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1、.-初中数学复习知识梳理初中数学复习知识梳理第一单元第一单元 实实 数数一、实数的概念及分类一、实数的概念及分类1. 1.实数的分类实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2. 2.有理数的分类有理数的分类正整数正有理数正分数或有理数零负整数负有理数负分数正整数(如:1, 2, 3)整数零(0)负整数(如:1, 2, 3)有理数11正分数(如:, 5.3, 3.8)23分数负分数(如:1, 1, 2.3, 4.8)23注：小数是分数。注：小数是分数。3. 3.无理数：无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这
2、一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7,32等；+8 等；3（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等；（4）某些三角函数值，如 sin60 等二二. .实数的倒数、相反数和绝对值实数的倒数、相反数和绝对值o1. 1.相反数相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，若a+b=0a、b 互为相反数，反之亦成立.零的相反数是零零的相反数是零2. 2.绝对值：绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离距离，叫做该数的绝对值，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反
3、数；0 的绝对值是 0。互为相反数的两个数的绝对值相等。任何数的绝对值总是非负数，即|a|0，若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0。 a(a 0) a(a 0)| a |0(a 0)| a |a(a 0) a(a 0)3. 3.倒数倒数-可修编-.-如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是倒数等于本身的数是 1 1 和和-1-1。零没有倒数。零没有倒数。4. 4.数轴数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应实数与数轴的点是一一对应的，并能
4、灵活运用。5. 5.估算估算 （教材第 34 页)三、平方根、算数平方根和立方根三、平方根、算数平方根和立方根1. 1.算术平方根：算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x =a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是 0。表示方法：记作“2a”，读作根号 a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2. 2.平方根：平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x =a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）。表示方法：正数 a 的平方根记做“2a”，读作“正、负根号 a”。性质：一个正数有两个平方根，它们
5、互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。a 0注意a的双重非负性：a 03. 3.立方根立方根: :一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x =a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根）。表示方法：记作33a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：3 a 3a，这说明三次根号的负号可以移到根号外面。四四. .实数大小的比较实数大小的比较1. 1.实数比较大小：实数比较大小：正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数比较大小，绝对值
6、大的反而小。2. 2.实数大小比较的几种常用方法实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设 a、b 是实数，越来越大a b 0 a b,a b 0 a b,-3-2-10123ab 0 a b.-可修编-.-（3）求商比较法：设 a、b 是两正实数，aaa1 a b;1 a b;1ab;bbb（4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则2a b a b。2（5）平方法：设 a、b 是两负实数，则a b a b。五五. .算术平方根有关计算（二次根式）算术平方根有关计算（二次根式）1. 1.含有二次根号“含有二次根号“2. 2.性
7、质：性质：（1）(”；被开方数”；被开方数 a a 必须是非负数。必须是非负数。a)2 a(a 0)a(a 0)（2）a2 a a(a 0)（3）（4）ab a b(a 0,b 0)（a b ab(a 0,b 0)）aa(a 0,b 0)（bbaba(a 0,b 0)）b3. 3.最简二次根式：最简二次根式：运算结果若含有“运算结果若含有“方数中不含能开得尽方的因数或因式方数中不含能开得尽方的因数或因式六六. .实数的运算实数的运算a”形式，必须满足：（”形式，必须满足：（1 1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2 2）被开）被开（1 1）六种运算：）
8、六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方有理数加法法则：有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同 0 相加，仍得这个数.互为相反数的两个数相加和为 0.有理数减法法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！有理数乘法法则：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘,任何数与 0 相乘，积仍为 0.注意：注意：多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个数为
9、零，积就为零。有理数除法法则：有理数除法法则：a. a.两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 的数都得 0。b. b.除以一个数等于乘以这个数的倒数注意：注意：0 0 不能作除数。不能作除数。有理数的乘方：有理数的乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方。n个a aaaa an指数底数幂-可修编-.-正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数。（2 2）实数的运算顺序）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3 3）运算律）运算律加法交换律：a b b a加法结合律：(a b) c a (
10、b c)乘法交换律：ab ba乘法结合律：(ab)c a(bc)乘法对加法的分配律：a(b c) ab ac8. 8.科学记数法科学记数法一般地，一个大于 10 的数可以表示成a10（1 a 10，n 是正整数）的形式，这种记数方法叫做科学记数法。（n=整数位数-1）一个绝 对值小于 1 的数可以表示成a10（1 a 10，n 是负整数）的形式, 如：0.00000721=7.21106nn（第一个非零数字前零的个数）第二单元整式及其运算第二单元整式及其运算一整式的加减一整式的加减1. 1.代数式代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或
11、一个字母也是代数式。注意：注意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；代数式中不含有“=、b,那么 a+cb+c, a-cb-c.（注：移项要变号，但不等号不变）性质 2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果 ab,并且 c0,那么 acbc,性质 3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果 ab,并且 c0,那么 acbab大大取大小小取小大小小大中间找大大小小解不了xaabaxbab无解ab(是空集)子叫做分式，其中 A 称为分式的分子，注意：注意：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式
12、。（2）应用基本性质时，要注意 C0，以及隐含的 B0。（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。4. 4.分式的乘除：分式的乘除：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘.即:ACAC,ACADADB DBDnBDB CBCAAn5. 5. 分式乘方：分式乘方：把分子、分母分别乘方.即: nBBnn(n为正整数)An AAA逆向运用 ,当 n 为整数时,仍然有 n成立.nBBBB6. 6.最简分式：最简分式：分子与分母没有公
13、因式的分式,叫做最简分式最简分式. .7. 7.分式的通分和约分：关键先是分解因式分式的通分和约分：关键先是分解因式（1）分式的约分约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分约分。（2）最简分式最简分式：分子与分母没有公因式的分式n-可修编-.-（3）分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这一过程称为分式的通分通分。（4）最简公分母最简公分母：最简单的公分母简称最简公分母最简公分母。8. 8.分式的加减：分式的加减：(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:ABA BCCC(2)异号分母
14、的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算;上述法则用式子表示是:ACADBCAD BCBDBDBDBD9. 9.分式的符号法则分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。10.10.分式方程：分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程分式方程。增根：增根：分式方程的增根必须满足两个条件：（1）增根是最简公分母为 0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。11.11.分式方程的解法：分式方程的解法：(1)能化简的先化简(2
15、)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根， 因此分式方程一定因此分式方程一定要验根。要验根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。12.12.列分式方程解应用题列分式方程解应用题: :步骤：（1）审审题（2）设设未知数（3）列列方程（4）解解方程（5）检验验（6）写出答答案，检验时检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。应用题基本
16、类型；应用题基本类型；a.行程问题：b.数字问题 c.工程问题 d. 顺水逆水问题e相遇问题f 追及问题 g 流水问题 h 浓度问题 m 利润与折扣问题五一元二次方程五一元二次方程1. 1.定义：定义：只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax bx c 0（a、b、c 为常数，a0）的形式，这样的22方程叫一元二次方程。把ax bx c 0（a、b、c 为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，ax、bx、c 分为2二次项、一次项和常数项；a、b 分为二次项系数和一次项系数。2. 2.近似解（夹逼法）：近似解（夹逼法）：教材第 34 页3. 3.解法（三种）解法（三种）（1 1）配方法：）
17、配方法： 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成 1；把常数项移到方程的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成（x+m） =n(n0)的形式；两边开方求其根。关键：方程两边加上一次项系数一半的平方关键：方程两边加上一次项系数一半的平方22bb24ac2 2（2 2）公式法：）公式法：x (b(b-4ac-4ac0 0 ）（注意：在找注意：在找 a a、b b、c c 时须先把方程化为一般形式时须先把方程化为一般形式）2a根的判别式 ： 当 b -4ac0 时，方程有两个不等的实数根；当 b -4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；-可修
18、编-22.-当 b -4ac0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0，当 x时，y 随 x 的增大而增大。2a2abb时，y 随 x 的增大而增大；当 x时，y 随 x 的增大而减小。2a2a若 a0，则当 x0，则当 x=时，y最小；若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac=0 抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）；（3 3）当b4ac0 时， 设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、 B， 则这两个点之间的距离：2b24ac2化简后即为：| AB|(b 4ac
19、 0)这就是抛物线与 x 轴的两交点之间的距离公式。|a|第五单元第五单元 基本图形基本图形一丰富的图形世界一丰富的图形世界1. 1.基本平面图形基本平面图形：平面图形由点、先、面构成.点动成线，线动成面，面动成体。（1 1）线段、射线、直线）线段、射线、直线名称直线图形表示方法端点无端点长度无法度量lABlAB直线AB(或BA)直线l射线 OM线段AB(或BA)线段l射线OM1 个无法度量线段2 个可度量长度a a 直线公理：直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（两点确定一条直线两点确定一条直线。）b. b.线段公理：线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（两点之间线段最短两点之间线段
20、最短。）c. c.两点之间的距离：两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。线段的比较：线段的比较：度量法、叠合法线段的中点：线段的中点：点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM， 点 M 叫做线段 AB 的中点。 AM = BM =1/2AB （或AB=2AM=2BM）。线段的垂直平分线（简称中垂线）：线段的垂直平分线（简称中垂线）：定义：定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。性质：性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。作法：作法：作已知线段的垂直平分线。作已
21、知线段的垂直平分线。-可修编-.-已知：线段 AB求作：AB 的垂直平分线。作法：（）分别以 A、B 为圆心，大于 AB/2的长为半径作弧两弧相交于点 C 和 D；（）作直线 CD则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。角平分线的性质：角平分线的性质：1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：在一个角的部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。3.作已知角的角平分线。已知：如图，AOB，求作：射线 OP,使AOPBOP（即 OP 平分AOB）。作法：（1）在 OA 和 OB 分别截取 OM，ON 使 OM=ON（2）
22、分别以 M、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交AOB 于；（3）作射线 OP。射线 OP 就是AOB 的角平分线。角的相关知识：角的相关知识：a. a.定义定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。b. b.角的表示角的表示角的表示方法有以下四种：用数字表示单独的角，如1，2，3 等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B，C 等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD，BAE，CAE 等。注意注意：用三个大写
23、字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。c. c.角的度量角的度量: :角的度量有如下规定： 把一个平角 180 等分， 每一份就是 1 度的角， 单位是度， 用 “” 表示， 1 度记作 “1” ，n 度记作“n”。把 1的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1”。把 1 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1”。1 1 =60=60，1 1=60=60”d. d.角的比较角的比较：度量法、叠合法e. e.角的平分线角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。f. f.角的性质角的性质g.
24、 g.平角和周角：平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。1 平角=180 1 周角=360 直角=90 直角钝角平角2. 2.生活中的立体图形生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、-可修编-000.-(按名称分)锥圆锥棱锥圆锥:底面是圆面，侧面是曲面锥体棱锥:底面是多边形，侧面都是三角形球体：由球面围成的（球面是曲面）圆柱：圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。圆锥：圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。3. 3.棱柱及其有关
25、概念：棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形长方体和正方体都是四棱柱。n 棱柱有两个底面，n 个侧面，共（n+2）个面；3n 条棱，n 条侧棱；2n 个顶点。4. 4.正方体的平面展开图：正方体的平面展开图：1111 种（种（重点重点）1-4-11-4-1 型：型：6 6 种种2-3-12-3-1 型：型：3 3 种种2-2-22-2-2 型：型：1 1 种种3-33-3
26、 型：型：1 1 种种正方体截面正方体截面：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。二二. .两条直线的位置关系两条直线的位置关系1. 1.两条直线的位置关系及相关概念两条直线的位置关系及相关概念（1 1）位置关系：）位置关系：在同一平面，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行（表示符号“”）（2 2）对顶角：对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等对顶角的性质：对顶角相等。（3 3）余角：）余角：如果两个角的和是 90 ，那么称这两个角互为余角。同角或等角的余角相等同角或等角的余
27、角相等。（4 4）补角：）补角：如果两个角的和是 180 ，那么称这两个角互为补角。同角或等角的补角相等。同角或等角的补角相等。（了解邻补角）2. 2.垂线垂线定义：定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足表示符号“”。符号语言记作：如图所示：ABCD，垂足为 O:性质性质 1 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直性质性质 2 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。垂线段最短。3. 3.点到直线的距离点到直线的距离直线外一点到这
28、条直线的垂线段的长度长度，叫做点到直线的距离点到直线的距离3. 3.两直线平行两直线平行性质、判定性质、判定00-可修编-.-（1 1）判定：）判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么两直线平行。简称：错角相等，两直线平行错角相等，两直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么两直线平行。简称：同旁角互补，两直线平行。同旁角互补，两直线平行。推论：推论：平行于同一条直线的两直线平行。（2 2）性质：）性质：（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，错角相等
29、。（3）两直线平行，同旁角互补。（3 3）平行公理：）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行三成比例线段三成比例线段1. 1. 线段的比：线段的比： 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB, CD 的长度分别是 m、 n,那么就说这两条线段的比 AB:CD=m:n ,或写成.2. 2.比例线段比例线段 四条线段 a、b、c、d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即例线段,简称比例线段比例线段. .3. 3.比例的性质比例的性质(1)(1)基本性质基本性质如果 a：b=c：d，那么 ad=bc 如果 ad=bc，那
30、么 a：b=c：d(2)(2)合比性质合比性质如果 ab=cd，那么(ab)b=(cd)d(3)(3)等比性质等比性质如果 ab=cd=mn(b+d+n0)，那么(a+c+m)(b+d+n)=ab 典型题：教材第典型题：教材第 8181 页第页第 1 1题题4. 4.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理: :两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图 2,l1/l2/l3,则ABmCDnac,那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比bdABBC.DEEF推论：推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。A _B _C _D _E _F _ l_ 1_ l
31、_ 2_ l_ 3ACBC5. 5.黄金分割：黄金分割：如图 1,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果,那么称线段ABACAB 被点 C 黄金分割 ,点 C 叫做线段AB 的黄金分割点 ,AC 与 AB 的比叫做黄金比 ._ 图2AC: AB 补充概念：补充概念：5 1 0.618:121. 1.反证法：反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法反证法2. 2.命题命题 : :判断一件事情的句子。 如果一个句子没有对某一件事情做出任何判断，那么它就不是命题。每个命题都由条件和
32、结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推论出的事项。命题通常可以写成“如果.那么.”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。正确的命题称为 真命题真命题，不正确的命题称为假命题假命题。公认的真命题称为真理。演绎推理的过程称为证明，经历证明的真命题称为定理定理。3. 3.互逆命题：互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆互逆命题命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题. .4. 4.互逆定理：互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理
33、称为另一个定理的逆定理.-可修编-.-第六单元第六单元三角形三角形一、三角形及其有关概念一、三角形及其有关概念1. 1.三角形：三角形： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的角，简称三角形的角。 三角形用符号 “”表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作“ABC”，读作“三角形 ABC”。2. 2.三角形的中位线三角形的中位线概念概念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线）定理：定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半3. 3.三角形的角的关
34、系：三角形的角的关系：（1 1）三角形角和定理：）三角形角和定理：三角形角和等于 180（2 2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和（3 3）直角三角形的两个锐角互余。4. 4.三角形的三边关系：三角形的三边关系：（1 1）条件：）条件：三角形的第三边大于两边之差小于两边之和（2 2）作用：）作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的围。证明线段不等关系。（3 3）性质：）性质：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性三角形的稳定性。四边形具有不稳定性四边形具有不稳定性。4. 4.分类：分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等
35、腰三角形等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。5. 5.三角形的三种重要线段：三角形的三种重要线段：（1 1）三角形的角平分线：）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。性质：三角形的三条角平分线交于一点（心心）。交点在三角形的部。（2 2）三角形的中线：）三角形的中线：定义：在三角形中，
36、连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形的三条中线交于一点（重心重心），交点在三角形的部。（3 3）三角形的高线：）三角形的高线：定义： 从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。性质：三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心垂心）。锐角三角形的三条高线的交点在它的部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；（4 4）线段垂直平分线：）线段垂直平分线：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心外心）二图形的全等二图形的全等1. 1.相关概
37、念：相关概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。全等用符号“”“”表示，读作“全等于”。如ABCDEF，读作“三角形ABC-可修编-.-全等于三角形 DEF”。注意：注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。全等图形：全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的形状和大小都相同。2. 2.判定：判定：（1）边边边：有三边对应相等有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等两角和它们的夹边对应相
38、等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有“HL”定理（斜边、直角边定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形3. 3.性质：性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。4. 4.证题的思路：证题的思路：注意：判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；注意：判定两个三角
39、形全等必须有一组边对应相等；全等三角形面积相等全等三角形面积相等5. 5.用尺规做三角形用尺规做三角形依据判定“SAS”“ASA”“SSS”题目一：已知三边作三角形。题目一：已知三边作三角形。题目二：已知两边及夹角作三角形。题目二：已知两边及夹角作三角形。题目三：已知两角及夹边作三角形。题目三：已知两角及夹边作三角形。6. 6.应用：利用三角形全等测距离应用：利用三角形全等测距离三、等腰三角形的性质、判定（含等边三角形）三、等腰三角形的性质、判定（含等边三角形）1. 1.性质：性质：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角等边对等角”）。推论推论
40、1 1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。 （三线合一三线合一）推论推论 2 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 2.等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理定理 1 1：有两个角相等的三角形是等腰三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。）推论推论 1 1：三个角都相等的三角形是等边三角形是等边三角形。推论推论 2 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形是等边三角形。结论：结论：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和是一定值（等
41、于一腰上的高）3 3等边三角形：等边三角形：1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。2、性质：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。3、判定：（1）三边都相等的三角形是等边三角形。（2）：三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。四直角三角形的性质、判定四直角三角形的性质、判定1. 1.性质：性质：直角三角形的两锐角互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。2. 2.判定：判定：a. a.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：
42、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；b. b.中线判定：中线判定：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.3. 3.勾股定理勾股定理-可修编-.-(1)(1)定义：定义：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即a b c(2)(2)验证：验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄 图、总统证法（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3 3）勾股数）勾股数：满足a b c的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15
43、）（7,24,25）（9,40,41）（4 4）勾股数的规律）勾股数的规律：（1）短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数, 两边之和是短直角边的平方。即当 a 为奇数且 ab 时，如果 b+c=a2， 那么 a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于 2 的任意偶数，2n(n1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n -1,n +1 如： （6,8,10） （8,15,17） （10,24,26）4. 4.直角三角形边的关系直角三角形边的关系（九数下）（九数下）（1 1）锐角三角函数）锐角三角函数a. a.正切：正切
44、：定义：在RtABC中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，即tan A A的对边;A的邻边tanA 是一个完整的符号，它表示A 的正切，记号里习惯省去角的符号“”；tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A 的对边与邻边的比；tanA 不表示“tan”乘以“A”；初中阶段，我们只学习直角三角形中，A 是锐角的正切；tanA 的值越大，梯子越陡，A 越大；A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。b. b.正弦：正弦：定义：在RtABC中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即sin A A的对边;斜边c. c.余弦：余弦：定义：在RtABC中，
45、锐角A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即cos A A的邻边;斜边锐角 A 的正弦、余弦和正切都是A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。(2(2) )特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值sincostan30 12B2222222245 60 图 1Cl图 2hi=h:l3233222213212A3说明：说明：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在 090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。(3)(3)三角函数的计算三角函数
46、的计算 a. a.基本概念：仰角基本概念：仰角: :当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角仰角俯角：俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角俯角坡度：坡度：如图 2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母 i 表示，即i h tanAl-可修编-.-方位角：方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC 的方位角分别为 45135225.方向角：方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角， 叫做方向角。 如图 4， OA、 OB、 OC、 OD 的方向角分别是；北偏
47、东 30，南偏东 45(东南方向)、南偏西为 60，北偏西 60。b. b.同角的三角函数间的关系：同角的三角函数间的关系：互余关系 sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)平方关系：商数关系：c. c.解直角三角形：解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边须知一条边）。(4)(4)直角三角形边角关系：直角三角形边角关系：在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则有a. a.三边之间的关系：三边之间的关系：a +b =c ；b. b.
48、两锐角的关系：两锐角的关系：AB=90；c. c.边与角之间的关系：边与角之间的关系：222a,cbsinB ,csin Ad. d.面积公式面积公式: :Sbcos A,cacosB ,cabbtanB atan A;11ab chc(hc为 C 边上的高);22abc21c2e. e.直角三角形的切圆半径：直角三角形的切圆半径：r f. f.直角三角形的外接圆半径：直角三角形的外接圆半径：R (5)(5)三角函数的应用三角函数的应用教材第 18 页(6)(6)利用三角函数测高利用三角函数测高 教材第 22 页五五. .相似三角形相似三角形1. 1.定义：定义：各角对应角相等、各边对应成比例
49、的两个多边形叫做相似多边形相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比相似比. . 三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形. .2. 2.判定：判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似;（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;（3）三边对应成比例的两个三角形相似.注意注意：全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于 1. 注意:证两个三角形相似,与证两个三角形全等一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.3. 3.性质：性质：相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
50、相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.4. 4.应用：应用：利用相似三角形测高：教材第 103 页-可修编-.-第七单元第七单元四边形四边形一、平行四边形的性质（含多边形）一、平行四边形的性质（含多边形）1 1、定义：、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2 2、性质、性质: :（1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形的对角相等、邻角互补 、对角线互相平分。3. 3.判定判定（1 1）定义：）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2 2）定理）定理 1 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3 3）定理）定理 2 2：一组对边平行且相等的四边形是平
51、行四边形（4 4）定理）定理 3 3：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形4. 4.两条平行线的距离两条平行线的距离: : 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。5. 5.平行四边形的面积：平行四边形的面积：S 平行四边形=底高=ah6. 6.多边形的角和与外角和多边形的角和与外角和（1 1）多边形的角和定理：）多边形的角和定理：n 边形的角和等于（n-2）180；（2 2）多边形的外角和定理：）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360。（3 3）正多边形的每个角度数：）正多边形的每个角度数：（n-2）180/n二二
52、. .特殊平行四边形特殊平行四边形（九数上）（九数上）1 1菱形菱形 a. a.定义：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。b. b.性质：性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。c. c.判定：判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。2. 2.矩形矩形 a. a.定义：定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。b. b.性质：性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，中心对称图形）c. c.判定
53、：判定：有一个角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。对角线相等的平行四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。3. 3.正方形正方形 a. a.定义：定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。b. b.性质：性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形、中心对称图形）c. c.判定：判定：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形。结论：结论：所有中点四边形都是平行四边形所有中点四边形都是平行四边形（决定因素决定因素 ： 原四边形对角线原四边形对角线） 原四边形对角线相等中点四
54、边形是菱形，原四边形对角线相等中点四边形是菱形， 原原-可修编-.-四边形对角线垂直中点四边形是矩形四边形对角线垂直中点四边形是矩形第八单元第八单元圆圆1. 1.圆的相关的概念：圆的相关的概念：（1 1）圆的定义：）圆的定义：a. a.描述性定义描述性定义: :在一个平面，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点 O 叫做圆心；线段 OA 叫做半径；以点 O 为圆心的圆，记作O，读作“圆 O”b. b.集合性定义：集合性定义：圆是平面到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心
55、和半径确定的圆叫做定圆。c. c.对圆的定义的理解：对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。（2 2）弦）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径直径：经过圆心的弦叫做直径。（3 3）弧）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD 为端点的弧记为“”，读作“圆弧 CD”或“弧 CD”。半圆半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣劣弧弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)等弧：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弓形：
56、弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。（4 4）同心圆：）同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。圆心角：圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距弦心距: :从圆心到弦的距离叫做弦心距.圆周角：圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.圆接四边形：圆接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆接四边形.（5 5）三角形的外接圆、三角形的外心）三角形的外接圆、三角形的外心a a 三角形的外接圆三角形的外接圆: :经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.b b 三角形的外心三角形的外心:
57、 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.c c 三角形的外心的性质三角形的外心的性质: :三角形外心到三顶点的距离相等.(6(6）三角形的切圆、心：）三角形的切圆、心：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的切圆,切圆的圆心叫做三角形的心.三角形心的性质三角形心的性质: :三角形的心到三边的距离相等.( (三角形的切圆作法尺规作图教材第三角形的切圆作法尺规作图教材第 9292 页页) )(7(7）圆接正多边形）圆接正多边形a. a.定义：定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.b. b.中心角、边心距：中心角、边心距：二二. .圆中位置关系及其数量特征：
58、圆中位置关系及其数量特征：1. 1.点与圆的位置关系及其数量特征点与圆的位置关系及其数量特征: :如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆上 d=r;点在圆 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。2. 2.直线与圆的位置关系的数量特征直线与圆的位置关系的数量特征: :(1)(1)直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系a. a.相交相交: :直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.B.B.相切相切: :直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切
59、点.-可修编-.-c. c.相离相离: :直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.(2)(2)数量特征数量特征: :设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；dr 直线 L 和O 相交.d=r 直线 L 和O 相切.dr 直线 L 和O 相离.三三. . 圆的对称性圆的对称性: :1. 1.圆是轴对称图形圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。2. 2.圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。圆心角定理圆心角定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论推论: : 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
60、条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.四圆中相关定理四圆中相关定理1. 1.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：推论：平分一般弦一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。2. 2.圆周角定理圆周角定理: :圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.推论推论 1: 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。推论推论 2 2:直径所对的圆
61、周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；推论推论 3 3:圆接四边形的对角互补;3. 3.切线的判定定理切线的判定定理: :经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质定理切线的性质定理: :圆的切线垂直于过切点的半径.注意：注意：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.切线长定理：切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等。（圆外切四边形对边相等，直角三角形切圆半径公式.）4. 4.定理定理: :不在同一直线上的三个点确定一个圆. ( (尺规作图教材第尺规作图教材第 8585 页页) )5. 5.弧长及扇形的面积弧长及扇形的面
62、积(1)(1) 弧长公式弧长公式: :弧长l nR(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)180nR2(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)360(2)(2)扇形定义扇形定义: :一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.(3)(3) 扇形的面积公式扇形的面积公式: :扇形的面积S扇形扇形的面积 S扇形=LR2五五. .与圆有关的辅助线与圆有关的辅助线(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）（圆心向弦作垂线）(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）（直径添线成直角）(3)若条件交代了某点
63、是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）（切点圆心要相连）第九单元第九单元图形与变换图形与变换1. 1.轴对称相关概念轴对称相关概念（1 1）轴对称图形：）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。常见的轴对称图形：常见的轴对称图形：等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形（抛物线抛物线）（2 2）轴对称：）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。-可修编-.-（3 3）性质：）性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点
64、所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。2. 2.轴对称的性质、运用（轴对称的性质、运用（两线段之和最小两线段之和最小）1.两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角.2.关于某条直线对称的两个图形是全等图形。3.如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。4.如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。3. 3.镜面对称镜面对称1.当物体正对镜面摆放
65、时，镜面会改变它的左右方向；2.当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向；3.如果是轴对称图形，当对称轴与镜面平行时，其镜子中影像与原图一样；学生通过讨论，可能会找出以下解决物体与像之间相互转化问题的办法：（1）利用镜子照(注意镜子的位置摆放)；（2）利用轴对称性质；（3）可以把数字左右颠倒，或做简单的轴对称图形；（4）可以看像的背面；（5）根据前面的结论在头脑中想象。4. 4.尺规作图尺规作图尺规作图的定义：尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图：五种基本作图：1.作一条
66、线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作已知线段的垂直平分线；4.作已知角的角平分线；5.过一点作已知直线的垂线；二中心对称二中心对称1 1概念：概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转 180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。2 2中心对称的基本性质：中心对称的基本性质：（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。（2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。3 3中心对称图形概念：中心对称图形概念：中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某个点旋转 180，如果旋转后的图
67、形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。常见的中心对称图形：常见的中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形：既是轴对称图形又是中心对称图形：线段、矩形、菱形、正方形（边数为偶数的正多边形）圆.（双曲线双曲线）4. 4.中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称与中心对称图形的区别与联系如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。 5、图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转
68、）的对比三三. .投影与视图投影与视图-可修编-.-1. 1.投影现象：投影现象： 物体在光线的照射下,会在地面或其他平面上留下它的影子 ,这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面。2. 2.中心投影：中心投影： 手电筒,路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,这样的光线所形成的投影称为中心投影 。3. 3.平行投影：平行投影：太线可以看成平行光线,平行光线所形成的投影称为平行投影。平行光线与投影面垂直 ，这种投影称为正投影。4. 4.视图：视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图a a 主视图主视图从正面得到的视图叫做主视图b. b.左视图左视图从左面得到的视图叫做
69、左视图c. c.俯视图俯视图从上面得到的视图叫做俯视图5. 5.数量关系：数量关系：在三种视图中，主视图反咉物体的长和高，俯视图反咉物体的长和宽，左视图反咉物体的高和宽。画物体的三视图时,要符合如下原则:大小大小： 长对正长对正, ,高平齐高平齐, ,宽相等宽相等. .虚实虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.眼见为实眼见为实 不见为虚不见为虚. .在同一时刻在同一时刻, ,物体高度与影子长度物体高度与影子长度四图形的平移四图形的平移1 1 平移的定义平移的定义：在平面，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。关键：a. 平移不改变图
70、形的形状和大小平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。b. 图形平移三要素平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。2 2 平移的规律平移的规律( (性质性质) )：经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。3 3 简单的平移作图：简单的平移作图：平移作图要注意：方向；距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。五图形的旋转五图形的旋转1 1 旋转的定义：旋转的定义：在平面，将一个图形饶一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形
71、运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。关键：a. 旋转不改变图形的形状和大小旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。b. 图形旋转四要素旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。2 2 旋转的规律旋转的规律( (性质性质) )：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对相等，对应角相等。注意：旋转后，原图形与旋图形全等。3 3 简单的旋转作图：简单的旋转作图：旋转作图要注意：旋转方向；旋转角度。定的旋转角度旋转移动。6、图案的分析与设计 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由
72、它作何种运动变换而形成。 图案设计的基本手段主要DCDDCC相等， 任意一组对应BA应线段B(2)CD转后的AA(1)CBBA整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转DDCAABDC方向和一CD(3)BDCA ABB(4)DCAB(5)B-可修编-.-有：轴对称、平移、旋转轴对称、平移、旋转三种方法。成比例成比例. . 六图形的位似六图形的位似1. 1.定义定义: :如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形， 这个交点叫做位似中心，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。2. 2.性质性质: :位似图形的对应点和位似中心在同一直
73、线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比。位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比；位似图形的对应角相等，对应线段平行.3. 3.位似的作用利用位似的作用利用: :位似可以将一个图形放大或缩小。位似中心的落点: 位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。典型题：教材第典型题：教材第 117117 页第例页第例 2 2第十单元第十单元统计与概率统计与概率一数据的收集、整理一数据的收集、整理（七数上）（七数上）1. 1.普查与抽样调查普查与抽样调
74、查为某一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查，叫做普查普查。其中，所要考察对象的全体叫做总体总体，组成总体的每一个考察对象称为个体个体。从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查抽样调查，其中从总体抽取的一部分个体叫做总体的一个样本样本。样本中个体的数目叫做样本容量样本容量2. 2.扇形统计图扇形统计图扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。（各个扇形所占的百分比之和为 1）圆心角度数360该项所占的百分比。（各个部分的圆心角度数之和为 360）3. 3.频数直方图频数直方图频数直方图是一种特殊的条形统计图，
75、它将统计对象的数据进行了分组画在横轴上，纵轴表示各组数据的频数。4. 4.各种统计图的特点各种统计图的特点条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。二二 数据的分析数据的分析（八数上）（八数上）1. 1.刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数2. 2.平均数平均数（1）平均数：一般地，对于 n 个数x1,x2,xn,我们把简称平均数，记为x。（2）加权平均数：3. 3.众数众数: :一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。4. 4
76、.中位数中位数; ;一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。5. 5.方差：方差：若1(x1 x2 xn)叫做这 n 个数的算术平均数，n为一组数据x1，x2，x3xn的平均数，S2为这组数据的方差，则有-可修编-.-11222S2(x1 x)2 (x2 x)2(xn x)2 x1 x2xn) nx2nn6. 6.标准差：标准差：7. 7.极差：极差：三概率三概率（七数下）（七数下）1. 1.事件分类：事件分类：在一定条件下一定发生的事件，叫做必然事件必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件，叫做不可能事件不可能事件；必然事件
77、和不可能事件统称为确定事件确定事件。 有些事情事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件不确定事件，也称为随机事件随机事件。2. 2.频率、概率频率、概率: :频率：频率：在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率频数总次数概率：概率：把刻画事件 A 发生的可能性大小的数值，称为事件 A 发生的概率。3. 3.频率与概率的关系：频率与概率的关系：在试验次数很大试验次数很大时，不确定事件发生的频率都会在一个常数常数附近摆动, ,这就是频率的稳定性频率的稳定性。一般地，把刻画事件 A 发生的可能性大小的数值，称为事件
78、 A 发生的概率概率,记为记为 P P（A A）.注意：注意：在大量重复试验中，我们常用不确定事件发生的频率来估计事件发生的概率，概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.4. 4.事件事件 A A 发生的概率：记作发生的概率：记作 P P（A A）则：）则：0 0P(A)P(A)1 1。必然事件发生的概率为 1，不可能事件发生的概率为 0，不确定事件发生的概率 P(A)为 0 与 1 之间的一个常数。5. 5.等可能事件概率：等可能事件概率：设一个实验的所有可能的结果有 n 种，每次试验有且只有其中的一种结果出现，如果每种结果出现的可能性相同，那么我们
79、就称这个实验的结果是等可能的等可能的。 一般地，如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为：概率为：P(A)=P(A)=6. 6.利用画树状图或列表法求概率（重难点）利用画树状图或列表法求概率（重难点）a. a.列表法：列表法：教材第 67 页例 2（注意分析四句话：一共有注意分析四句话：一共有 n n 种结果，每种结果出现的可能性都相同，事件种结果，每种结果出现的可能性都相同，事件 A A 出现的结出现的结果有果有 m m 种，所以事件种，所以事件 A A 发生的概率为发生的概率为 P(A)P(A)= =m注意：注意：0 0P(A)P(A)1 1nm）nb. b.画树状图：画树状图：教材第 63 页例 1（画图要规）说明：一般情况下用列表法，当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率，有时还可以用列举法。7. 7.游戏是否公平：游戏是否公平：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同，即获胜概率相同。8. 8.摸到红球的概率：摸到红球的概率：P（摸到红球）=摸到红球可能出现的结 果数摸出一球可能出现的结 果数9. 9.游戏的设计：游戏的设计：-可修编-.-可修编-
