2a与与|F|F1 1F F2 2| |的大小关系的大小关系, ,其大小关系决定动点其大小关系决定动点P P的轨迹是的轨迹是双曲线还是射线双曲线还是射线. .(1)(1)当当2a=|F2a=|F1 1F F2 2| |时时, ,动点动点P P的轨迹是以的轨迹是以F F1 1 F F2 2为起点的射线为起点的射线; ;(2)(2)当当2a|F2a|F2a|F1 1F F2 2| |时时, ,无满足条件的动点无满足条件的动点. .答案答
4、案:B:B答案答案:B:B评析评析:遇到焦点三角形问题遇到焦点三角形问题,要回归定义建立三角形的三边关要回归定义建立三角形的三边关系系,然后一般运用正余弦定理和三角形的面积公式即可迎刃然后一般运用正余弦定理和三角形的面积公式即可迎刃而解而解.答案答案:D:D答案答案:A:A类型一类型一 双曲线的定义双曲线的定义解题准备解题准备: :在双曲线的定义中要注意双曲线上的点在双曲线的定义中要注意双曲线上的点( (动点动点) )具具备的几何条件备的几何条件, ,即即“到两定点到两定点( (焦点焦点) )的距离之差的绝对值的距离之差的绝对值为一常数为一常数, ,且该常数必须小于两定点的距离且该常数必须小于
5、两定点的距离”. .若定义中的若定义中的“绝对值绝对值”去掉去掉, ,点的轨迹是双曲线的一支点的轨迹是双曲线的一支. .【典例典例1 1】已知动圆已知动圆M M与圆与圆C C1 1:(x+4):(x+4)2 2+y+y2 2=2=2外切外切, ,与圆与圆C C2 2:(x-:(x-4)4)2 2+y+y2 2=2=2内切内切, ,求动圆圆心求动圆圆心M M的轨迹方程的轨迹方程. . 分析分析 利用两圆内利用两圆内 外切的充要条件找出外切的充要条件找出M M点满足的几何条件点满足的几何条件, ,结合双曲线定义求解结合双曲线定义求解. . 反思感悟反思感悟 容易用错双曲线的定义将点容易用错双曲线的
6、定义将点M M的轨迹误以为是整的轨迹误以为是整条双曲线从而得出方程后没有限制条双曲线从而得出方程后没有限制 求曲线的轨迹方程时求曲线的轨迹方程时, ,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型线类型, ,从而再用待定系数法求出轨迹的方程从而再用待定系数法求出轨迹的方程, ,这样可以减这样可以减少运算量少运算量, ,提高解题速度与质量提高解题速度与质量. .在运用双曲线定义时在运用双曲线定义时, ,应应特别注意定义中的条件特别注意定义中的条件“差的绝对值差的绝对值”, ,弄清所求轨迹是弄清所求轨迹是整条双曲线整条双曲线, ,还是双曲线的一支还是双曲线的一支, ,若是一
7、支若是一支, ,是哪一支是哪一支, ,以确以确保轨迹的纯粹性和完备性保轨迹的纯粹性和完备性. . 类型二类型二 求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程注意注意: :在双曲线的标准方程中在双曲线的标准方程中, ,若若x x2 2的系数是正的的系数是正的, ,那么焦那么焦点在点在x x轴上轴上; ;如果如果y y2 2的系数是正的的系数是正的, ,那么焦点在那么焦点在y y轴上轴上, ,且对且对于双曲线于双曲线,a,a不一定大于不一定大于b.b.分析分析利用待定系数法利用待定系数法 双曲双曲线定定义或双曲或双曲线系等知系等知识求双曲求双曲线标准方程准方程. 反思感悟反思感悟 对焦点位置判断不准或忽略
8、对双曲线焦点所在坐对焦点位置判断不准或忽略对双曲线焦点所在坐标轴的讨论标轴的讨论, ,是导致方程出错的主要原因是导致方程出错的主要原因. .利用待定系数法求双曲线的标准方程利用待定系数法求双曲线的标准方程, ,是最重要的方法之是最重要的方法之一一, ,但要注意对焦点所在坐标轴的判断或讨论但要注意对焦点所在坐标轴的判断或讨论; ;利用共渐近利用共渐近线的双曲线方程求其标准方程线的双曲线方程求其标准方程, ,往往可以简化运算往往可以简化运算, ,但也应但也应注意对焦点所在坐标轴的讨论注意对焦点所在坐标轴的讨论. . 类型三类型三双曲线的几何性质双曲线的几何性质解题准备解题准备: :双曲线的几何性质
9、的实质是围绕双曲线中的双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六六点点”( (两个焦点两个焦点 两个顶点两个顶点 两个虚轴的端点两个虚轴的端点),“),“四线四线”( (两两条对称轴条对称轴 两条渐近线两条渐近线),“),“两形两形”( (中心中心 焦点以及虚轴端焦点以及虚轴端点构成的三角形点构成的三角形, ,双曲线上一点和两焦点构成的三角形双曲线上一点和两焦点构成的三角形),),研究它们之间的相互联系研究它们之间的相互联系. .明确明确a a b b c c e e的几何意义及它们的几何意义及它们的相互关系的相互关系, ,简化解题过程简化解题过程. .类型四类型四直线与双曲线的位置关系直线与
10、双曲线的位置关系解题准备解题准备: :与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题题, ,常采用解方程组的思想方法常采用解方程组的思想方法, ,转化为判别式进行转化为判别式进行; ;与弦与弦长有关的问题长有关的问题, ,常常利用韦达定理常常利用韦达定理, ,以整体代入的方法求解以整体代入的方法求解, ,这样可以避免求交点这样可以避免求交点, ,使运算过程得到简化使运算过程得到简化. . 反思感悟反思感悟 在圆锥曲线中经常遇到求范围问题在圆锥曲线中经常遇到求范围问题, ,这类问题在这类问题在题目中往往没有给出不等关系题目中往往没有给出不等关系, ,需要我
11、们去寻找需要我们去寻找. .对于圆锥对于圆锥曲线的参数的取值范围问题或最值问题曲线的参数的取值范围问题或最值问题, ,解法通常有两种解法通常有两种: :当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时, ,可考可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式( (如双曲如双曲线的范围线的范围, ,直线与圆锥曲线相交时直线与圆锥曲线相交时00等等),),通过解不等式通过解不等式( (组组) )求得参数的取值范围求得参数的取值范围; ;当题目的条件和结论能体现一当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时种明确的函数关
12、系时, ,则可先建立目标函数则可先建立目标函数, ,进而转化为求进而转化为求解函数的值域解函数的值域. .错源一错源一 理解性质不透彻理解性质不透彻剖析剖析错解中没有讨论错解中没有讨论POQ的大小的大小,认为它就是两条渐近线认为它就是两条渐近线的夹角的夹角,因而产生错误因而产生错误.两条相交直线的夹角是指两条直线两条相交直线的夹角是指两条直线相交时构成的四个角中不大于直角的角相交时构成的四个角中不大于直角的角,因此两条直线的夹因此两条直线的夹角不能大于直角角不能大于直角.错源二错源二 忽视双曲线的特殊性忽视双曲线的特殊性, ,误用一些充要条件误用一些充要条件【典例典例2 2】已知双曲线已知双曲
13、线x x2 2-y-y2 2=1=1和点和点P(2,2),P(2,2),设直线设直线l l过点过点P P且与且与双曲线只有一个公共点双曲线只有一个公共点, ,求直线求直线l l的方程的方程. . 错解错解 设直线设直线l l的方程为的方程为y=k(x-2)+2,y=k(x-2)+2,代入双曲线方程代入双曲线方程x x2 2- -y y2 2=1,=1,整理得整理得: :(1-k(1-k2 2)x)x2 2-4k(1-k)x-4(1-k)-4k(1-k)x-4(1-k)2 2-1=0.(*)-1=0.(*)方程方程(*)(*)的判别式的判别式=12k=12k2 2-32k+20.-32k+20.
14、 剖析剖析错解中误以为判别式错解中误以为判别式=0是直线与双曲线有一个是直线与双曲线有一个公共点的充要条件公共点的充要条件.事实上事实上,命题成立的充要条件是方程命题成立的充要条件是方程(*)有且仅有一个根有且仅有一个根.故应分类讨论故应分类讨论. 正解正解 设直线设直线l l的方程为的方程为y=k(x-2)+2,y=k(x-2)+2,代入双曲线代入双曲线x x2 2-y-y2 2=1,=1,整整理得理得: :(1-k(1-k2 2)x)x2 2-4k(1-k)x-4(1-k)-4k(1-k)x-4(1-k)2 2-1=0.(*)-1=0.(*)当当1-k1-k2 2=0=0时时, ,斜率斜率
15、k=1k=1或或k=-1.k=-1.而当而当k=1k=1时时, ,方程方程(*)(*)不成立不成立; ;当当k=-1k=-1时时, ,直线直线l l的方程为的方程为x+y-x+y-4=0.4=0.当当1-k1-k2 200时时, ,由前面错解得直线由前面错解得直线l l的方程为的方程为5x-3y-4=0.5x-3y-4=0.故所求直线故所求直线l l的方程为的方程为:x+y-4=0:x+y-4=0或或5x-3y-4=0.5x-3y-4=0.错源三错源三错用双曲线的第一定义错用双曲线的第一定义【典例典例3 3】已知定圆已知定圆F F1 1:x:x2 2+y+y2 2+10x+24=0,F+10x
16、+24=0,F2 2:x:x2 2+y+y2 2-10x+9=0,-10x+9=0,动动圆圆M M与定圆与定圆F F1 1,F,F2 2都外切都外切, ,求动圆圆心求动圆圆心M M的轨迹方程的轨迹方程. . 错解错解 圆圆F F1 1:(x+5):(x+5)2 2+y+y2 2=1,=1,所以圆心为所以圆心为F F1 1(-5,0),(-5,0),半径半径r r1 1=1,=1,圆圆F F2 2:(x-5):(x-5)2 2+y+y2 2=4=42 2, ,所以圆心为所以圆心为F F2 2(5,0),(5,0),半径半径r r2 2=4.=4.剖析剖析实际上本题的轨迹应该是双曲线的一支实际上本
17、题的轨迹应该是双曲线的一支,而非整条双而非整条双曲线曲线,上述解法忽视了双曲线定义中的关键词上述解法忽视了双曲线定义中的关键词“绝对值绝对值”.正正确的解答如下确的解答如下. 正解正解 由由|MF|MF2 2|-|MF|-|MF1 1|=3,|=3,可得可得|MF|MF2 2|MF|MF1 1|,|,即点即点M M到到F F2 2(5,0)(5,0)的的距离大于点距离大于点M M到到F F1 1(-5,0)(-5,0)的距离的距离, ,所以点所以点M M的轨迹应该是双曲线的左支的轨迹应该是双曲线的左支, ,故双曲线方程为故双曲线方程为错源四错源四错用双曲线的第二定义错用双曲线的第二定义【典例典
18、例4 4】一动点到定直线一动点到定直线x=3x=3的距离是它到定点的距离是它到定点F(4,0)F(4,0)的距的距离的离的 求这个动点的轨迹方程求这个动点的轨迹方程. . 错解错解 由题意由题意, ,动点到定点的距离与它到定直线的距离之比动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为为2,2,所以动点的轨迹是双曲线所以动点的轨迹是双曲线. .又又F(4,0),F(4,0),所以所以c=4,c=4,又准线又准线x=3,x=3,所以所以 所以所以a a2 2=12,b=12,b2 2=4,=4,所以双曲线方程为所以双曲线方程为技法一技法一双曲线中点弦存在性的探讨双曲线中点弦存在性的探讨求过定点的双曲线的
19、中点弦问题求过定点的双曲线的中点弦问题,通常有下面两种方法通常有下面两种方法:(1)点差法点差法,即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,从而求出直线方从而求出直线方程程. (2) (2)联立法联立法, ,即将直线方程与双曲线方程联立即将直线方程与双曲线方程联立, ,利用韦达定理利用韦达定理与判别式求解与判别式求解. .无论使用点差法还是联立法无论使用点差法还是联立法, ,都要运用都要运用00来判定中点弦是来判定中点弦是否存在否存在, ,而这完全取决于定点所在的区域而这完全取决于定点所在的区域. .现分析如下现分析如下: :利用双曲线及其渐近线利用双曲线及其渐近线, ,可把平面分成可把平面分成、三个区域三个区域( (如图如图).). 答案答案DD技法二技法二 待定系数法求双曲线方程常用的设法速度待定系数法求双曲线方程常用的设法速度
