六年级奥数全教程(举一反三)

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1、1 第一章数与计算第一单元同余问题1 知识前提。（1）整除：如果整数a 除以自然数b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是 0),我们就称 a 能被 b 整除或 b 能整除a。（2）乘方的意义： 求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 n 个相同因数a 相乘， 即naaaa个，记做na。其中 a 叫做底， n 叫做指数，na读做 a 的 n 次方。（3）幂的运算法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即aaa。幂的乘方，底数不变，指数相乘。即mnn maa。积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即nnnabab。2 同余如果两个整数的a、b 除以同一

2、个自然数m 所得的余数相同，那么就说a、b 对于 m 是同余的，记为a=? h（modm） 。我们把 m 称为模。如果a、b 对于 m 是同余的，那么a 与 b 的差能被m 整除；反之，如果a与 b 的差能被 M 整除，那么 a、b 对于 m 是同余的。3 规律、方法应用。（1）反身性规律：a 和 a 对于 m 同余。（2）对称性规律：a 和 b 对于 m 同余，那么b 和 a 对于 m 同余。（3）传递性规律：如果a 和 b 对于 m 同余， b 和 c 对于 m 同余，那么a 和 c 对于 m 同余。（4）同余的加减法、乘法规律：如果a 和 b 对于 m 同余， c 和 d 对于 m 同余

3、，那么ac，和 bd，ac 和 bd，ac 和 bd 对于 m 同余。（5）同余的乘方规律：如果a 和 b 对于 m 同余，那么na和nb也对于 m 同余。（6）同余的连加规律：1a和1b对于 m同余，2a和2b对于 m同余，3a和3b对于 m 同余 ,na和nb对于 m 同余，那么123naaaa和123nbbbb也对于 m 同余。例1有一个不等于1 的整数，它除300，262， 205 得到的余数相同，这个整数是多少？拓展一如果某数除492,2241,3195都余 15, 那么这个数是几? 拓展二自然数 16520,14903,14177除以 m 的余数相同 , m 的最大值是多少? 拓展

4、三若 2836,4582,5164,6522 这 4 个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?例 2求200359除以 7 的余数。拓展一求18972531594除以 13 的余数。拓展二求281432338752413289786除以 11 的余数。2 拓展三求123456789123456789的结3 的余数。拓展四把 1 至 2002 这 2002 个自然数依次写下来，得到一个1234200020012002A试求 A 除以 9 的余数。例 310被 7 除的余数是多少？拓展一10002除以 13 的余数是多少？拓展二今天是星期日，过19912天是星期几？拓

5、展三求3557的末两位数是多少？拓展四（ 1）2005 年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005 年 1 月 1 日是星期六） （2） 2008年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008 年 1 月 1 日是星期二）检测1已知 69,90,125 被除余数相同，求81 被 N 除的余数是（） 1991 和 1769 除以某一个自然数n,余数分别为2 和 1,n 的最小值是 ( ) 23 13 17 18 316173738除以 13 的余数是（） 12 11 9 7 419991999除以 3 所得的余数是（） 1 2 0 3 5 今天是星期二，再过200299天

6、是星期（）三四五六619991998的个位数字是（） 3 2 4 6 719979951025111317的个位数字是（） 3 1 9 6 8505152533457的个位数字是（） 3 1 9 5 9 在小于 2002 的自然数中，被18 及 33 除以余数相同的数有（）个。 17 198 34 51 10一个三位数，它的29 倍加上 5 能被 2002 整除，这个三们数是（） 。 345 121 150 267 11一个整数乘以13 后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（） 。 157 253 942 471 12用 1，9，8， 8 这四个数能排出（）个被 11 除余 8 的四位

7、数。 3 4 5 6 137142719的积被 7 除的余数是（） 。 1 2 3 5 3 二解答题。14试证明：111112113111112113能被 10 整除。15求乘积34374143除以 13 所得的余数。16今天是星期五，再过364365天是星期几？17求12343979除以 39 所得的余数。18求32319991999323的个位数字。19131415131132133除以 13 余几？20试证明：1990199034是 5 的倍数。2170 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的： 0，1，3， 8，21，,

8、，问最右边的一个数被6 除余几？222002 年全年有几个星期日？全年有几个月有5 个星期日？（ 2002 年 1 月 1 日是星期二）23某年的10 月有五个星期六，4 个星期日，这年的10 月 1 日是星期几？24甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2 的自然数（零除外） ，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？25设 A 是一个有35 位循环节的循环小数123350.Aa a aa，把A 的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：124680.Aa a a a再把1A的所位画去，得到一个新的无限小数：2480.nAa a a如此继

9、续下去，能否仍得到原来的循环小数？第二单元分数的大小比较比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小。如果分数的分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：1 相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。2 相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。3 交叉相乘法。分数ab和cd，如果adbc，那么abcd。4 倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数

10、反而小。5 转化法。可以把分数转化成小数进行比较。6 中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的数或算式作适当的变形。解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法。例1比较1519、49、1225、2037这四个分数的大小。拓展一将下列的分数由小到大的排列起来。4 1017，1219，1523，2033拓展二211 9 9 81 9 9 81A，2211998199719981997B。试比较A 和 B 的大小。拓展三将下列分数由小到大排成一列不等式。23，58，152 3，1017，1 21 9拓展四将下列分数由小到大排成一列

11、不等式。107、1 49、75、3523例2比较44435554，55576668，66687779三个分数的大小。拓展一比较77777757777777和66666616666663的大小。拓展二比较218191654321和152347456789的大小。拓展三将下列分数由小到大排成一列不等式。1727，1931，2338，101161例346810000005791000001A，试比较A 与 0.003 谁大谁小。拓展一如果1357992468100A，试比较A 与110的大小。拓展二用 A 表示下面的积：3571999946820000A，问： A 与 0.01 相比 ,谁大谁小 ?

12、 拓展三比较111111124816321024与 0.001 的大小 . 检测1 在中填入“”或“”。（1）680791432543（2）117448207808（3）112341234533456345675567856789（4）239923239999（5）3333333333333333（6）2347311415（7）5556666555566666（ 8）711251 312（9）34331279343312815149691751496919（10）17691567（11）233022312.比较555553555555和666664666666的大小。3.把27、49、38和6

13、11按从小到大的顺序排列。4.在512，1219，1023，47，1522五个分数中，最大的分数是谁？5.把下面的分数按从小到大的顺序排列。2123、8489、1213、2831、141 5。5 6.比较111111110222222221和444444443888888887的大小。7.把9876598766、98769877、987988、9899按从小到大的顺序排列。8.下面四个算式谁最大。（1）1120719（2）11302429（3）11403137（3）115041479.下面两个算式谁大谁小？199319921995199419941995；1993199219961993199

14、4199510.把下面五个分数从大到小排列。10519、14725、15776、211088、351814。11.在47、1225、149300、59、2011814中，哪个分数最大？12.比较100000005100000008、800000003800000006的大小。13.222222220444444441和，333333334666666669谁大谁小？14.按下面各式值的大小，把A、B、C、D、E从小到大的顺序排列。1111110100100010000A1111110100100010000B1111110100100010000C1111110100100010000D110

15、1001000100000E15.满足下面式子的n 最小是多少？1111122334(1)nn1949199816.试比较1111111和111111111的大小。17.如果1229702970，那么中应填哪个自然数？6 18.已知：111123A，11112134B，1111213145C将A、B、C三个数从小到大排列。19.在下式中的内填入7 个互不相等且小于20 的自然数，使等式成立。1111111120.下面给出6 个分数算式：36724，37824，38925，391025，3101125，3111225，其中哪一个计算结果最小？并求出它的值。第三单元速算与巧算六年级所学习的简便计算

16、主要是有关分数的巧算，除与整数、小数简便计算相同外，还有其独特的巧算方法。1 运算定律规律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，还有加、减法的运算性质、商不变的规律等。2()abcdacb3 （1）111(1)1nnnn（2）11()dnndnnd（3）1111()()nnddnnd（4）1(1)(2)nnn1112(1)(1)(2)nnnn（5）将1A分拆成两个分数单位和的方法：先找出A 的两个约数 a 和b，然后分子、分母分别乘()ab，再拆分，最后进行约分。11()()()()ababAAabAabAab4.等差数列求和法： （首项 +末项）项数2和。5.约分法简章： 将

17、写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式，从而简化计算过程。例1计算1729287 拓展一计算443745拓展二计算2255(97)()7979拓展三计算11664120拓展四计算1998199819981999拓展五计算577577(2890)()68106810例2计算362548361362548186拓展一计算198819891987198819891拓展二计算20458419915199258438089拓展三计算1.22.33.44.55.66.7122334455667例3计算11111223344950拓展一计算11111144771010131

18、316拓展二计算11111232343459899100拓展三计算11111155991313171721拓展四计算11111212312910例4计算1211211211211212121221212121132132132132拓展一计算123456787654321888888888888888888888888拓展二计算12336971421135391572135拓展三计算19901990199019901990199011989198919891989198919891989拓展四计算12378223234234567823456789计算下面各题：1.11111198619871

19、9871988198819891989199019902.2115554457895557892114453.1791113151312203042564.3824983813824981168 5.1988198719861985198419831982198116.0.99.999.9999.99999.999999.97.0.10.30.50.70.90.110.130.150.170.190.210.998.1111232341819209.111111212312341239910010.23344551719135475911.111111111133331010010001000

20、012.29999919999913.86.80.324.28252514.1992199319931993199319921992199215.100891009989118989542999845216.111111139278124372917.199119921992199319911993112341991199218.132426483972124248361219.5211111111125(3)()()3()()936912691269123920.141.28.111953.71.9421.21234567891234567891234567890123456789222.

21、已知2222(1)(21)12(1)6n nnnn，求12345678495023.11111111111111(1)()(1)()2342345234523424.35791113261220304225.12132143219871()()()()1121231234123926.112123125859()()()2334446060606027.1998减去它的12，再减去余下的13，再减去又余下的14，依此类推，一直减到最后余下的11998，最后得多少？第二章有关的分数应用题9 第一单元单位“ 1”的妙用解答分数应用题，关键要通过分析数量关系，弄清每一道题把什么看作单位“1” ，找出

22、解题的数量关系式，再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。知识、规律、方法在解答时，有的分数应用题常常会出现几个不同的单位“1” ，一般都要经过分析，转化成统一的单位“1” ，然后进行解答。例 1甲、乙两数之和为180，甲数的14等于乙数的15，问甲、乙两数各是多少？拓展一甲、乙两数相差30，其中甲数的310与乙数的13相等，求这两个数的和是多少？拓展二上元水果店运来的苹果比橘子多1 筐，其中苹果筐数的37与橘子筐数的12相同，上元水果店一共运来苹果和橘子多少筐？拓展三学校有皮球和足球共100个，皮球个数的13比足球个数的110多 16 个，学校有皮球和足球各多少个？例 2某工厂

23、的甲、乙、丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的23，乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的35，已知丙车间捐款180 元，这三个车间共捐款多少元？拓展一兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的13，老三修了另外三人总数的14，老四修了91 米，问这条路全长多少米？拓展二把一堆皮球分装在四个盒子中，其中15放入甲盒，13放入乙盒。 放入丙盒的皮球是甲、乙两盒皮球总数的34，丁盒放入10 个皮球，这堆皮球一共有多少个？拓展三有红黄两种颜色的小球共140 个，拿出红球的14，再拿出 7 个黄球，剩下的红球和黄球正好一样多。原来红球和黄球各有多少个？例

24、 3把一批面粉分给三个工厂，甲厂先分得这批面粉的25，乙厂分得余下的25，最后丙厂分得14.4吨，这批面粉重多少吨？拓展一某校四、五、六三个年级共有学生618 人，其中五年级人数比四年级多10%，六年级人数比五年级少10%，求各年级有学生多少人？拓展二有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的57。如果从乙粮库调6 吨粮食到甲粮库，甲粮库存粮的吨数是乙粮库的45。原来甲、乙粮库各存粮多少吨？拓展三甲容器中装有一定数量的糖，乙容器中装有若干千克水，先从甲容器中取出8 克糖放入乙容器中，搅拌均匀后，又将乙容器中的糖水倒30 千克到甲容器， 搅拌均匀后， 甲容器中糖水的质量分数为40% ，乙容

25、器中糖水的质量分数为20% ，甲容器中应有糖多少克？检测、反馈、应用1某车间男工人数比女工人数多35，女工人数比男工人数少（） 。10 2.菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的38时，装满了4 筐还多 36 千克，收完其余部分时，又刚好装满8 筐，共收黄瓜（）千克。3.食堂运来一批大米，第一天吃了全部的25，第二天吃了余下的13，第三天吃了余下的34，这时还剩下15 千克。食堂运来大米（）千克。、4.甲有若干本书，乙借走了一半加3 本，剩下的书，丙借走了13加 2 本，再剩下的书，丁借走了14加 1 本，最后甲还有 2 本书。甲原来有（）本书。5.小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条的

26、一半是上坡路，一半是下坡路。小明上学时走两条路所用的时间一样，已知下坡的速度是平路的32倍，那么上坡的速度是平路速度的（）6.有两堆棋子， A 堆有黑子350 个和白子500 个，B 堆有黑子 400 个和白子100 个。为了使A 堆中黑子占50%，B 堆中的黑子占75%，要从 B 堆中拿到 A 堆黑子多少个？白子多少个？7.甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货1200 吨。当甲仓库的货物运走715，乙仓库的货物运走13以后，再从甲仓库取出剩下货物的10%放入乙仓库，这时，甲、乙两仓库的货物重量恰好相等。那么甲仓库原有存货多少吨？8.同学们乘汽车外出春游。开始上第一辆汽车的同学比上第二辆汽车的同学多

27、8 人。后来调走13 个同学上第二辆汽车，这时第一辆汽车上的同学的人数是第二辆汽车上同学人数的710。参加这次春游活动的同学一共有多少人？9.某商店分别花同样多的钱，购进甲、 乙、丙三种不同的糖果。已知甲、 乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9.60元、16元、1 8元。如果把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润定价，那么这种什锦糖每千克定价多少元？10. 电影票原价每张若干元，现在每张降价3 元出售，观众增加一半，收入增加15，一张电影票原价多少元？11. 王师傅要加工一批零件，若每小时多加工12 个零件， 则所用的时间比原计划少19；若每小时少加工16 个零件， 则所用的时间比原来多35小

28、时。这批零件共有多少个？12. 金放在水里称，重量减轻119；银放在水里称，重量减轻110。一块金银合金重770 克，放在水里称，共减轻了50克。这块合金含金银各多少克？13. 甲、乙两车分别从A、B 两地同时相对开出，经 4 小时相遇， 相遇后各自继续前进。又经过 3 小时， 甲车到达 B 地，乙车离 A 地还有 70 公里，求 A、B 两地相距多少公里？14. 二年级两个班共有学生90 人，其中少先队员有71 人，又知一班少先队员占本班人数的75%，二班的少先队员占本班人数的56，求两个班各有多少人？15. 张师傅做一种零件，第一天做了这批零件的12.5%，第二天比第一天多做了25%，第三

29、天比第二天多做了8 只，这时正好完成这批零件的一半，这批零件共有多少只？16. 兄弟三人，老大比老二的年龄大20%，老二比老三的年龄大20%，老大比老三的年龄在百分之几？17. 某工厂的27 位师傅共带徒弟40 名，每位师傅可以带一各徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带一名徒弟的师傅是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有多少位？18. 已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的42%，那么两校女生总数占两校学生总数的百分比是多少？19. 某商店到橘子产地去收购橘子，收购价为每千克1.20 元，从产地到商店距离400 千米，运费为每吨货物每运

30、1 千米收 1.50 元，如果不计损耗,商店要实现25%的利润，每千克橘子零售价应是多少元？20. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多,并且都只有黑白两种棋子。第一堆里的黑子数与第二堆里的白子数一样多，第三11 堆里的黑子数为全部黑子的25，把三堆棋子集中在一起，白子为全部棋子的几分之几？21. 纸箱中有若干个乒乓球，其中14是一级品，5n（ n 为正整数）是二级品，其余的91 个是三级品。共有多少个乒乓球？第二单元工程问题工程应用题中的工作(或工作 )一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工程看作单位“1” ，再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率。一般要用到下面三个关系式：工

31、作量=工作效率工作时间，工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间。在解答时要注意以下几点。1有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。2涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答。3对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。例1打印一份稿件，甲单独打4 小时打了这份稿件的13，乙接着又打了2 小时，打了这份稿件的14，剩余的甲、乙共同打，还需几小时？拓展一一件工作，甲单独做要20 天完成，乙单独做要12 天完成。这

32、件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了14 天，问甲、乙两人各做了多少天？拓展二一件工作，若单独完成，甲需10 小时，已需15 小时，丙需20 小时。现由三人合做，中途甲因故停工几小时，结果 6 小时才将工作完成。问甲停工几小时？拓展三有甲、乙两人合做一项工程，需889天完成。若甲一人独做8 天后，再由乙独做10 天完工，问甲、乙单独做各需几天完工？拓展四一个水池，甲、乙两管同时开，5 小时灌满，乙、丙两管同时开，4 小时灌满。如果乙管先开6 小时，还需要甲、丙两管同时2 小时才能灌满（这时乙管关闭），那么乙管单独开灌满水池需要多少小时？例2修一段公路，甲队单独做要40

33、天，乙队单独做要用24 天。现在两队同时从两端开工，结果距中点750 米处相遇，这段公路长多少米？拓展一甲、乙两人同时共同加工一批零件。完成任务时甲做了全部零件的58。已知乙每小时加工12 个零件，甲单独加工完成这批零件要12 小时，这批零件有多少个？拓展二有一批零件，甲单独做要用182天，比乙单独做多用了12天。现两人合作4 天后，剩下210 个零件由甲单独去做，自始至终甲共做了多少个零件？拓展三栽一批黄瓜，兄弟二人合栽8 小时完成。现哥哥先栽了3 小时后弟弟又独栽了一小时，还剩总棵数的1116没有栽。已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7 棵，这块地共栽黄瓜多少棵？例3一项工程，甲单独做需12

34、小时，乙单独做需18 小时，若甲先做1 小时，然后乙接替甲做1 小时，再由甲接替乙做 1 小时, 两人如此交替工作，问完成任务时共用多少个小时？拓展一一项工程，甲单独做6 小时完成，乙单独做10 小时完成，如果按甲、乙、甲、乙, 的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少个小时完成？拓展二一项工程，甲单独完成要9 小时，乙单独完成要12 小时。如果按照甲、乙、甲、乙, 的顺序轮流工作，每12 人每次工作1 小时，那么完成这项工程的23一共要用多少小时？拓展三一件工程，甲、乙合作6 天能完成56。如果甲单独做，那么完成13与乙完成12所需的时间相等。若按甲、乙、甲、乙 , 的顺序每人一天轮流，则需

35、多少天完成任务？检测、反馈、应用1 老刘和小李合做一件工作，要12 天完成，如果让老刘先做8 天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14 天才能完成。小李单独做这件工作需几天完成？2 一件工程，甲、乙合作需6 天完成，乙、丙合作需9 天完成，甲、丙合作需15 天完成，再在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？3 一项工作，甲、乙合作要12 天完成。若甲先做3 天后，再由乙工作8 天，共完成这件工作的512。如果这件工作由甲、乙单独做，甲需要多少天？乙需要多少天？4 抄一份稿件，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的15；如果三人合抄，只需8 天就完成

36、了，那么乙单独抄需要多少天才能完成？5 师徒三人合作承包一项工程，4 天能够全部做完。已知师傅单独做所需要天数与两个徒弟合作所需天数相等，而师傅与乙徒弟合做所需天数的2 倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等。那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？乙徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？6 一件工作，甲乙两人合作30 天可以完成。甲乙两人共同做了6 天后，甲离开了，由乙继续做了40 天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？7 一件工程，甲队单独做10 天完成，乙队单独做30 天完成。现在两队合做，其间甲队休息了2 天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），问开始到完工共用了多少年来天

37、时间？8 某工程由甲单独做63 天可以完成， 由乙单独做28 天可完成。 现在甲先单独42 天，然后再由乙来单独完成，乙还需要多少天？9 甲乙合作一件工作，由于配合好，甲的工作效率比单独做时提高11 0，乙的工作效率比单独做时提高了15。甲乙合作6 小时，完成全部工程的25，第二天乙又单独做了 6 小时，还剩下这件工作的1 330未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需多少小时？10甲、乙、丙、合修围墙，甲乙合修5 天完成了13，乙丙合修了2 天完成余下的14，然后甲丙合修了5 天才完工，整个工程的劳动报酬是600 元，乙分得多少元？11一件工作，甲单独做12 天完成，乙单独做要18 天完

38、成，丙单独做要24 天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3 倍；再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2 倍，终于完成这件工作。问共用了多少天？12一项工程，甲乙丙三人合作需13 天完成，如果丙休息2 天，乙就要多做4 天，或者由甲乙两人合作多做1 天，这项工程由甲单独做需要多少天？13制作一批零件，甲车间要10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6 天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需8 天才能完成。现在三个车间一起做，完工时发现甲车间比乙车间多做零件2400 个，丙车间制作零件多少个？14甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流

39、去做，恰好整数天完成。若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用12天；若按丙、 甲、乙的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用13天。已知甲单独做完这件工作要13 天，甲、乙、丙三人一起做这件工作要用多少天完成？15蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管要3 小时，单开丙管要5 小时，要排13 光一池水，单开乙管要4 小时，单开丁管要6 小时。现在池内有16池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1 小时，则多长时间后水开始溢出水池？第三单元类比法解题知识、规律、方法在解题过程中，可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题，用原型题的解

40、题方法使新问题获得解答。这种思考方法叫做类比法。常见的类比题型如下：钟表问题：可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。钟表中的时钟和分针与赛跑中的运动员是对应的，分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似。还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。例1某时，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？拓展一小明每天 6 点回家吃晚饭。一天，她妈妈从6 点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家，问小时几点钟到家的？拓展二有一只手表，每小时慢4 分，早上 8 点整时将时间对准，那么当这只表指向中午12 点整的时刻，实际时间是几点几分？拓展三某运输队为商店运输花瓶500 箱

41、，每箱 6 个花瓶。已知每10 个花瓶的运费为5.5 元，损坏一个花瓶，要赔偿成本 11.5 元（这只花瓶的运费当然也就得不到了），结果运输队共得到1553.6 元。共损坏了多少只花瓶？例 2张老师为国画兴趣小组的同学买书。他带的钱正好可以买15 本山水画或24 本人物画。 如果张老师买了8 本人物画以后，剩下的钱全部买山水画，那么还可以买几本山水画？拓展一一列快车由甲城开往乙城需要8 小时，一列慢车由乙城开到甲城要用12 小时。两车同时从两城相对开出，相遇时快车比慢车一共多行192 千米，两城相距多少千米？拓展二大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长。他俩的起点和走的方向完全相同

42、。小亮每步长54厘米，爸爸每步长72 厘米。由于两人的脚印有重合，所以，雪地上只留下60 个脚印，求这个花圃的周长是多少米？拓展三我国明代数学家徐光启逝世时的年龄是他出生年份的122，1607 年他完成了原本前6 卷的翻译工作。1629年主持编写“新历法” ，但未完成就去世了，1634 年由李天经最后完成。1607 年徐光启多大岁数？检测、反馈、应用1.一个两位数，十位数与个位数的和是9，把十位数字与个位数字交换位置后所得的新数与原数的比是5 ： 6，原数是（） 。2.时钟六点整，分针与时针正好在一条直线上，至少再过（）分，两针正好重合？3.一个小于400 的三位数，它是平方数，它的前两个数字

43、组成的两位数是平方数，其个位数也是平方数。这个三位数是（） 。4.在某五年制小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有18 人获奖， 在全校获奖者中有16 人不是四年级的，有14 人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是（） 。5.如图所示：线段AB 上共有 10 个点（包括两个端点） ，那么这条线段上一共有（）条不同的线段。ABa1aaaaaaa23456786.李老师为课外兴趣小组的同学去买书，他带的钱可买15 本语文书或24 本数学书。 如果李老师买了10 本语文书后，剩下的钱全部买数学书，还可买多少本？7.甲、乙两人从两地出发，相向而行。 甲走完全程需2 小时， 乙走完全程

44、需3 小时， 两个相遇时甲比乙多走445千米，求两地之间的距离。8.甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先从甲桶倒入乙、丙两桶，使乙、丙两桶各增加原有油的一倍；再从乙桶14 倒入甲、丙两桶，使甲、丙两桶各增加原有油的一倍；最后，从丙桶倒入乙、甲两桶，使乙、甲两桶各增加原有油的一倍。这样，各桶里的油都是48 千克。问各桶原来分别盛油多少千克？9.在下列两组图形中，正方形的边长都是1。每组三个图形里的阴影部分的面积是否都相等？为什么？10. 把自然数中的偶数2、4、6、, 像下表那样依次排成5 列，把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号。这样，数“ 1990”出现在第几列？2 4 6 8 16

45、 14 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26 34 36 38 40 48 46 44 42 50 52 54 56 11. 把 1000 个 1 立方厘米的正方体合在一起，堆成边长是1 分米的正方体，把这个正方体的表面涂上黄漆。小正方体中，至少有一面涂了黄漆的共有多少个？12. 计算1234567891013. 一个圆柱体的侧面积是320 平方厘米，圆柱的底面积半径是20 厘米，求圆柱体体积。14. 如图，有两个同样大小的正方形纸片ABCD 和 MNPQ ，如果把 A 点放在 MNPQ 的中心，那么这两个正方形纸片的重叠部分的面积等于多少？ABCDMNQP15. 一篮鸡

46、蛋2 个 2 个地数余 1 个， 3 个 3 个地数余2 个， 5 个 5 个地数余4 个，6 个 6 个地数余 5 个。这篮鸡蛋最少有多少个？16. 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2 倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280 厘米。现在这三根钢管截成尽可能长又相等的小段，共截成这样的小段多少段？17. 50 张卡片，写着150 这 50 个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。某班有50 名学生，老师把 50 张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌上，对同学们说：“请你们按学号的顺序逐个到前面来翻卡片，规则是只要卡片上的数字是你自己的学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红

47、翻成蓝。”那么每个学生都翻完后，红色朝上的卡片有几张？第四单元对应法解题知识、规律、方法对应的思想方法是解题时常用到的一种方法。所谓“对应”，就是在两类事物之间建立某种联系，以实现未知向已知的转化。1.量率对应：解答分数应用题时，在确定单位“1”以后，一个具体数量总与一个具体分率相对应，抓住这种对15 应关系是解答分数应用题的关键。（1）求一个数的几分之几是多少时，单位“1”的量分率 =对应数量。（2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，对应数量对应分率=单位“ 1”的量。2.对应消去法：有些应用题，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量。我们可以通过比较，分析对应的

48、未知数量变化的情况，想办法消去一个未知量，从而求出最后问题。例1王师傅计划做一批零件，零件，第一天做了计划的47，第二天做了余下的35，这时还剩42 个零件没做，王师傅计划做多少个零件？拓展一某小学学生中的38是男生，男生比女生少328 人，该小学共有学生多少人？拓展二小林看一本故事书，第一天看的页数比总页数的18多 16 页；第二天看的页数比总页数的1216少 2 页，还余下88 页。这本书共有多少页？拓展三新生小学男生比全校学生总数的47少 25 人，女生比全校学生总数的49多 15 人，求全校总人数。拓展四部队给养老院运苹果，第一次运来了全部的38，第二次运来了50 千克，这时，已运来的

49、恰好是没运来的57，还有多少千克苹果没有运来？例2小明有 5 盒奶糖，小强有4 盒水果糖，共值44 元。如果小明和小强对换一盒，则各人手里的糖的价值相等。一盒奶糖和一盒水果糖多值多少元？拓展一把 105 升水注入两个容器，可灌满甲容器及乙容器的12，或可灌满乙容器及甲容器的13。甲、乙两个容器的容量各是多少升？拓展二2 个男工和4 个女工在一天内可加工全部零件的310，8 个男工和10 个女工在一天内可加工完全部零件。如果把单独让男工加工和单独女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？拓展三教室里有若干名学生，走了10 名女生后，男生人数是女生的2 倍，又走了9 名男生后，女

50、生是男生人数的5倍，最初有多少名女生？检测、反馈、应用1.两个仓库共储存粮食1024 吨，甲仓存粮是乙仓存粮的3 倍，甲、乙两仓各存粮多少吨？2.张华看一本故事书，每天看30 页， 3 天后还剩全书的58没有看，这本故事书一共有多少页？3.甲乙两人合买一筐西瓜，甲买了其中的25还要多5.5千克，乙正好买了其中的一半，这筐西瓜共有多少千克？4.有红黄两种颜色的小球共140 个，拿出红球的14，再拿出7 个黄球，剩下的红球和黄球同样多，原来红球和黄球各有多少个？5.学校第一次买了3 个水瓶和20 个茶杯， 共用去了134 元；第二次又买了同样的3 个水瓶和16 个茶杯， 共用去 1 18元。水瓶和

51、茶杯的单价各是多少元？6.甲筐的苹果比乙筐多30 斤，丙筐的苹果是甲筐的2 倍，丙筐比乙筐的3 倍多 10 斤。三筐各有多少苹果？7.打退敌人一次进攻后，班长清点手榴弹发现：如每人分5 颗，还剩8 颗；如每人分6 颗则差 4 颗。这个班共有多少名战士？还有多少颗手榴弹？8.56 名少先队员参加学校劳动，其中37的打扫礼堂，剩下的队员中，38的人打扫操场；第二次剩下的队员中，14的人打扫教室，其余的负责打扫空地。问打扫空地的同学有多少人？16 9.甲、乙两车分别从A、B 同时出发，相向而行。第一次两车在距B 地 64 公里处相遇，相遇后仍以原速继续行驶，到达对方站后原路返回，两车在距离A 地 4

52、8 公里处第二次相遇。两次相遇地点间的距离是多少公里？10.买 5 个排球和 3 个篮球需付100 元，而买 2 个排球和 3 个蓝球只需会67 元。问每只排球和篮球各多少元？11.妈妈带了一笔钱，去市场买水果，若买橙子15 千克，差4 元，若买橘子20 千克，则多20 元。两种水果每千克的价格相差2.1元。两种水果的单价分别是多少元？12.少先队员参加植树，准备栽的苹果树苗是梨树苗的2 倍，如果每人栽3 棵梨树苗，则多3 棵，每人栽7 棵苹果树苗，则少6 棵，参加植树的少先队员有多少人？苹果树苗和梨树苗分别有多少棵？13.一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1：2：3，某人

53、走各段路程所用时间之比依次是4：5：6。已知他上坡速度为每小时3 千米，路程全长50 千米。此人走完全程用了多少时间？第五单元时钟问题知识、规律、方法钟表是我们日常生活中的计时工具，它除了告诉我们时间外，在钟面上还存在着许多数学问题。如分针和时针每隔多少时间重合一次，在一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次，当钟表比标准时间快或慢时会有什么样的规律。在一个钟面上，由于时针12 小时旋转一周，所以时针1 小时旋转的圆心角度数是30 度， 1 分钟旋转的圆心角度数为0.5度。分针1 小时旋转一周，也就是分针1 分钟旋转的圆心角度数为6 度。钟面一周平均分为60 格，相邻两格刻度之间的时间间隔为1 分钟

54、，时针1 分钟走112格，分针 1 分钟走 1 格，时针的速度是分针速度的11 2。例1现在是下午3 点，从现在起时针与分针什么时候第一次重合？拓展一分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？拓展二钟面上 5 点零 8 分时，时针与分针的夹角是多少度？拓展三在 4 点与 5 点之间，时针与分针什么时候成直角？拓展四9 点过多少分时，时针与分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？例2小云晚上9 点整将手表对准，可第二天早晨8 点到校时，她以为准时到校，却迟到了10 分钟。那么，小云的手表每小时慢几分钟？拓展一小明有一块手表，每分钟比标准时间快2 秒钟。 小明早晨8

55、点整将手表对准，问当小明这块手表第一次指向12点时，标准时间此是是几点几分？拓展二有一只钟，每小时比标准时间慢1 分。中午12 点调准，下午慢钟指到6 点时，标准时间是下午几时几分？拓展三星期日小明去同学家玩了两个多小时，离家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针与分针恰好互换了一个位置，问小明离开家多少时间？拓展四爷爷的老式时钟一点也不准，它的时针与分针每隔66 分重合一次，如果早晨8 点将钟对准，到第二天早晨时钟再次指示8 点时，实际是几时几分？检测、反馈、应用1.从时钟指向4 点开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合。2.在 7 点与 8 点之间，时针与分针在什么时刻互相垂直？

56、3.有一只钟每小时慢3 分钟，早上7 点钟的时候，对准了标准时间，当慢钟的批针批向12 点整的时候，标准时间是多少？4.在 3 点与 4 点之间，时针与分针在什么时刻位于一条直线上，并且方向相反？5.星期天，小李在公园玩，他上午10 点 10 分进去，下午3 点 50 分出来，他在公园一共玩了多长时间？6.小玲家有一个闹钟，每小时比标准时间快2 分钟。星期天上午9 点整，小玲对准了闹钟，想让闹钟在11 点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭，那么小玲应将铃定在几点几分上？7.有一个时钟快20 秒，它在 3 月 1 日中午 12 时准确指示时间，下一次准确指示时间是在什么时间？17 8.爷爷家的老式钟的时

57、针与分针，每隔66 分钟重合一次，这只时钟每昼夜慢多少分钟？9.张奶奶家的闹钟每小时快2 分钟（准确的闹钟的分针每小时应走一圈，而这个闹钟的分针每小时走一圈多2 格） 。昨晚 21：00，张奶奶把闹钟与北京时间对准了，同时把闹钟拨到今天早晨6：00 闹铃，张奶奶听到闹铃声时比北京时间今天早晨6：00 提前了几分钟？10.王宇家有一只闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上8 点时，王宇对准了闹钟，他想在第二天早晨5 点55 分起床，于是他将闹钟的闹铃定在5 点 55 分。问这个闹钟将在标准时间何时响铃？11.小张下午要到工厂上3 点的班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12 点

58、10 分就停了，他上足发条后忘了拨针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有10 分钟。 8 小时工作后夜里11 点下班，小张回到家，一看钟才 9 点整。假如他上下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？12.某科学家设计了一个怪钟，这只怪钟每昼夜10 时，每时100 分，当这只怪钟显示5 点时，实际上是中午12 点；当这只怪钟显示6 点 75 分时，实际上是什么时间？13.手表比闹钟每时快60 秒，闹钟比标准时间每时慢60 秒。 8 点整将手表对准，12 点整手表显示的时间是几点几分几秒？14.高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走得不正常，每个白天快12分，每个夜晚慢

59、13分。如果在 9 月 1 日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快3 分？15.8 点过多少分时，时针与分针离“8”的距离相等？16.一部动画片放映的时间不足1 小时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时针、分针的位置交换了一下，这部动画片放映了多少时间？第六单元倒推法解题知识、规律、方法有些应用题告诉我们事情的发生、发展和结果，解这类应用题如果从已知条件出发，顺着考虑下去，可能因误入歧路而陷入解题困境。这时不妨把思考方向改变一下，倒过来想想，可能会“柳暗花明又一村”。从后往前一步步倒着推算，这种思考方法叫还原法。能用倒推法解决的数学问题常常满足下列三个条件：1 已知最后的

60、结果；2 已知在到达最终结果时的每一步的具体过程（或具体做法）；3 求知的数量是最初的数据。例1华球商店出售洗衣机，上午售出总数的一半多20 台，下午售出剩下的一半少20 台，结果还剩105 台。华球商店原有洗衣机多少台？拓展一某人去取款，第一次取了存款数的一半还多5 元，第二次取了余下的一半还多10 元，这时还剩125 元，他原有存款多少元？拓展二小明有钱若干元，第一次用去25后，又得到240 元，第二次用去这时所有钱的13后，还剩下720 元。问第一次用去多少元？拓展三3 只猴子吃篮子里的桃子，第一只猴子吃了13，第二只猴子吃了剩下的13，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的14，最后篮子

61、里还剩下6 只桃子，问篮子里原有桃子多少只？拓展四甲、乙两人各有钱若干元，甲拿出16给乙后，乙又拿出15给甲，这时他们各有240 元，两人原来各有多少元？例2甲、乙两港口各停有小船若干只，如果按下面的办法移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只，第二次从乙港开出和甲港同样多的船只，那么照这样四次后，甲、乙两港所停的船只数都是48 只，求甲、乙两港原来各有多少只小船？18 拓展一有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先把甲桶的油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再把乙桶的油倒入甲、丙两桶，使它们现有的油各增加一倍；最后以同样的方式把丙桶的油倒入甲、乙两桶，这样各桶的油都是16 千克。

62、三个油桶原来各盛油多少千克？拓展二甲、乙、丙三人各有若干本书。甲给乙、丙两人几本书，使两人书的本数增加1 倍；然后乙也照这样送给甲、丙两人；最后丙也照这样送给甲、乙两人。结果甲有书48 本，是丙的书本数的45，乙的书本数是丙的书本数的7115，甲、乙、丙三人原来各有书多少本？拓展三甲、乙、丙、丁各有棋子若干，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子数各增加一倍；然后乙也把自己的棋子的一部分以同样的方式给了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以这样的方式给了甲、丁，最后丁也以这样方式将自己的棋子给了甲、乙，这时四人的棋子都是16 枚，原来四人各有多少枚棋子？检测、反馈、应用一、选择题1.

63、货场原有煤若干吨，第一次运出存煤的一半，第二次运进450 吨，第三次又运出现有煤的一半又50 吨，结果还剩 600 吨。货场原存煤吨。A850 B760 C1700 D1800 2.小丽从家带来鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天再吃余下的一半又半个，恰好吃完。小丽从家带了个鸡蛋。A10 B7 C13 D9 3.仓库里的水泥要全部运走。第一次运走了全部的12又12吨，第二次运走了余下的13又13吨，第三次运走了第二次余下的14又14吨，第四次运走了第三次余下的15又是15吨，第五次运走了最后剩下的19 吨。这个仓库原来共有水泥吨。A99 B78 C56 D135

64、 4.甲、乙、丙三个朋友按下列方法分配苹果：甲得到了全部的13又 8 个，乙取了所剩的13又 8 个，丙取了最后余下的13和所剩下的8 个。甲小朋友得苹果个。A 24 B27 C25 D28 5.一辆拖拉机耕一块地，第一小时耕了整块的14又14公亩，第二小时耕了余下的14又14公亩，还剩230 公亩没有耕。这块地原来有公亩。A307 B14093C15123D460 6.一堆西瓜，第一次卖出总个数的14又 6 个，第二次又卖出余下的13又 4 个，第三次又卖出余下的12又 3 个，正好卖完，这椎西瓜原有（）个。A 27 B28 C29 D30 7.有一堆棋子 （棋子数大于1） ，把它四等分后剩

65、一枚，拿去三份又一枚。将剩下的棋子再四等分后还是剩下一枚，再拿走三份又一枚，将剩下的棋子四等分还是剩一枚，原来至少有（）枚棋子。A37 B43 C69 D85 二、解答题8.把 180 个苹果按每个人一个分给甲、乙、丙、丁四个幼儿班的小朋友。如果甲班人数加2，乙班人数减2，丙班人数乘以2，丁班人数除以2，四个班人数相等。这四个班各应分多少个？19 9.有一筐梨，甲取了一半又1 个，乙取了余下的一半又1 个，丙取了余下的一半又1 个，这时筐里只剩1 个梨。这筐梨共值4.40 元,问每个梨值多少钱? 10. 工地运来两车水泥，第一次用去一半又半吨，第二次用去余下的一半又半吨，第三次用去最后剩下的一

66、半又半吨，正好用完。这两车水泥共有多少吨？11. 两棵树上共有麻雀25 只，第一棵树上的麻雀飞到第二棵树上5 只，又从第二棵树上飞走了7 只，这时第一棵树上的麻雀是第二棵树上的2 倍，问原来每棵树上的麻雀各有几只？12. 甲、乙各有若干元，甲拿出15给乙后，乙拿出14给甲，这时他们各有90 元。他们原来各有多少元？13. 一堆西瓜第一次卖出总数的15还多 4 个，第二次卖出剩下的14还多 3 个，第三次卖出剩下的13还多 3 个，第四次卖出剩下的12少 1 个半，还剩12 个。这堆西瓜原有多少个？14. 仓库中有水泥若干袋。第一次运出全部水泥的13，第二次运进400 袋，第三次又运出现有水泥的

67、15又 40 袋，结果仓库里还剩下水泥800 袋。仓库里原来有水泥多少袋？15. 老奶奶卖西瓜，第一次卖出了全部的一半又半个，第二次卖出了余下的一半又半个，第三次卖出了第二次余下的一半又半个，第四次卖出了第三次余下的一半又半个，最后还剩下一个西瓜，老奶奶原来有多少个西瓜？16. 54 张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1 张到 4 张，谁取最后一张就输。问先拿牌的人怎样拿才能保证获胜？17. 有铅笔若干支，分给甲、乙、丙三个学生，最初甲得最多，乙得较少，两得最少。后重新分配，第一次甲分给乙、丙各自所有的铅笔数再多4 支；第二次乙分给甲、丙各自所有的铅笔数再多4 支；第三次丙分给甲、乙各自所

68、有的铅笔数再多4 支，此时甲、乙、丙三个学生各得铅笔44 支。最初这三个学生各有铅笔多少支？18. 红星小学为山区学校捐图书，按计划把这批书的11 0又 6 本送给李村小学，把余下的一部分送给王村小学，送给王村小学的比送给李村小学的3 倍还多 136 本， 又把第二次余下的75%又 80 本送给张村小学， 最后剩下300本，作为数学竞赛的奖品，红星小学一共捐献了多少本图书？第七单元列举法解题知识、规律、方法当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程） ，而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时，有时不得不采用逐一检验这些答案的策略。列举法就是把问题分为不重复、不遗漏的几类情况，

69、并把每一类中的答案按一定的顺序一一列举出来，直至看出规律，然后再根据规律数一数答案的个数或者写出全部答案。范例、解析、拓展例1李萍的口袋里有五张标有数5、10、20、50、100 的卡片。如果每次取出4 张计算它们的和，那么共有多少种不同的和？拓展一用 0，4，5，9 可以组成多少个能被5 整除的四位数？拓展二由数字 1、2、3、4、5、6、7、8 可以组成多少个不同的最简真分数？拓展三有一个没有盖子的正方体纸盒，请你沿着正方体的棱，将这个无盖纸盒剪成展开图，有多少种不同的展开图？拓展四参加“洽谈会”的客人见面问候，在6 位客人中，不重复地握手13 次，互相之间都握过手的至少有多少位客人？例

70、2玲玲买了三种练习本：自然本每本8 分钱，语文本每本1 角钱，数学本每本2 角钱。她一共用了一元二角二分钱。那玲玲买的三种本子的总和最少是多少？拓展一某次数学竞赛共有10 道题，评分办法是：答对一道题得3 分，答错一题倒扣1 分，不答得0 分。已知参加竞赛的学生中至少有3 个人的得分相同。参加竞赛的学生至少有多少人？20 拓展二我家住在一条短胡同里，这条胡同的门牌号从1 号开始，挨着号码编下去。如果除我家外，其余各家的门牌号数加起来减去我家门牌号数的2 倍，恰好等于100。我家门牌号是几号？全胡同共有多少家？拓展三甲、乙、丙三个自然数的和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是“商5

71、余 1” ，甲数是多少？检测、反馈、应用一选择题1.新学期开学了，10 个同学见了面，如果每两个同学都握一次手，那么共握手次。A9 B20 C30 D 45 2.从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙地到丙地可有种走法。A9 B15 C12 D 16 3.一个工人将子弹装进两种盒子中，每个大盒子装12 颗，小盒子装5 颗，恰好装完。如果子弹一共99 颗，盒子数大于10。问大盒子有个，小盒子有个。A11，13 B2，20 C2， 30 D2，15 4.观察前四个数，写出最后一个数：2，7，22，67， （）A89 B202 C104 D124 5

72、.从 1993 这个数里，第一次减去它的二分之一，第二次减去剩下的三分之一，第三次再减去剩下的四分之一，依此类推，一直到最后减去剩下的一九九三分之一，那么最后剩下的数是。A2 B1 C3 D4 6.某铁路上有11 个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条线路上每个车站发售的通往其他各车站的火车票，他一共收集了张。A60 B110 C95 D55 7.有一个五分币，四个二分币，八个一分币，要取9 分钱，有种取法。A7 B11 C20 D14 8.用 1、2、3、4 四张数字卡片，每次取3 张组成一个三位数，可以组成个奇数。A8 B10 C 12 D14 9.下图中有个三角形。条线段。A3，5

73、B6，10 C7，7 D8，12 二、解答题10. 两个人的年龄和是36 岁，且各自的年龄数都是质数，他们们各自的年龄可能分别是多少岁？11. 现有 1 克、2 克、3 克重的天平砝码，要用 10 个砝码称出20 克重的物体。（1）在取出的砝码中有3 个 1 克的，那么 3 克重的砝码应有多少个？（2）除（ 1）的情况外，取出的砝码还有几种情况呢？（设任何一种砝码至少取一个）12. 有铅笔若干支，分配给甲、乙、丙三个学生。最初甲分得的最多，乙分得的较少，丙分得的最少，因此重新分配。第一次分配，甲分别给乙、丙原有支数多4 支；第二次分配，乙分别给甲、丙原有支数多4 支；第三次分配，丙分别给甲、乙

74、原有支数多4 支。经过三次重新分配后，甲、乙、丙三人各得铅笔44 支，最初甲得几支？13. 有糖块 144 颗，平均分成若干份，每份不得少于10 颗，也不得多于40 颗，共有多少种分法？14. 小刚和小李玩掷骰子游戏，共有两枚骰子，一起掷出，若两枚骰子的点数和为7，则小刚胜；若点数和为8，则小李胜。想一想，他们两人获胜的可能性大，为什么？15. 一只甲虫从A 点出发（如下图） ，要沿着某几条线段从A 点爬到F 点。在行进中，同一个点或同一条线段只能经达一次，这只甲虫最多有多少种不同走法？ABCDEF16. 新任宿舍管理员拿了20 把钥匙去开20 个房门，他知道每把钥匙只能开一个房门，但不知道哪

75、把钥匙能开哪ABCDE21 一个房门，现在要打开所有关闭的20 个房门，那么他至少要试开多少次？17. 小丽爱吃青菜、菠菜、丝瓜三种蔬菜，她准备每天吃一种，且相邻两天不能吃同一种蔬菜。如果小丽第一天吃青菜，第五天也吃青菜，那么，这五天中她共有多少种不同的安排？18. 从 1100 的自然数中，每次取两个不同的自然数相加，使其和大于100。共有多少种不同的取法？19. 奶奶有 2 元、 1 元、 5 角、 2 角、1 角的钱各 3 张，到百货商店买4 元 9 角的东西，怎样拿可以正好把钱交上，不用找钱，一共有几种拿法？20. 甲、乙两人比赛乒乓球，先胜三局的人算赢。直到决出胜负为止，共有多少种可

76、能发生的情况？21. 下面四个图形都具有两个特点： （1）由四个连在一起同样大小的正方形组成；（ 2）每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边，我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。如果某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同，那么这两个俄罗斯方块只能算一种，除了下面三种外，还有好几种俄罗斯方块，请你把这几种都画出来。第八单元利润和折扣知识、规律、方法利润和折扣是常见的一类百分数应用题。通常把一种商品的售价与成本价（或进货价）之间的差称为利润。例如某商品的进货价（也叫买入价、成本价）是100 元，以 130 元售出，获得利润13010030（元） ，利润成本 =利润率。

77、如上题中的利润率为30 100=30% ，也可以直接说利润为30% ，也可以直接说利润为30% ，利润通常用百分数表示。商品减价出售时，通常叫打折出售或打折扣出售。几折就是现价是原价的百分之几十。如一台彩电打八五折出售，也就是按原价的85% 出售。有关利润和折扣，要重点理解、掌握以下几个数量关系。1 售出价 - 进货价 =利润率利润成本（进货价）=利润率2 卖出价 =成本（ 1+利润率），成本 =卖出价（ 1+利润率）3 商品的定价一般按照期望的利润率来确定：定价 =成本（ 1+期望的利润率）4 现价 =原价折扣数例1某商品按定价的80%（八折）出售，仍能获得20%的利润。定价时期望的利润百分

78、数是多少？拓展一商店以每双6.5元购进一批凉鞋，售价为7.4元。卖到还剩5 双时，除成本外还获利45 元。这批凉鞋共有多少双？拓展二某商品按20%的利润定价，然后又按定价的80%出售，结果每件亏损64 元。这一商品的成本是多少？拓展三一件商品按20%的利润定价，然后按八八折出售，共得利润84 元，这件商品的成本是多少元？拓展四某商店同时卖出两件商品，每件各得30 元，其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？例2某商品按定价卖出可获利润960 元，现在按定价的80%出售，则亏损832 元。该商品的购入价是多少元？拓展一有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店便宜10

79、%。甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2 元。问甲店的进货价是多少元？拓展二甲、乙两种商品成本共250 元，商品甲按30%的利润来定价，商品乙按20%的利润来定价。后来应顾客要求，两种商品按定价9 折出售，仍获利33.5 元，问甲商品的成本是多少元？拓展三新华书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100 本以上，就按书价的90%收款，某学校到书店购买甲、22 乙两种书，其中“乙种书的册数是甲种书的35” ，只有甲种书得到了90%的优惠，这时，购买甲种书所付总款数是购买乙种书所付总款数的2 倍，已知乙种书每本的价格是1.5 元，那么甲种书每本多少元

80、？检测、反馈、应用1.一种商品，进货价400 元，售价500 元。这种商品所获得的利润占成本的（）2.商店出售一种电视，原价2500 元，后来打八五折出售。这种电视现在的价钱是（） 。3.商店每卖出一本挂历，可获得利润12 元，已知每本挂历售价52 元，这种挂历的利润率为（） 。4.一部手机的售价是1800 元，这部手机售出后可获20%的利润，这部手机的进货价为（） 。5.一件上衣进价为240 元，售出时按15%的利润来定价，这件上衣的售出价是（） 。6.有甲、乙两家商店，如果甲店的利润增加20%，乙店的利润减少10%，那么这两店的利润就相同。原来甲店的利润是原来乙店利润的（）%。7.某商店有

81、两件商品，其中一件商品按成本增加25%出售，一件商店按成本减少20%出售，售价恰好相同，那么，()()两 件 商 品 售 价 总 和两 件 商 品 成 本 总 和。二、解决问题8.商品甲按20%的利润卖出，卖出价是240 元，商品乙按10%的亏损卖出，卖出价是270 元，甲和乙两件商品的成本谁多？多百分之几？9.商品甲的定价中含30%的利润，商品乙的定价中含40%的利润。甲、乙两种商品的定价相加是470 元，甲的定价比乙的定价多50 元。甲、乙两种商品的成本名是多少元？10. 一批商品按50%的期望利润率定价，结果只卖了70%的商品。为尽快卖完剩下的商品，商品决定按定价打折出售，这样所获的全部

82、利润是原来期望获得利润的82%，问商品打了几折出售？11. 某种蜜瓜从出售之日起，每天比前一天降价20%。小明在出售的第二天买了3 千克，在出售的第三天又买了 5 千克， 两次共花了42 元， 蜜瓜出售的当天售价是多少元？如果这8 千克蜜瓜在第四天只要多少元？12. 有一种商品，甲店进货价比乙店便宜10%，甲店按10%的利润来定价，乙店按20%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的定价便宜21 元。问甲店的进货价是多少元？13. 某体育用品商店进了一批篮球，分一级品和二级品，二级品的进价比一级品便宜20%。按优质优价的原则，一级品按20%的利润来定价，二级品按15%的利润来定价，一级品篮球比二级

83、品篮球每个贵14 元。一级品篮球的进价是多少？14. 文体商店用2400 元进了一批蓝球和足球，篮球比足球多15 个，商店出售足球的定价是20 元，篮球的定价比足球多20%，这批球售完后共获利820 元。足球和篮球各有多少个？15. 某商场在迎亚运商品展销期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，可盈利215 元；如果打八折出售，则亏损125 元。问此类商品的购入价是多少元？16. 某商品按定价出售，每个可获得45 元的利润。现在按定价的八五折出售8 个所获得的利润，与按定价每个减价 35 元出售 12 个所获得的利润一样多。这一商品每个定价是多少元？17. 黄先生向商店订购每件定价

84、为100 元的某种商品80 件。黄先生对商店经理说：“如果你肯降价5%，那么每降价 1 元，我就多订购4 件。 ”商店经理算了一下，若降价5%，则由于黄先生多订购，获得的利润反而比原来多100 元。问这种商品的成本是多少元？18. 儿童出版社出版某种书，今年每册书的成本比去年增加10%，但仍保持原价。因此每本盈利下降了40%，但今年的发行量比去年增加8%，那么今年发行这种书获得的总盈利比去年增加了百分之几？19. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多15，然后甲、乙分别按获得80%和 50%的利润定价出售。两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够

85、再购进这种时装10 套（进价不变） ，甲原来购进这种时装多少套？23 第九单元浓度问题知识、规律、方法一杯糖水中有多少糖，可以用百分比来衡量。糖水的浓度是由糖和水的比值来决定的。我们把糖与糖水的百分比叫做糖水的浓度。同样，盐与盐水的百分比叫盐水的浓度。纯酒精与酒精溶液的百分比称为酒精浓度，药与药水的百分比叫药水的浓度。对这些数学问题，我们统称为浓度问题。在浓度问题中，通常把糖、盐、纯洒精、药称为溶质（即被溶解的物质）；把溶解这些溶质的液体称为溶剂，如水、汽油等；溶质与溶剂混合的液体称为溶液，如糖水、盐水、洒精溶液等。要解决浓度问题，就要理解并掌握下面几个关系式：溶质 +溶剂 =溶液1溶 质溶

86、液100%= 浓度2 溶液浓度 =溶质范例、解析、拓展例1将 20 克糖放入白开水中制成糖水，这种糖水浓度为10%，需白开水多少克？拓展一在浓度为10%的 80 克盐水中，加入多少克水可得到浓度为8%的盐水？拓展二一种浓度为35%的新农药，如稀释到浓度为1.75%时治蚜虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水才能配成浓度为1.75%的农药 800 千克？拓展三现有浓度为20%的糖水 300 克，要变成浓度为40%的糖水，需加糖多少克？例2将 20%的盐水与5%的盐水混合，配成15%的盐水 600 克。需 20%的盐水和 5%的盐水各多少克？拓展一浓度为 70%的酒精溶液500 克与浓

87、度为50%的酒精溶液300 克，混合后所得的酒精浓度为多少？拓展二现有含盐20%的盐水 500 克，要把它变成含15%的盐水，应加入5%的盐水多少克？拓展三130 克含盐 5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%盐水，这样配成的6.4%的盐水是多少克？拓展四甲容器中有纯酒精11 升，乙容器中有水15 升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使洒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中酒精含量为 25%，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液多少升？例3甲种酒含纯酒精40%， 乙种酒含纯酒精36%， 丙种酒含纯酒精35%。

88、将这三种酒混在一起得到含纯酒精38.5%的酒 11 千克。已知乙种酒比丙种酒多3 千克，那么甲种酒有多少千克？拓展一A、B、C 三个试管中各盛有10 克、20 克、30 克水。把某种浓度的盐水10 克倒入 A 中，混合后取出10克倒入B 中， 再混合后又从B 中取出 10 克倒入 C 中，现在 C 中的盐水浓度为0.5%。最早倒入 A 中的盐水浓度为多少？拓展二有三根管子A、B、C，A 管以每秒 4 克的流量流出含盐20%的盐水， B 管以每秒 6 克的流量流出含盐15%的盐水， C 管以每秒10 克的流量流出水，C 管打开后开始2 秒不流，接着流5 秒；然后又停2 秒，再流5 秒, 三管同时

89、打开， 1 分钟后都关上，这时得到的混合液中含盐百分之几？检测、反馈、应用一、填空1.一瓶盐水共重200 克，含盐20 克，这瓶盐水浓度为（） 。2.将 10 克盐放入40 克水中制成盐水，这种盐水浓度为（） 。3.在 1000 千克 15%的药水中，含纯药（）千克，含水（）千克。4.要配制一种糖水浓度为10%，12 克糖需加水（）克；有180 克水需加糖（）克。5.现有浓度为20%的糖水 300 克，要配成浓度为40%的糖水，需加糖（）克。6.有浓度为8%的盐水 200 克，需稀释成浓度为5%的盐水，需加清水（）克。7.一种含药量为35%的灭蚊剂，如稀释到含量为1.75%灭蚊最有效。 用 （

90、） 千克含药量为35%的农药兑（）千克水才能配成含药量为1.75%的药水 800 千克。8.把 25 克盐水放进100 克水里制成盐水，有200克这样的盐水，里面含盐（）克。二、应用题24 9.有浓度 2.5%的盐水 200 克，为了制成浓度为5%的盐水，从中要蒸发掉多少千克？10.10000 千克葡萄干在新疆测得含水99%，运抵南京后测得含水98%，问葡萄干运抵南京后还剩下多少千克？11.在浓度为50%的 100 千克硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液， 就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液？12.有两个装满糖水的桶，大桶内装有含糖4%的糖水 60 千克， 小桶内装满含糖20%的糖

91、水 40 千克， 各取出多少千克分别放入对方桶内，才能使它们的浓度相等？13.甲容器中有浓度4%的盐水 150 克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450 克盐水，放入甲中混合成浓度为 8.2%的盐水。求乙容器盐水的浓度。14.浓度为 20%、18%、16%的 3 种盐水混合后得到100 克 18.8%的盐水。如果18%的盐水比16%的盐水多30 克， 3种盐水各多少克？15.已知盐水若干克，第1 次加入一定量的水后，盐水浓度变为3%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变以2%。第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？16.在装满 100 克浓度为80%的盐水杯中倒出40 克盐水后，再用

92、清水将杯加满；搅拌后再倒出40 克盐水，然后再用清水加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？17.有甲、乙两个瓶子，甲瓶中装了200 毫升清水，乙瓶里装了200 毫升纯酒精。第一次把20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20 毫升溶液倒回乙瓶。问此时甲瓶中含酒精多，还是乙瓶中含水多？18.在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精含量分别占48%、62.5%和23。已知三缸酒精溶液总量是100 千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量。三缸溶液混合，所含酒精的百分数将达到56%。那么，丙缸中纯洒精的量是多少千克？19.下图中（ a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）为水槽，

93、而A、B、C、D、E、F、G、H 为能进行开、关的水管，在图中还注明了关于各个管分流的比例。首先将水管C、D、E、F、G、H 关闭，分别由A 流出质量分数为10%的盐水 200 克，由 B流出质量分数为5%的盐水 800 克，接着关闭A、B 水管，打开C、 D、E、F、G、H 水管。在水槽（d）中积存的盐水为多少克？其中含盐多少克？第三章几何知识的有关问题第一单元与圆的周长有关的计算知识、规律、方法围成一个图形的所有边的长度总和就是这个图形的周长。在实际生活中经常遇到与圆的周长有关的计算。计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。具体要掌握下面几个关系：1 同一圆中直径和半径的

94、关系：2dr或12rd。2 圆的周长是直径的（3.14）倍，是半径的50ab2倍，所以Cd或2Cr。3 扇形：是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。如果扇形的圆心角是n 度， 那么当圆周长2Cr时，3: 25: 33: 1?( b )( d )ABCDFG（）cH25 扇形的弧长计算方法：2360180nnLrr。范例、解析、拓展例1如右图 ，外面一个圆的周长与里面两个圆的周长之和相比较，哪一个长？拓展一如图 ，从点 A 到点 B，沿着大圆走和沿着中、小圆的圆周走的路程相同吗？ACB拓展二一个大圆内有三个大小不等的小圆（如图 ） ，这些小圆的圆心在大圆的同一条直径上，连同大圆在内每相

95、邻的两个圆都相切，已知大圆的周长是10 厘米，求这三个小圆的周长之和。abcd拓展三如下图 ，其阴影部分的周长是多少厘米？10c m3cm例2一个半圆的直径为10 厘米，它的周长是多少厘米？拓展一一个半圆的周长是20.56厘米，这个半圆的直径是多少厘米？拓展二某运动场的200 米跑道 如图 （ 1）所示，弯道为半圆形，跑道宽为1.22米。两名运动员沿各自跑道赛跑一周，为使二人所跑距离相等，应让外跑道的运动员前移多少米？（得数保留两位小数）拓展三如左下图，在半径为1 的圆中内接一个矩形，矩形中有一个菱形，求菱形的边长。例3将半径分别是3 厘米和 2 厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。2厘

96、米3厘米拓展一直径均为 1 米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如图 。试求金属带的长度。26 拓展二求下图 阴影部分的周长。 （单位：厘米）60拓展三如下图 ，圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？ODABC检测、反馈、应用一、填空1.用圆规画一个周长12.56厘米的圆，那么圆规两脚之间的距离应是（）厘米。2.半圆形花坛的半径用字母r表示，它的周长是（）厘米。3.一个圆的半径扩大2 倍，它的周长扩大（）倍。4.半圆的周长是5.14厘米（取3.14） ，它的半径是（）厘米。5.汽车车轮的半径是0.75米，如果车轮每分钟转200 转，要行驶9.

97、42千米的路程，需要（）分钟。6.，已知50ab厘米，图中各圆的周长总和是（） 。7.如图，阴影部分周长最长的是（） 。 （正方形的边长相等）ABC二、解答应用题1.求阴影部分周长（单位：厘米）。OABC54532( 1)( 2)2.一个街心花园如图形状，中间正方形的边长为20 米，四周为半圆形，这个街心花园的周长为多少米？3.以 B、C 为圆的两个半圆的直径都是4 分米，求阴影部分周长。27 ABCD4.如图：正方形ABCD 的边长是1 厘米，求阴影部分的周长。5.有 7 根直径都是2 分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它捆成一捆，最短需要多少米的绳子？（打结用的绳长不计）6.下图中，直径AB

98、 为 3 厘米的半圆绕A 逆时针旋转60，使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长。7.等边三角形的边长为3 厘米，现将三角形ABC 沿着一条直线翻滚三次（如图），求 A 点经过的路线长。8.有 8 个半径为 2 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中正方形的边的交点为这些圆的圆心，那么这一个花瓣图形的周长是多少厘米？9.如图， 一条直线上放着一个长和宽分别是4 厘米、 3 厘米的长方形，它的对角线恰好是5 厘米， 让这个长方形顶点 B 顺时针旋转90后到达长方形的位置，连续做三次。A次到达E点的位置，求A点走过的路程长。10.如图，每个小圆的半径都是1 厘米，求阴影部分的周

99、长。11.求下图中阴影部分的周长。（单位：厘米）28 ABC4 030第二单元与圆的面积有关的计算知识、规律、方法本单元主要讲解与圆面积有关的组合图形面积的问题。在进行组合图形的面积计算时，必顺掌握有关的概念、公式，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由哪几个基本图形组成的，要注意找出图中的隐蔽条件与已知条件和问题的联系。计算组合图形的面积，必须将组合图形进行分解，看清组合图形是由哪几个基本图形合并起来的，或是从哪一个基本图形里去掉哪一个或几个基本图形得到的。有时需要把其中的部分图形进行平移、翻转、添上辅助线，化难为易，从而找出解答的方法。1.圆面积的计算公式：2360nSr2Sr2.扇形面积

100、的计算：2360nSr（n为扇形圆心角的度数） 。范例、解析、拓展例1求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）OABC410拓展一计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米）46拓展二求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）4588拓展三如图，已知扇形的面积是3.14平方厘米，求图中阴影部分的面积。29 例2一个直径为3 厘米的半圆，让A 点不动，把整个半圆顺时针旋转60，此时点B移到点1B处（如图）。求图中阴影部分的面积。ABB160拓展一图中三角形ABC是直角三角形，阴影的面积比阴影的面积小23 平方米。 问 BC的长度是多少米？（取 3）ABCDI203拓展二求下图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）A

101、BCDI3拓展三计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米）拓展四计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米）拓展五如左下图 , 1=15的圆周长为62.8 厘米 , 平行四边形的面积为100 平方厘米 . 阴影部分的面积是多少平方厘米 ? 检测、反馈、应用1.求左下图中阴影部分面积。（单位：厘米）ABCD7430 2.右上图中三角形的面积是12 平方厘米，求阴影部分的面积是多少。3.已知图中两个正方形的边长分别为1 厘米和 2 厘米，求阴影部分的面积。4.正方形面积是12 平方厘米，求图中阴影部分的面积。5.计算阴影部分的面积。 （单位：厘米）6.求阴影部分的面积。 （单位：厘米）7.求阴影部分面积。

102、（单位：分米）8.长方形 ABCD 中长 AD 是 10 厘米， E 为 BC 的中点，求阴影部分的面积。9.如图，实线部分的周长为38.84厘米，其中10AB厘米。求阴影部分的面积。31 10.求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）11.如图，四个半圆形纸片叠放在桌上成了一个正方形。求重叠部分（阴影部分）的面积。（单位：厘米）12.计算阴影部分的面积。 （单位：厘米）13.下图中，O为圆心，O C垂直于 AB，三角形 ABC 的面积为45 平方厘米，求阴影部分的面积。14.如下图所示，四个圆的周长都是25.12 厘米，求阴影部分的面积。15.如下图（单位：厘米） ，在长方形ABCD 中， AD

103、=DE=3 厘米， AE=AB。求阴影部分的面积。32 16.下图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点，求阴影部分面积。（单位：厘米）17.下图中三个圆的半径都是5 厘米，三个圆两两相交于圆心，求阴影部分面积。18.如图，半圆1S的面积是14.13 平方厘米，圆2S的面积是19.625 平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？第三单元表面积的计算知识、规律、方法表面积是指物体各个面的面积总和。在计算表面积时，要注意根据实际情况，弄清究竟求哪几个面的面积，再正确解答。具体用到的形体有长方形、正方形和圆柱体。1 长方体的表面积=（长宽宽高+长高） 2

104、。2 正方体的表面积=棱长棱长 6。3 圆柱体的面积 =侧面积 +底面积 2。在计算时，要从实际出发，有的只有一个底，有的没有底；有的只算两个面，有的要算四个面等等。范例、解析、拓展例1把一张长方形铁皮按下图剪料，正好能制成一只铁皮油桶，求所制成的油桶的表面积。（单位：厘米）ABCFD16.56拓展一、把一张长方形铁皮按下图剪下阴影部分制成圆柱体。求这个圆柱体的表面积。（圆桶盖的周长等于长方形铁皮33 的长）（单位：分米）18. 8410拓展二、下图（1）是一个立体图形（2）的侧面展开图（单位：厘米），求这个立体图形的表面积。拓展三、把19 个边长为 2 厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立方

105、体，这个立方体的表面积是多少平方厘米？例2把一段圆柱体木料沿着直径往下切成两块（如图）。已知圆柱的底面直径为10 厘米，高15 厘米，求半个圆柱体的表面积。拓展一、下图是个柱体，高30 厘米，底面是一个半径为10 厘米、圆心角为270的扇形，求这个柱体的表面积。拓展二、一个圆锥的底面周长是18.84 厘米，高是4 厘米。从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米？拓展三、 有一个棱长为4 厘米的正方体， 从它的右上方截去一个棱长分别为4 厘米、 2 厘米和 1 厘米的长方体， 求剩下部分的表面积。34 拓展四、一个正方体木块，棱长是15。从它的八个顶点处各截

106、去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8 的小正方体。这个木块剩下的部分的表面积最小是多少？例3如图，在底面积为324 平方厘米的正方体铸铁中，以相对的两面为底，挖出一个最大的圆柱形，然后在剩下的铸铁表面上涂上油漆，求涂漆的面积是多少？拓展一、从图纸上剪下半径为30 厘米的扇形，做一个圆锥。圆锥的底面直径为20 厘米，求圆锥的表面积。拓展二、 如图是一个半径为4 厘米， 高为 4 厘米的圆柱。 在它的中间依次向下挖去半径分别为3 厘米、 2 厘米、1 厘米，高分别为2 厘米、 1 厘米、 0.5 厘米的圆柱，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？拓展三、如图表示一个正方体，它的棱长为4

107、厘米，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1 厘米的正方体，问此图的表面积是多少？拓展四、 在一个立方体的前后，左右侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、 下侧面的中心打通一个圆柱形的洞（如图） ，已知立方体边长为10 厘米，前后、左右侧面上的洞口是边长为4 厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求所剩下物体的表面积。检测、反馈、应用1 一个圆柱体底面周长和高相等。如果高缩短2 厘米，表面积就减少12.56 平方厘米。求这个圆柱的表面积。35 2 在一个棱长为5 厘米的正方体中间挖了一个半径为2 厘米的圆柱形的孔（如左下图），求剩下立体图形的表面积。3 高都是 1

108、米，底面半径分别是0.5 米、 1 米和 1.5 米的三个圆柱组成的几何体如右上图，求这个物体的表面积。4 有一个底面直径6 厘米、高5 厘米的圆柱体，沿着上下底面圆心的连线切开，它的表面积增加了多少平方厘米？5 如图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为40 厘米的正方体，上部是圆柱体的一半。求这个零件的表面积。6 一个圆柱体的侧面积是50.24 平方厘米，高和底面半径相等，这个圆柱体的表面积是多少？7 一个圆柱高8 厘米， 如果它的高增加2 厘米， 表面积增加25.12 平方厘米， 求原来圆柱的表面积是多少平方厘米？8 把一个正方体制成一个体积最大的圆柱体。如果圆柱的侧面积是314 平方厘米

109、，求正方体的表面积。9 如图在一个圆柱上挖了一个边长为2 厘米的方形小孔，现在这个物体的表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）10在一个棱长为4 厘米的正方体的前后、上下、左右各面的中心位置挖去一个底面半径为1 厘米、高为1 厘米的圆柱。求挖去后物体的表面积。11把一个横切截面是正方形的长方体木料切削成一个最大的圆柱体，此圆柱的表面积为32.97 平方厘米 ,底面直径与高的比为1： 3，求原长方体的表面积是多少平方厘米？12求下图物体的表面积。（单位：厘米）13有一个棱长为5 厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图），求这个立体图形的内外表面积的总和。36 14用 6

110、块长 3 厘米、宽2 厘米、高1 厘米的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？15用铁皮做一个如下图的零件，需用铁皮多少平方厘米？（零件是中空的）。第四单元圆柱与圆锥的体积知识、规律、方法一个矩形，以它的一条边为轴旋转一周形成的几何体叫做圆柱，或者说它是由一个圆筒形的曲面和两个一样大的圆面围成的几何图形。如果用213Vrh表示底面圆的半径，h表示高，那么圆柱的体积公式为：2Vrh。一个直角三角形，以它的一条直角边为轴旋转一周形成的几何体叫做圆锥。如果用r表示底面圆的半径，h表示高，那么圆锥的体积公式：213Vr h。在实际应用中，底面积或高有时是隐含着的，要

111、先通过分析推理得出之后，再来求体积。有些体积没变，但形状变了，要巧秒地利用等积变形的特征，抓住形体的特征进行计算。范例、解析、拓展例1、如图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分恰好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积。24.84分米拓展一、一个圆柱的高10 分米，它的侧面展开，得到一个长25.12 分米的长方形。这个油桶能装油多少升？拓展二、从半径为10 厘米的圆柱形钢材上截下一段，锻造成长为40 厘米、宽30 厘米、高 15 厘米的长方体，应截圆钢长多少厘米？拓展三、在一个高为8 厘米、容积为50 毫升的圆柱形容器A 里面装满了水。现把长16 厘米的圆柱B 垂直放入，使B

112、的底面与A 的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B 从 A 中拿起后， A 中的水高度为6 厘米，求圆柱体 B 的体积。拓展四、某工厂原来用长4 米、宽 1 米的铁皮（如图a）围成没有底和顶的正方体形状的产品存放处(底和顶用别的材料)(如图 b),恰好够存一周的产品,现在产量增加了27%，能够还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一周的产品吗？1米1米1米1米4米(a)(b)37 拓展五、一个圆柱体的高是10 厘米（如图） ，若减少3 厘米，则表面积比原来减少94.2 平方厘米，原来圆柱体的体积是多少平方厘米？3例2、一张扇形薄铁皮，弧长18.84 分米，它能够围成一个高4 分米的圆锥，求圆

113、锥的容积（接缝处忽略不计）。拓展一、如下图（1） ，圆锥形容器中装有3 升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？12hh12rr(1)(2)拓展二、把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积为40 立方厘米，问原来圆柱的体积是多少？拓展三、在仓库的一角有一堆稻谷，呈四分之一圆锥形（如下图），经测量底面弧长2.4 米，圆锥高为1.57 米。已知稻谷每立方米重725 千克，求这堆稻谷重多少千克？拓展四、圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长。已知正方体的体积是30 立方厘米。求圆锥的体积是多少平方厘米？检测、反馈、应用一、填空1 一个圆柱侧面积为62.8 平方厘米，高5

114、 厘米，这个圆柱体的体积是（）立方厘米。2 一个圆柱的底面周长25.12 厘米，高和直径相等，这个圆柱体的体积是（）立方厘米。3 把两个底面积相等，长分别是10 厘米和 20 厘米的圆柱体木料胶合成一根后，表面积减少25.12 平方厘米， 则胶合后的圆柱体的体积是（）立方厘米。4 把一个棱长为4 厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的表面积为（）平方厘米；如果削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是（）立方厘米。5 一个圆柱体的高为31.4 厘米，它的侧面展开是一个正方形，这个圆柱体的体积是（）立方厘米。6 一根圆柱形木料长2 米， 把它截成了相等的3 段后， 表面积增加了16 平方厘

115、米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？7 有甲、乙两个容器（如图，单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器。乙容器中水深（）厘米。二、应用题38 8 一个底面积是314 平方米的圆柱形蓄水池，能容纳水1884 立方米，如果再挖深1.5 米，可容水多少立方米？9 一个长方形竖着一条长为轴旋转一周，求所形成的物体的体积（如图1） ；一个三角形以横着的一条短直角边为轴旋转一周（如图2） ，求所形成的立体图形的体积。（单位：分米）10试求下图钢材的体积。（单位：厘米）11一个圆柱的表面积是150.72 平方厘米，底面半径是2 厘米，求它的体积。12把一个棱长是2 分米的正方体木块削成一个体积最大

116、的圆柱体，应削去多少立方分米的体积？13如左下图所示，一个底面直径为20 厘米的装有一部分水的圆柱形容器，水中放着一个底面直径12 厘米、高 10厘米的圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了几厘米？14有一饮料瓶的身如右上图所示,容积是 3 立方分米。 现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度为20 厘米，倒放时空余部分的高度为5 厘米，问瓶内现有饮料多少立方分米？15一个圆柱形水桶里，放进一段截面半径为5 厘米的圆钢，如果把它全部放入水里，桶里的水面就上升9 厘米；如果把水中的圆钢露出8 厘米，那么这时桶里的水面就下降4 厘米，问这段圆钢的体积是多少？16一个圆柱体木块切成四块（

117、如图1） ，表面积增加48 平方厘米；切成三块（如图2） ，表面积增加50.24 平方厘米；削成一个最大的圆锥体（如图3） ，体积减少多少立方厘米？17有 A、B 两个圆柱形容器，最初在容器A 里装有 2 升的水， 容器 B 是空的。 现在往两个容器中以每分钟0.4 升的流量注入水， 4 分钟后，两个容器的水面高度相等。设B 的底面半径为5 厘米，求 A 的底面直径是多少厘米？39 18一个圆柱形水桶的侧面积是它的一个底面积的6 倍，已知水桶的底面半径是1 分米，这个水桶的容积是多少立方分米？第五单元几何知识与运动问题知识、规律、方法有些几何知识的应用题与运动有关，如在环形跑道中运动，与圆形有

118、关；如果是两个物体在环形跑道上运动，那就与相遇问题、追及问题有关。通常求几何图形的面积与周长都是静态，但也有些是运动着的。解决这类与运动有关的几何问题时，要认真分析运动着的物体所经过的路线（或范围），这样才能找到正确的解题途径。范例、解析、拓展例1 如图， A、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时出发反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 离 A点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 离 B 点 60 米，求这个圆的直径。CDAB拓展一在 400 米的环形跑道上，A、 B 两点相距100 米（如图），甲、乙两人分别从A、 B 两地同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒5 米，乙每秒4

119、 米，每人跑100米都要停留10 秒钟，那么甲追上乙需要多少秒？AB100拓展二小冬、小青两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40 米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15 米处第二次机遇，甲、乙两地相距多远？例2 ABCD 是一个正方形，边为1 米，用一绳子从A 点开始正好绕了一圈。从A 点开始，固定B 点，绳子扫过面为扇形 ABE ；再固定 C 点，绳子扫过面为扇形ECF；再固定D 点，绳子扫过扇形FDG ；最后固定A 点，绳子扫过扇形 GAH 。求绳子扫过的总面积是多少？拓展一一只狗被拴在底座为边长3 米的等边三

120、角形建筑物的墙角上（如下图），绳长是 4 米，求狗所能到的地方的总面积。拓展二一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A 点开始爬行一周。在三条边上每分钟分别爬行50 厘米、 20 厘米、 40 厘40 米（如图）。它爬行一周的平均速度是多少？A502040例3 下图是边长为10 分米的正方形，内侧有一个半径为20 厘米的圆形沿着边长滚动一周，圆形滚动不到的地方有多大面积？这个圆（圆心）所经过的总路程是多少厘米？拓展一如图所示，一个半径为1 厘米的圆绕着一个直角三角形(各边长分别为3 厘米、 4 厘米、 5 厘米)滚动一周，求这个圆（圆心）所经过的路程。拓展二如图所示，一块半径为2 厘米的圆板，从平面1

121、 的位置沿线段AB、BC、CD 滚到 2 的位置，如果AB、BC、CD 的长都是20 厘米。那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米？检测、反馈、应用1 如图三角形ABC 是直角三角形，直角边AC=6 厘米， BC=2 厘米， 以 BC 为轴将三角形旋转一周得一圆锥，求该圆锥的体积。2 如右上图，一个圆的周长为70 厘米，甲、乙两只爬虫，从同一地点同时出发，同向爬行。甲以每秒4 厘米的速度不停地爬行，乙爬行15 厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1 倍，在离出发点30 厘米处与甲相遇，问乙原来的爬行速度是多少？3 图中是甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5 圈时，乙齿轮转7 圈，丙齿轮转两

122、圈。那么这三个齿轮的齿数最少应分别是多少个？41 4 三角形的每边长都是3 厘米，现将三角形ABC 沿着一条直线翻滚763 次（如图所示翻滚一次），求 A 点所经过的总路程。5 两个铁环，滚过同一段距离，一个转了50 圈，另一个转了40 圈，如果一个铁环的周长比另一个铁环的周长少44厘米，这段距离是多少米？6 甲、乙两人在（如图所示）圆环跑道上（两端是半径相同的半圆），同时从某出发点沿相反方向跑步，甲速度是乙的 3 倍，他们第一次与第二次相遇地点之间路程为100米，环形跑道有什么米？7 草场上有一个长20 米、宽 10 米的关闭着的长方形羊圈（如右上图所示），在羊圈的一角用长30 米的绳子拴着

123、一只羊，这只羊的活动范围有多大？8 如左下图半径1 厘米的圆，绕直角梯形不滑动地滚动一周，求圆心O所经过的总路程是多少？（其中AD=5 厘米，BC=8 厘米， AB=6 厘米， CD=8 厘米） 。9 右上图中正方形的周长是圆环周长的3 倍，当圆环绕正方形无滑动滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几周？10如图，有一只狗被缚在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为600 厘米的等边三角形，绳长为8 米，求绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的图形的总面积。11一块边长为4 米的正方形草地，两对角处各有一棵树，树上各拴着一只羊，拴羊的绳长都是4 米，问两只羊都能42 吃到的草地面积是多少？12右图是一个

124、边长100 米的正方形，甲、乙两人同时从A 点出发，甲逆时针每分行75 米，乙顺时针每分行45 米。两人第一次在CD 边（不包括C、D 两点）相遇，是出发后的第几次相遇？13如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300 米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90 米，乙每分走70 米，那么经过多少时间甲才能看到乙？甲乙14右图中，外圆周长40 厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A、B 同时爬行，甲蚂蚁从A 出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3 厘米；乙蚂蚁从B 出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5 厘米，两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共

125、爬行了多少米？AB第四章 代数问题第一单元列方程解应用题知识、规律、方法有些比较复杂的应用题，由于受算术方法解题思路的限制不易解答，而用设求知数列方程的方法来解就显得比较简单。在列方程解应用题时，是把已知量和未知量统一考虑，分析其数量关系，在一个相等的式子中，把它们表示出来，构成一个方程。找数量关系，有的是利用条件中的相等关系，有的是利用周长和面积的计算公式，有的是根据加、减、乘、除各部分之间的关系，我们只要先假设一个未知数，然后再根据等量关系来列方程。列方程解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答。1 审：指的是审题，要弄清问题中的已知量和未知量各是什么，问题中有什么样的等量关系。2 设

126、：指的是选一个未知数设为x ，一般采用 “直接设元法” ，即题中问什么就设什么为x ，特殊情况下采用“间接设元法”。如已知时间的前提下，求路程，可不设路程，而设速度，求出速度后，再根据路程=速度时间，43 就能求出路程了。3 列：指的是列代数式和列方程。要根据题目的条件，利用等量关系列出含未知数的等式方程。4 解：求出所列方程的解。5 验：指检验和判断方程的解是否符合题意。6 答：指最后回答题目的问题。范例、解析、拓展例130 枚硬币由2 分和 5 分组成，共值9 角 9 分，两种硬币各有多少枚？拓展一汽车从甲地开往乙地，去时每小时行60 千米， 返回时每小时行50 千米，来回途中共用了11

127、小时。 求甲、乙两地相距多少千米？拓展二现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的12，而 9 年前弟弟的年龄只是哥哥年龄的15。哥哥现在多少岁？拓展三今年爷爷78 岁，三个孙子的年龄分别是27 岁、 23 岁、 16 岁。经过几岁后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄和？拓展四甲每分钟走50 米，乙每分钟走60 米，丙每分钟走70 米，甲、乙从A 地，丙从 B 地同时出发，丙遇到乙后 2 分钟遇到甲，求A、B 两地间的距离。例2甲、乙两人原有钱数之比为6：5，后来甲又得了180 元，乙又得了30 元，这时甲、乙钱数之比为18：11。问原来两人钱数之和为多少？拓展一一条大鲨鱼，头长3 米，身长等于头长加尾长，尾长

128、等于头长加身长的一半，这条大鲨鱼全长多少米？拓展二第一个正方形的边长比第二个正方形的边长的2 倍多 1 厘米，而它们的周长相差24 厘米，求这两个正方形的面积。拓展三甲容器中有浓度为20%的盐水 400 克，乙容器中有浓度为10%的盐水 600 克，分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲容器中取出的盐水倒入乙容器，从乙容器中取出的盐水倒入甲容器，现在甲、乙容器中盐水浓度相同，则从甲、乙容器中各取出多少克盐水倒入另一个容器？拓展四一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40 千米，在下坡路上行驶的速度是每小时50 千米，在平路上行驶的速度是每小时45 千米。某日这辆汽车从甲地开往乙地，先是用了13

129、的时间走上坡路，然后用了5.80.40.9的时间走下坡路，最后用了13的时间走平路， 已知汽车从乙地按原路返回甲地时，比从甲地开往乙地所用的时间多15 分钟，甲、乙两地相距多少千米？例3如图，三角形面积为12 平方厘米，求阴影部分的面积是多少？AOBC拓展一图中阴影部分面积为25 平方厘米，求圆环的面积。拓展二把一个正方形的一边减少20%，相邻的一边增加2 厘米，得到一个长方形。这个长方形面积与原来的正方形面积相等，求原来正方形的面积。44 ABCDEFG2拓展三一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径改为原来的2 倍后，可装水40 千克，那么，原来的水桶可装水多少千克？检测、反馈、应用

130、1 在一个停车场上，现有24 辆车。其中汽车有4 个轮子，摩托车有3 个轮子，这些车共有86 个轮子。那么，三轮摩托车有多少辆？2 有两条纸带，一条长21 厘米，一条长13 厘米。把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的813，问剪下的一段有多长？3 小木、小林、小森三人去看电影，如果小木带的钱买三张电影票，还差0.55元；小林带的钱买三张电影票，还差0.69元； 三个人带去的钱买三张电影票还多了0.3。 已知小森带了0.37元， 那么买一张电影票要多少钱？4 用一队上车运一批货物，若每辆上车装7 吨货物， 则尚余 10 吨货物装不完； 若每辆卡车装8 吨货物

131、， 则最后一辆卡车只装了3 吨货物就装完了这批货物。那么，这批货物共有多少吨？5 梨子、苹果、橘子、柿子，共有100 个。如果梨子个数加4，苹果个数减4，橘子个数乘以4，柿子个数除以4，所得的个数相等，问四种水果各有多少个？6 一架飞机所带的燃料最多可以用6 小时， 飞机去时顺风， 每小时可以飞1500 千米， 回来时逆风， 每小时可以飞 1200 千米，问这架飞机最多能飞多少千米就需要往回飞？7 学生问老师多少岁，老师说： “当我像你这么大的时候，你刚 3 岁，当你像我这么大的时候，我已经 39 岁了。 ”那么，这位老师今年有多少岁？8 有一个分数，如果分母加上6，分子不变，约分后为16；如

132、果分子加上4，原分母不变，约分后为14，问原分数是多少？9 少先队员去植树，如果每人挖5 个树坑，还有3 个树坑没人挖；如果其中2 人各挖 4 个，其余的人各挖6 个树坑，就恰好挖完所有的树坑，问少先队员一共挖了多少个树坑？10幼儿园有三个班，甲班比乙班多4 人，乙班比丙班多4 人，老师给小朋友分枣，甲班每个小朋友比乙班每个小朋友少分3 个枣，乙班每个小朋友比丙班每个小朋友少分5 个枣，结果甲班比乙班总共多分3 个枣，乙班比丙班总共多分5 个枣，三个班总共分了多少枣？11一批树苗，按下列原则分给各班栽种：每一班取走100 棵又取走剩下树苗的110；第二班取走200 棵，又取走剩下树苗的110；

133、第三班取走300 棵又取走剩下树苗的110；依次类推，第i班取走树苗100i棵又取走剩下树苗的110。直到取完为止。最后各班所得树苗都相等。这批树苗有多少棵？有几个班？每个班取走树苗多少棵？第二单元不定方程知识、规律、方法列方程求解， 有些应用题会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数的情况。这种情况下的方程称为不定45 方程。不定方程的解往往有无数个，但如果有限制条件，一般会使解的个数变成有限个。在这些不定方程中常常附有其它一些限制条件（如x 为整数，x 小于y等等） ，这些条件有时是明显的，有时是隐藏的（此时容易被忽视），但它们对不定方程的求解至关重要。本单元所学习的不定方程根据题目的要求

134、和实际情况把解局限在一定范围内，它可能有解，也可能无解，如果有解，也只能是有限个解。我们主要学习两方面的问题；1 怎样求不定方程的整数解。2 怎样列出不定方程来求解。范例、解析、拓展例1求不定方程2318xy的自然数解。拓展一求51014xy的整数解（x 0，y0） 。拓展二求方程组79116857952xyzxyz的自然数解。拓展三求不定方程23723xyz的自然数解。例2大客车有48 个座位，小客车有30 个座位。现有306 名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位，需要大、小客车各多少辆？拓展一邮局买了助动车和自行车若干辆，共付出11700 元。已知每辆助动车2500 元，每辆自行车3

135、50 元。问邮局买这两种车各多少辆？拓展二一天，张明问李军的生日，李军说：“将我生日的月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347” 。你知道李军的生日是几月几日吗？拓展三王老师家的电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后三位数组成的数相加得9063；将前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529。王老师家的电话号码是多少？检测、反馈、应用1 有根长5.8米的木料， 现在要把它分割成每根长0.9米和0.4米的两种规格， 试写出木料分割成两种规格恰好没有剩余的所有分割法（损耗不计）。2 甲地有 89 吨货物要运到乙地，大卡车的载重量是7 吨，小卡车的载重量是4 吨。大卡车运一趟耗油1

136、4 升，小卡车运一趟耗油9 升，运完这些货物最少耗油多少升？3 甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1995，满足此条件的自然数有多少组？4 一个小于 80 的自然数，它与3 的和是 5 的倍数，它与3 的差是 6 的倍数，这个自然数是几？5 如果在分数2843的分子分母上分别加上自然数a 、b所得的结果为712，那么ab的最小值是多少？6 小王用 50 元钱买 40 个水果招待五位朋友。水果有苹果、 梨和杏三种， 每种水果的价格分别为200 分、80 分、30 分。小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同。他能否实现自己的愿望？7 袋子里有 3 种球，分别标有数字2、

137、3 和 5，小明从中摸出12 个球，它们的数字之和是43。小明最多摸出几个标有数字2 的球？第三单元有关代数的其他问题知识、规律、方法在解决一些实际问题时，有些情况需要借助代数的方法来进行解答。借助代数进行分析时，可以使复杂问题变得简单，讨论时更容易找出方法、规律。例 1甲、乙两辆汽车同时从A、B 两个城市相对开出，经过8 小时相遇后，甲车继续向前开到B 城还要 4 小时，46 已知甲车每小时比乙车快35 千米。 A、B 两个城市间的公路长多少千米？拓展一如图，在三角形ABC 中， AE=2EC，D 为 BC 中点，三角形ACD 的面积为14平方厘米，三角形BCE的面积为16平方厘米，求阴影部

138、分面积。AECODB拓展二王大伯想用20 块长 2 米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2 米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽应分别是多少？拓展三采购员小李后两次购买同一家公司的A、B 两种钢管，两次购买的A 型钢管总数与B 型钢管总数相等，第一次购买的A 型钢管数与第二次购买的B 型钢管数也相等，但第二次比第一次多用50%的钱，已知小李第一次购买了320 根 A 型钢管， A 型钢管的价格是B 型钢管的2 倍。小李第一次购买B 型钢管多少根？例 2 A、B、 C、 D、 E、 F 分别代表1 至 9 中的某个数字， 不同的字母代表不同的数字。

139、如果1AB，4CB，2DA，5CE，3BE，6FB，求EF，AD，AC。拓展一有一块长24 厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个正文形，就可以做成一个无盖的纸盒。现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？拓展二农村计划挖一个面积为4322m的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m 和 4m 的堤堰 如下图 所示，要想占地面积最小，水池的长和宽分别是多少？拓展三若一个长方体的表面积为54 平方厘米，为了使长方体的体积最大，长方体的长、宽、高各应为多少厘米？检测、反馈、应用1 有 13 个自然数的平均值精确到小数点后一位数时的值是22.9，那么精确到小数点后两位数时的值为多少

140、？2 下面两个图中，AB 线段的长相等，问哪个图中的阴影部分的面积大？3 如图，平行四边形ABCD 的周长为102 厘米，以CD 为底时高为20 厘米，以 BC 为底时高为14 厘米，求平行四边形的面积。4 如果将进货单价为40 元的商品按50 元售出 ,那么每个商品的利润是10 元，但只能卖出500 个。当这种商品每个涨价1 元时，其销售量就减少10 个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？5 某游泳池出售冬季学生游泳卡，每张240 元。使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有 48 名学生，老师打算组织大家集体游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需要一辆汽车，无论乘坐多

141、少名学生，每次的包车费均为40 元。若要使每个同学游8 次，每人最少交多少钱？47 6 某校决定出版“作文集”，费用是 30 册以内为80 元，超过30 册的每册增加1.20 元。当印刷多少册以上时，每册费用在1.50 元以内？7 ABCD 表示一个四位数，EFG 表示一个三位数，A、B、C、D、E、F、G 代表 1 至 9 中不同的数字。已知ABCD+EFG =1993，问乘积 ABCDEFG 的最大值与最小值相差多少？8 如右图 正方形 ABCD 的边长为4 厘米， AE、DF 的长分别是边长的25，三角形ECH 的面积为7 平方厘米，EG 的长是多少厘米？9 若三个连续偶数的积为8843

142、52，求这三个连续偶数的和。10如图 ，在图中的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线的三个数中，当中的数是两边的平均数，现在已经填好了两个数，那么x 是多少？11某公司，在A、 B 两地分别库存有某机器16 台和 12 台，现在要运往甲、乙两家客户的所在地，其中甲方 15 台，乙方 13 台。已知从A 地运一台到甲方的运费为500 元，到乙方的运费为400 元，从 B 地运一台到甲方的运费为300 元，到乙方的运费为600 元，已知运费由公司承担，公司应设计怎样的调运方案，才能使这些机器的总运费最省？第五章简单的图形推理第一单元分数与比的相互转化知识、规律、方法在有些应用题中，有时要根据分数与

143、比的关系，把分数转化成比，或把比转化成分数来解。要根据实际情况，灵活应用分数与比的转化。分数与比的关系为：分 子分 母分子：分母，前项：后项=前 项后 项范例、解析、拓展48 例1某班男生人数是女生人数的34，求男生人数与全班人数的比。拓展一甲数的34等于乙数的30%。求甲数和乙数的比。拓展二两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的16，相当于小长方形的面积的14。求这两个长方形的面积比。拓展三小军行走的路程比小红多14，而小红行走的时间却比小军多110。求小军和小红的速度比。19拓展四甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付钱数的12等于乙付钱数的13，等于丙付钱数的37，已知丙比甲多付了12

144、0 元，这台电视机多少钱？例2甲、乙两班原有人数比为5：4，若从甲班调9 人到乙班，那么乙班与甲班人数之比为5：4，两个班原来各有多少人？拓展一仓库里原有一批粮食，调出20%，又调入40 吨，这时仓库中的粮食与原有粮食的比为28：25，仓库中现有粮食多少吨？拓展二新光村 1989 年旱田与水田的比为5：3，去年将2800 公亩的旱田改成水田后，旱田与水田的比为1：2，新光村共有田地多少公亩？拓展三某俱乐部男、女会员的人数之比是3：2，分为甲、乙、丙三组。已知甲、乙、丙三组的人数比是10：8：7，甲组中男、女会员的人数比是3： 1，乙组中男、女会员的人数比是5：3，求丙组中男、女会员人数之比。检

145、测、反馈、应用1 一本书，晓杨第一天读了总页数的13，第二天读的页数与第一天读的页数之比为6：5，还剩下64 页没有读，全书共有多少页？2 小明和小芳各走一段路，小明走的路程比小芳多15，小芳所用的时间比小明多18。小明和小芳的速度之比为多少？3 公鸡只数为34与母鸡只数的23相等，求公鸡只数与母鸡只数的比。4 甲、乙两仓库存货吨数的比为4： 3，如果由甲库取出8 吨放入乙库中，则甲、乙两仓库存货吨数比为4： 5。两仓库原存货共有多少吨？5 盒子中有两种不同颜色的棋子，黑子数的49等于白子数的56， 已知黑子数比白子数多42 颗。两种棋子各有多少颗？6 等腰三角形的顶角和一个底角的比为5：2，

146、它的底角是多少度？7 甲、乙两个车间原有人数比为4：3，甲车间调48 人到乙车间，甲、乙两车间的人数比为2：3，甲、乙两车间原来各有多少人？8 筑路队 4 天修完一条路， 第一天修了全长的32%，后三天修了长度比为6：7：4，最后一天比第一天少修了8 千米。这条公路全长多少千米？9 参加语文竞赛的人数是参加数学竞赛人数的78，语文获奖人数是数学获奖人数的23，而两个竞赛都没有获奖的都是 320 人，那么参加这两项竞赛的总人数是多少人？10甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽的比为3：2，乙的长与宽的比为7：5，求甲与乙的面积之比。11分数295，分子、分母都加上m 以后，分子与分母的比

147、为19：7，求 m 是多少？12李华读一本书，第一天读了全书的215，第二天比第一天多读了6 页，这时他已读的页数与未读的页数的比为49 3：7，李华再读多少页就能读完这本书？13自然数 A、B 满足111182AB，且 A：B=7：13。那么AB等于多少？14如图，有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2：5。现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面，横式盒由一块长方形纸板做底面。两块长方形和两块正方形纸板做侧面。那么做成的竖式和横式纸盒个数之比是多少？15如右图所示。圆B 与圆 C 的面积之和等于

148、圆A 面积的45，且圆 A 中的阴影部分占圆A 面积的16。圆 B 的阴影部分占圆B 面积的15，圆 C 的阴影部分占圆C 面积的13。求三个圆的面积之比。第二单元按比例分配知识、规律、方法把一个数量按一定的比例进行分配的问题，叫做按比例分配。解答按比例分配应用题，关键是确定分配总量和确定分配的比，要找到分配的总数量是多少，看它是按什么样的比例进行分配的，对于隐含的分配总量和分配的比要仔细分析、正确确定。一般按下面步骤来解答。1 先求出按比例分配的总数量。2 再找出分配的比，并求各个部分占总数量的几分之几。3 用总数量乘以部分量占总数量的几分之几得到各个部分量。范例、解析、拓展例 1 新华书店

149、运来4000 本新书，把其中的45按 2：3 分给甲、乙两个门市部，每个门市部分到多少本？拓展一长方体棱长和为216 厘米，它的长、宽、高之比为4：3： 2，这个长方体的表面积是多少？拓展二两个服装厂，一个月内生产的西服数量是6：5，两厂西服价格比为11： 10。已知这个月两厂的总产值为6960 万元。两厂的产值各是多少万元？拓展三五年级举行数学竞赛，一班占参加比赛总人数的13，二班与三班参加比赛的人数的比是11：13，二班比三班少 8 人，则三个班各有多少人参加比赛？拓展四买甲、乙两种铅笔共210 支，甲种铅笔每支价值3 分，乙种铅笔每支价值4 分，两种铅笔用去的钱相同，甲种铅笔买了多少支？

150、例 2一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次为1：2：3，某人走这三段路所用时间之比依次50 为 4：5：6。已知他上坡时速度是每小时走3 千米，路程全长50 千米，问这人走完全程用了多少小时？拓展一某实验小学六年级学生分三组参加植树活动。第一组和第二组的人数比为5：4，第二组和第三组的人数比是 3：2。已知第一组人数比第二、三组人数总和少15 人。问：六年级参加植树的共有多少人？拓展二有三箱水果共重60 千克，如果从第一、二箱中都取出4 千克水果放入第三箱中，则第一、二、三箱水果重量比为1：2：3，问三箱水果原来分别重多少千克？拓展三加工一个零件，甲需6 分钟，乙需5 分钟，丙

151、需4 分钟，现在要加工370 个零件，要求三人在相同时间内完成。每人应该分配到多少个零件的任务？拓展四一个分数，分子与分母之和是100，如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是23，原来的分数是多少？检测、反馈、应用1 有一块铜锌合金，其中铜与锌之比为2：3，现在加入锌6 克，共得合金36 克，求在新的合金内铜与锌的比。2 大上两瓶油共重2.7千克。小瓶用去0.3千克后，剩下的油与小瓶油重量比为3：1。大、小瓶原来各有油多少千克？3 有两个圆，它们的面积之差为209 平方厘米，已知大圆周长与小圆周长的比为10： 9，问小圆的面积是多少4 某校原有科技书、文艺书630 本，其中科技书与文艺书

152、的比为1：4，后来又买进一些科技书，这时科技书与文艺书的比为3：7，问买进科技书多少本？5 甲、乙两厂人数比为7：6，从甲厂调360 人到乙厂后，甲、乙两厂人数比为2：3，甲、乙两厂原用多少人？6 学校把 414 棵树苗按各班的人数分给六年级3 个班。一班和二班分得树苗棵数比为2：3，二班和三班分得的树苗棵数比为5：7，求每个班各分得多少棵树苗？7 大、小两个圆的面积比为9：1，周长相差12.56 厘米，大、小两个圆的面积之和是多少平方厘米？8 六年级原有240 人，男、女生人数比为8：7，后来又转来几名女生，这时女生与男生人数比为15：16，问后来又转来几名女生？9 有 A、B、C 三个分数

153、，它们的分子之比为3：2：4，分母之比为5：9：15，这三个分数之和约分后得2845，求其中最小的分数。10有三堆煤共重27 吨，如果从第一、二堆中各运出1.5 吨到第三堆，这时第一、二、三堆的重量之比为1：3：2，三堆煤原来各有多少吨？11一根长 144 分米的铁丝，截去了23，要用剩下的部分焊接成一个长方体，使长、宽、高之比为2：1：3，求这个长方体的体积。12有两袋大米共重440 千克，甲袋米吃了13，乙袋米吃了12，这时甲、乙两袋重量比为8：5，两袋米原来各重多少千克？13张家与李家本月的收入钱数之比为8：5，本月的开支钱数之比为8：3，月底张家节余240 元，李家节余270 元，本月两家各收入多少元？14六年级 240 人，喜欢语文与不喜欢语文的人数比为5：3，喜欢数学与不喜欢数学的人数比为7：5，两门都喜欢的有86 人，两门都不喜欢的有多少人？15小明和小强买同一种玩具车，汽车的价格是小明所有钱的35，是小强所有钱的23，当他们都买了玩具汽车之后，小明剩下的钱比小强剩下的钱多10 元，小明剩下的钱是多少元？16在编号为1、2、3 的三个相同的杯子里，分别盛有半杯水，1 号杯中溶有100 克糖， 3 号杯中溶有100 克盐，先将 1 号杯中液体的一半及3 号杯中液体的14倒入 2 号杯，然后搅匀，再从2 号杯中倒出所剩液体的27