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1、25.325.3-1 -1 圆的确定圆的确定临泉汇英中学临泉汇英中学 数学组数学组 闫东闫东 2012 2012 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 要确定一个圆必须要确定一个圆必须满足几个条件满足几个条件?生活中的学问生活中的学问想一想想一想1 1、过一点可以作几条直线？、过一点可以作几条直线？2 2、过几点可确定一条直线？、过几点可确定一条直线？知识回顾知识回顾过几点可以确定一个
2、圆呢？经过两点只能作一条直线经过两点只能作一条直线.AAB确定圆的条件确定圆的条件经过一点可以作无数条直线；经过一点可以作无数条直线； 经过经过一个一个已知点已知点A A能确定一能确定一个圆吗个圆吗? ?A探索一探索一经过一个已知点能经过一个已知点能 作作无数无数个圆个圆 经过经过两个两个已知点已知点A A、B B能确定能确定一个圆吗一个圆吗? ?AB 经过两个已知点经过两个已知点A A、B B能作能作无数无数个圆个圆 经过两个已知经过两个已知点点A A、B B所作的圆的所作的圆的圆心在怎样的一条圆心在怎样的一条直线上直线上? ? 它们的圆心都在线段它们的圆心都在线段ABAB的中垂线上。的中垂
3、线上。探索二探索二过已知点过已知点A,BA,B作圆作圆, ,可以作无数个圆可以作无数个圆. .经过两点经过两点A,BA,B的圆的的圆的圆心在线段圆心在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. .以线段以线段ABAB的垂直平分线上的任意的垂直平分线上的任意一点为一点为圆心圆心, ,这点到这点到A A或或B B的距离为的距离为半径半径作圆作圆. .你准备如何你准备如何( (确定圆心确定圆心, ,半径半径) )作圆？作圆？其圆心的分布有什么特点其圆心的分布有什么特点? ?与线与线段段ABAB有什么关系？有什么关系？AB BOOOO那么过三点可以画几个圆呢？OOOOA AB BCO 经过经过三个三个
4、已知点已知点A A，B B，C C能确定一能确定一个圆吗？个圆吗？ 假设经过假设经过A A、B B、C C三点的三点的OO存在存在（1 1）圆心）圆心O O到到A A、B B、C C三点距离三点距离 （填（填“相等相等”或或”不相等不相等”）。）。（2 2）连接）连接ABAB、ACAC，因为因为OA=OB,OA=OB,所以点所以点O O在边在边ABAB的的 上；上；因为因为OA=OC,OA=OC,所以点所以点O O在边在边ACAC的的 上。上。（3 3）ABAB、ACAC的中垂线的交点的中垂线的交点O O就是该圆的就是该圆的 。N NM MF FE EO OA AB BC C相等相等垂直平分线
5、垂直平分线垂直平分线垂直平分线圆心圆心探索三探索三已知：不在同一直线上的三点已知：不在同一直线上的三点A A、B B、C C求作：求作： O O使它经过点使它经过点A A、B B、C C作法：作法：1 1、连接、连接ABAB，作线段，作线段ABAB的垂直的垂直平分线平分线MNMN；2 2、连接、连接ACAC，作线段，作线段ACAC的垂直平分线的垂直平分线EFEF，交，交MNMN于点于点O O；3 3、以、以O O为圆心，为圆心，OBOB为半径作圆。所为半径作圆。所以以OO就是所求作的圆。就是所求作的圆。O ON NM MF FE EA AB BC C画一画画一画 现在你知道怎样将一个如图所示的
6、破损圆现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗？盘复原吗？方法方法: :1 1、在圆弧上任取三点、在圆弧上任取三点A A、B B、C C。2 2、作线段、作线段ABAB、BCBC的垂的垂直平分线直平分线, ,其交点其交点O O即即为圆心。为圆心。3 3、以点、以点O O为圆心，为圆心，OCOC长为半径作圆。长为半径作圆。OO即为所求。即为所求。ABCO 已知已知ABCABC，用直尺和圆规作出过点，用直尺和圆规作出过点A A、B B、C C的圆的圆A AB BC CO O练一练练一练） 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外的外接
7、圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图：如图：OO是是ABCABC的外接圆，的外接圆， ABCABC是是OO的内接三角形，点的内接三角形，点O O是是ABCABC的外心的外心 外心外心是是ABCABC三条边的三条边的垂直平垂直平分线的交点，分线的交点，它到三角形的它到三角形的三三个顶点个顶点的距离相等。的距离相等。C CA AB BO O定定 义义 一个圆的内接一个圆的内接三角形有几个？三角形有几个？一个三角形的外接圆一个三角形的外接圆有几个？有几个？锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内. .直角三角形的外心位
8、于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点斜边中点. .钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外. .A AB BC CO OA AB BC CO O 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系的外心的位置关系. C CA AB BO OABC过如下三点能不能做一个圆过如下三点能不能做一个圆? ? 为什么为什么? ?不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆讨讨 论论 某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把
9、动物某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园园A A，植物园，植物园B B和人工湖和人工湖C C包括在内，又要使这个圆形包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施工图。（的面积最小，请你给出这个公园的施工图。（A A、B B、C C不在同一直线上）不在同一直线上）植物园动物园人工湖探究活动探究活动 图中工具的图中工具的CDCD边所在直线恰好垂直平分边所在直线恰好垂直平分ABAB边，边，怎样用这个工具找出任意一个圆的圆心呢？。怎样用这个工具找出任意一个圆的圆心呢？。C CA AB BD D 圆心圆心数学乐园数学乐园 如图，已知等边三角形如图，已知等边三角形ABC中，边长为中，边长
10、为6cm，求它的外接圆半径。，求它的外接圆半径。典型例题典型例题OEDCBA作作于于作作于于则与的交点就是圆心则与的交点就是圆心因为因为是正三角形是正三角形所以所以cm， 所以所以/cos 23.1、如图，已知、如图，已知 RtABC 中中 ，若若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径。，求的外接圆半径。 CBAO O解：设解：设RtABC 的外接圆的外接圆的用心为的用心为O，连接，连接OB,OC,OA,则则OA=OB=OC所以所以O是斜边是斜边AB 的中点。的中点。C=900C=900，AC=12cm，BC=5cm解得解得AB=13cm，OA=6.5cm故故RtABC 的外接圆半径为
11、的外接圆半径为6.5cm。如图，等腰如图，等腰ABC中，中， ， ，求外接圆的半径。，求外接圆的半径。OADCB解：解：（1 1）作）作ADADBCBC于于D D，则，则ADAD垂直平分垂直平分BCBC。 作作ABAB的中垂线交的中垂线交ADAD于于O O点，连接点，连接OB,OB, 那么那么,OB,OB就是就是ABC的外接圆的半径的外接圆的半径 （2 2）ADBC，AB=AC=13,BC=10 BD=5,由勾股定理得由勾股定理得AD=12.（3）设）设OB=X,则则OD=12-X, X2-(12-X)2=52 解得解得;X= 169/24 ABC的外接圆的半径的外接圆的半径 是是169/24。再见再见
