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1、第4讲第1课时不等式选讲不等式的证明1.常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法.(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式.(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立.(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设 AB，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至
2、少”“不存在”“不可能”等词语时，都可以考虑用反证法.(5)放缩法：要证明不等式 A0，|f(x)|aaf(x)af(x)a.(2)理解绝对值的几何意义：|a|b|ab|a|b|.A2.已知 x，yR，满足 x22xy4y26，则 zx24y2 的最小值为_.4的最大值为_.考点 1 比较法证明不等式例 1：已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)(2a32ab2)(a2bb3)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)，又ab0，ab0，ab0,2ab0.(ab)(ab)(2ab)0.2a3b3(2ab2a2b)0.2
3、a3b32ab2a2b.【规律方法】比较法证不等式的步骤可归纳为：作差并化简，其化简目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；得出结论.例 2：已知正数 a，b，求证：aabbabba.思路点拨：根据同底数幂的运算法则，可考虑作商比较法.【规律方法】(1)由于所证不等式对于 a，b 具有轮换对称性，故不妨设 ab0，这样处理既不影响结果，又可避免后面的讨论，尤其是有三个或三个以上的字母，分类讨论不太可能，这种方法显得更加便利.(2)比较法的关键是第二步的变形，一般说来，变形越彻底，对下一步的判断就越有利.考点 2 综合法证明不等式例 3：(20
4、17 年新课标)已知 a0，b0，a3b32.证明：(1) (ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.当且仅当ab1时，等号成立.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)23(ab)24(ab)23(ab)34.所以(ab)38，因此 ab2.当且仅当 ab1 时，等号成立.【规律方法】综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件.综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件 A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推
5、导出所要证明的结论 B.【互动探究】1.(2017 年江苏)已知 a，b，c，d 为实数，且 a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明：由柯西不等式可得：2.(2017 年广东调研)已知函数 f(x)|2x1|.考点 3 分析法证明不等式例 4：(2017 年广东广州二模)(1)已知 abc1，(2)若对任意实数 x，不等式|xa|2x1|2 恒成立，求实数 a 的取值范围.(1)证明：因为 abc1，所以(a1)2(b1)2(c1)2a2b2c22(abc)3a2b2c25.于“f( x)min2”.(2)解：设 f(x)|xa|2x1|，则“对任意实数 x，不等式|xa|2x1|2
6、 恒成立”等价【规律方法】分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法.用分析法论证“若 A，则 B”这个命题的模式是：欲证命题 B 为真，只需证明命题 B1 为真，从而又只需证明命题 B2 为真，从而又只需证明命题 A 为真，今已知A 真，故 B 必真.简写为：BB1B2BnA.【互动探究】证明：要证的不等式，即为即证 1cos cos sin sin 2cos cos ，只需证 1cos()，结论显然成立.故原不等式成立.考点 4反证法证明不等式易错、易混、易漏放缩法证明不等式中正确把握放缩的度 【失误与防范】(1)在利用放缩法解题时，一定要注意经过放缩后的结果要尽量接近结论并且有利于运算；(2)在利用放缩法解题时，一定要注意“放缩”都应适度，放得过大或缩得过小都达不到预想的效果，如在解本题时，我们是第一、二项没变，从第三项起开始变形，恰好得到想，如果从第四项开始变形，我们会得到什么结论？是否比原结论更精确？为什么？
