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1、材料现代研究方法材料现代研究方法 材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义材料现代研究方法在材料科学与工程中的位置材料现代研究方法在材料科学与工程中的位置材料科学与工程中的三大基本问题：材料科学与工程中的三大基本问题：制备制备加工加工组织组织性能性能表征表征Know what ( (组成、结构组成、结构) )Know why ( (组织与结构组织与结构) ) Know how ( (制备、加工制备、加工) )材料现代研究方法材料现代研究方法材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义本课程涉及的范围本课程涉及的范围n物理的方法物理的方法 x射线衍射；射线衍射； 电子显微镜电子显微镜( (透射、扫描
2、透射、扫描) )； 电子探针；电子探针； 俄歇电子能谱；俄歇电子能谱；n化学的方法化学的方法 热分析技术热分析技术( (差热分析，差示扫描量热，热重分析差热分析，差示扫描量热，热重分析) )； 动态力学分析技术；动态力学分析技术； 红外光谱红外光谱X射线与电子束射线与电子束晶体学基础晶体学基础 材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义绚丽多姿的晶体材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义人人们们通通过过对对天天然然矿矿物物外外部部形形态态的的观观察察发发现现，绝绝大大多多数数天天然然矿矿物物常常具具有有独独特特的的规规则则几几何何多多面面体体的的外外形形，即即其其外外表表多多为为平平整整的的面
3、面所所包包围围，同同时时还还具具有有由由二二个个面面相相交交的的直直线线和和直线会聚的夹角直线会聚的夹角。 人们将这种天然生成的固体称为人们将这种天然生成的固体称为晶体晶体，称其平，称其平面为面为晶面晶面，称其直线为，称其直线为晶棱晶棱，称晶棱会聚的夹，称晶棱会聚的夹角为角为角顶角顶。 材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义晶体并非局限于天然生成的固体。金属和合晶体并非局限于天然生成的固体。金属和合金在一般条件下都是晶体，一些陶瓷材料是金在一般条件下都是晶体，一些陶瓷材料是晶体，高聚物在某些条件下也是晶体。晶体，高聚物在某些条件下也是晶体。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义石盐(NaC
4、l)的晶体结构一切晶体的内部质点(分子、原子或离子等)都是在空间有规则地排列着。晶体是由原子或分子按照一定的周期性规律在空间晶体是由原子或分子按照一定的周期性规律在空间重复排列而成的固体物质。重复排列而成的固体物质。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义FeCu3Au如何在千姿百态的晶体中发现其内在规律？如何在千姿百态的晶体中发现其内在规律？原子、分子是如何排列的？原子、分子是如何排列的？测试方法原子、分子排列的规律性？原子、分子排列的规律性？晶体学材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义晶体结构及晶体学晶体结构及晶体学 晶体结构概论晶体结构概论 固体无机物质分晶态和非晶态两种。固体无机物质
5、分晶态和非晶态两种。 如：铁、金刚石、玻璃、水晶如：铁、金刚石、玻璃、水晶晶晶态态：构成固体物质的分子或原子在三维空间有规律的周期性排列。 特点：特点：长程有序，主要是周期有序或准周期性。非非晶晶态态：构成物质的分子或原子不具有周期性排列。特点：特点：短程有序，长程无序材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义晶体结构与非晶结构比较晶体非晶体材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义晶体中所有晶体中所有基本单位基本单位的的化学组成相同、空间结化学组成相同、空间结构相同、排列取向相同、周围环境相同构相同、排列取向相同、周围环境相同。将这。将这种基本单位称为种基本单位称为基元基元(motif)(mot
6、if)。基元可以是单。基元可以是单个原子，也可以是一组相同或不同的原子。个原子，也可以是一组相同或不同的原子。 一、点阵的概念一、点阵的概念构成晶体的原子呈周期构成晶体的原子呈周期性重复排列，同时，一性重复排列，同时，一个理想晶体也可以看成个理想晶体也可以看成是由一个是由一个基本单位基本单位在空在空间按一定的规则周期性间按一定的规则周期性无限重复构成的。无限重复构成的。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义若将每个基元抽象成一个几若将每个基元抽象成一个几何点，即在基元中任意规定何点，即在基元中任意规定一点，然后在所有其他基元一点，然后在所有其他基元的相同位置也标出一点，这的相同位置也标出一点
7、，这些点的阵列就构成了该晶体些点的阵列就构成了该晶体的的点阵点阵(lattice)(lattice)。点阵是一个几何概念，是按点阵是一个几何概念，是按周期性规律在空间排布的一周期性规律在空间排布的一组无限多个的点，每个点都组无限多个的点，每个点都具有相同的周围环境，在其具有相同的周围环境，在其中连接任意两点的矢量进行中连接任意两点的矢量进行平移时，能使点阵复原。平移时，能使点阵复原。 材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义点阵与晶体结构l阵点(几何点代替结构单元)和点阵(阵点的分布总体)l注意与晶体结构(=点阵+结构单元)的区别。 材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义点阵与晶体结构Ste
8、pstoreachlattice1,determinethebasicunit2,regardtheunitasapoint3,thegeometryofthepoints=lattice a-Fe1,thebasicunit:oneFeatom2,regardtheunitasapoint3,thegeometryofthepoints=Bodycenteredcubiclattice材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义点阵与晶体结构CsCl1,thebasicunit:oneCsatom+oneCl2,regardtheunitCs+Clasapoint3,thegeometryoft
9、hepoints=simplecubiclatticeab材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义点阵与晶体结构点阵与晶体结构g-Fe,fccCu3Au,simplecubicabc材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义14种空间点阵种空间点阵(Bravais点阵点阵) 根据晶体的对称特点根据晶体的对称特点,可分为可分为7个晶系：个晶系：1)三斜晶系(triclinic或anorthic)abc；90。2)单斜晶系(monoclinic)abc；90(第二种定向,晶体学常用)。abc；90(第一种定向)。3)正交晶系(orthorhombic)abc；90(又称斜方晶系)。4)菱方晶系(rh
10、ombohedral)abc；90(又称三方晶系)。5)正方晶系(tetragonal)abc；90(又称四方晶系)。6)六方晶系(hexagonal)abc；90；120。7)立方晶系(cubic)abc；90；(又称等轴晶系)。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义1.三斜(P)；2.简单单斜(P);3.底心单斜(C);4.简单正方(P);5.底心正方(C);6.体心正方(I);7.面心正方(F);8.简单斜方(P);9.体心斜方(I)10.简单立方(P);11.体心立方(I);12.面心立方(F);13.六方(P);14.菱方(R)材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义二、晶体结构的
11、对称性二、晶体结构的对称性对称是指物体相同部分作有规律的重复。对称是指物体相同部分作有规律的重复。对称的物体是由两个或两个以上的等同部分组成对称的物体是由两个或两个以上的等同部分组成, ,通过一定的对称操作后通过一定的对称操作后, ,各等同部分调换位置各等同部分调换位置, ,整个整个物体恢复原状物体恢复原状, ,分辨不出操作前后的差别。分辨不出操作前后的差别。对称操作对称操作指不改变等同部分内部任何两点间的距离指不改变等同部分内部任何两点间的距离, ,而使物体中各等同部分调换位置后能够恢复原状的而使物体中各等同部分调换位置后能够恢复原状的操作。操作。对称操作所依据的几何元素对称操作所依据的几何
12、元素, ,亦即在对称操作中保亦即在对称操作中保持不动的点、线、面等几何元素持不动的点、线、面等几何元素, ,称为称为对称元素对称元素。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义晶体的对称元素及对称操作晶体的对称元素及对称操作 范畴对 称 元 素对 称 操 作微观宏观镜面(反映面)旋转轴对称中心反轴反映旋转倒反(反演)旋转倒反平移轴螺旋轴滑移轴 平移 旋转+平移(螺旋旋转) 反映+平移(滑移反映)材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性又称为点对称性点对称性。因为宏观对称操作中空间至少有一点不动(点对称操作)。晶体的宏观对称操作有反映反映、旋转旋转和
13、倒反倒反(又称反演反演)等三种。相应于这三种操作，有三种对称元素，它们分别为镜面镜面(对称面对称面)、旋转轴旋转轴(对称轴对称轴)和对称中心对称中心。同时，两种对称操作的联合作用，可产生复合对称复合对称操作操作和相应的复合对称元素复合对称元素。在晶体的宏观对称中，可独立存在的复合对称操作只有旋转倒反旋转倒反，相应的复合对称元素为反轴反轴。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义反映对称【镜面】镜面是一个假想的平面，通过晶体中心，能将晶体分成彼此镜象反映的二个相等部分。镜面相应的对称操作是对此平面的反映，用符号m表示。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义旋转对称【旋转轴】旋转对称轴是通过中心
14、的一条假想直线，当晶体围绕这一直线旋转一定角度后，可以使晶体相同的部分重复出现。旋转时能使晶体重复出现的最小角度，称为基转角；旋转360时，晶体上相等的部分以相同位置出现的次数称为轴次，或称n次旋转轴。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义旋转对称由于晶体的三维周期性，实际晶体上可以存在的旋转轴只有五种(1，2，3，4，6次)。五次和高于六次的旋转轴都不存在，此定律为晶体的对称定律对称定律。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义倒反倒反( (反演反演) )对称对称【对称中心】对称中心是晶体内部中心的一个假想的定点，通过此点的任意直线的等距离的两端，可以找到相应的点。相应的对称操作用 1 表
15、示。 材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义旋转倒反旋转倒反( (反演反演) )对称对称【反轴】反轴是一种复合的对称元素，其辅助的几何元素是通过晶体中心的假想直线和晶体的中心一定点。其对称操作是晶体围绕此直线进行n次旋转后，对中心定点进行倒反。记为1n，简略符号为n。虽然可能存在的反轴有五种(1，2，3，4，6)，但1相当于有对称中心，2相当于存在镜面，3相当于3+1，6相当于3+m，只有4具有新的对称性。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义综上所述，晶体的宏观对称元素只有以下八种是基本的，即1，2，3，4，6，1，m，4材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义点对称群点对称群立方六方菱
16、方正方正交单斜三斜材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义晶体的微观对称性晶体的微观对称性晶体结构中的微观对称具有下列三个特点：(1) 在晶体结构中任何一种微观对称元素不仅具有方向性，而且具有严格的位置。完全相同的对称元素在空间按照晶体的空间点阵规律互相平行排列，数目无限。(2) 微观对称操作中，除了操作具有在宏观对称操作中的旋转、反映、倒反外，还有平移操作。由平移操作与其它对称操作联合操作的结果，将产生无限图形所特有的微观对称元素：平移轴、螺旋轴和滑移面。(3) 当平移距离为零时，微观对称元素为同类型的宏观对称元素，因此，晶体外形上的宏观对称元素在晶体
17、结构的对称中必然存在。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义旋转平移对称【螺旋轴】螺旋轴是晶体结构中的一条假想的直线，晶体结构围绕此直线旋转一定角度后，再沿此直线方向平移一定距离。此直线称为螺旋轴。螺旋轴的轴次必须满足晶体的对称定律。每旋转一基转角后平移图形重合的最小距离，称为螺旋轴的移距(t)。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义反映平移【滑移面】滑移面是晶体结构中的一个假想的平面，晶体结构对此平面反映，再平行与此平面平移一定距离时，结构中每个质点均与完全相同的质点重合，整个结构自相重合。这个对称操作是反映加平移的操作，与操作的顺序无关。此平面称为滑移面。材料现代研究方法讲义材料现代研
18、究方法讲义 三、点阵的描述三、点阵的描述如如果果点点阵阵只只能能用用画画在在纸纸上上的的点点的的阵阵列列来来描描述述，那那将将是是非非常常不不便便的的，特特别别是是对对于于三三维维空空间间点点阵阵就就更更加加困困难难。空空间间点点阵阵可可以以用用平平移移矢矢量量r r 来来描描述述。选选择择任任一一阵阵点点为为原原点点，连连接接三三个个不不相相平平行行的的邻邻近近的的点点阵阵点点间间的的矢矢量量作作为为平平移移基基矢矢 ，则有：，则有：式中，式中，u, v, w 为任意整数。为任意整数。 材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义可以把空间点阵按平行六面体划分为许多大小、可以把空间点阵按平行六面
19、体划分为许多大小、形状相同的网格，称为形状相同的网格，称为点阵晶胞。点阵晶胞。划分平行六面体点阵晶胞的划分平行六面体点阵晶胞的BravaisBravais法则是法则是：应：应反映点阵的对称性，格子直角尽量多，且包括点反映点阵的对称性，格子直角尽量多，且包括点阵点数最少。阵点数最少。为了反映对称性，晶胞中的阵点数可大于。为了反映对称性，晶胞中的阵点数可大于。 含有一个阵点的晶胞称为含有一个阵点的晶胞称为初基初基或或简单晶胞简单晶胞； 含含有两个或两个以上阵点的称为有两个或两个以上阵点的称为非初基晶胞非初基晶胞。只有初基晶胞的三个棱边才能构成平移基矢。只有初基晶胞的三个棱边才能构成平移基矢。 材料
20、现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义为了表示晶胞的形状和大小，可将晶胞画在为了表示晶胞的形状和大小，可将晶胞画在空间坐标上，坐标轴空间坐标上，坐标轴( (又称晶轴又称晶轴) )分别与晶胞分别与晶胞的三个棱边重合，坐标的原点为晶胞的一个的三个棱边重合，坐标的原点为晶胞的一个顶点，晶胞的棱边长以顶点，晶胞的棱边长以 a a, ,b b, ,c c 表示，棱间夹角表示，棱间夹角 以以,表示。棱边表示。棱边 长长a a, ,b b, ,c c 和棱间夹角和棱间夹角, , ,共六个参数称为共六个参数称为 点阵常数点阵常数。 点阵常数点阵常数材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义 在在点点阵阵晶晶胞胞中
21、中, ,标标出出相相应应晶晶体体结结构构中中基基元元各各原原子子的的位位置置, ,则则可可得得到到构构成成晶晶体体的的基基本本结结构构单单位位。这这种种平行六面体的基本结构单位叫平行六面体的基本结构单位叫晶胞晶胞(unit cell)(unit cell)。 晶胞的两个要素：晶胞的两个要素： 晶晶胞胞的的大大小小和和形形状状, ,它它由由点点阵阵常常数数a a, ,b b, ,c c, , ,规定；规定； 晶晶胞胞内内部部各各个个原原子子的的坐坐标标x,y,zx,y,z。坐坐标标参参数数的的意意义义是是指指由由晶晶胞胞原原点点指指向向原原子子的的矢矢量量, , 用用单单位位矢量矢量 表达表达,
22、 ,即即材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义晶向指数与晶面指数晶向指数与晶面指数 为了更精确地研究晶体的结构为了更精确地研究晶体的结构, ,需要用一种符号来需要用一种符号来表示晶体中的平面和方向表示晶体中的平面和方向( (即晶面和晶向即晶面和晶向) )。 点阵中穿过若干结点的直线方向称为晶向点阵中穿过若干结点的直线方向称为晶向 确定晶向指数的步骤如下：确定晶向指数的步骤如下：1.1.过原点作一平行于该晶向的直线；过原点作一平行于该晶向的直线；2.2.求出该直线上任一点的坐标求出该直线上任一点的坐标( (以以a.b.ca.b.c为单位为单位) )；3.3.把这三个坐标值比化为最小整数比把这三
23、个坐标值比化为最小整数比, ,如如u:v:wu:v:w；4.4.将所得的指数括以方括号将所得的指数括以方括号uvwuvw。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义 根根据据晶晶向向指指数数的的定定义义, ,平平行行于于a a轴轴的的晶晶向向指指数数为为100,100,平平行行于于b b轴轴的的晶晶向向指指数数为为010,010,平平行行于于c c轴轴的的晶向指数为晶向指数为001001。 当某一指数为负值时当某一指数为负值时, ,则在该指数上加一横线则在该指数上加一横线, ,如如 。 相互平行的晶向具有相同的指数相互平行的晶向具有相同的指数, ,但是但是100100与与 是是一一条条线线上上的
24、的两两个个指指向向相相反反的的方方向向, ,不不能能等等同同看待。看待。 表表示示由由对对称称性性联联系系的的一一系系列列等等同同晶晶向向, ,这这些些等等同同晶晶向向组组成成等等效效晶晶向向族族。例例如如立立方方晶晶系系中中各各棱棱边都属于边都属于晶向族晶向族, ,它包括以下晶向：它包括以下晶向：材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义晶面指数及晶面间距晶面指数及晶面间距现现在在广广泛泛使使用用的的用用来来表表示示晶晶面面指指数数的的密密勒勒指指数数是是由由英国晶体学家英国晶体学家W.H.MillerW.H.Miller于于19391939年提出的。年提出的。 确定确定晶面指数晶面指数的具体
25、步骤如下：的具体步骤如下：1.1.以以各各晶晶轴轴点点阵阵常常数数为为度度量量单单位位, ,求求出晶面与三晶轴的截距出晶面与三晶轴的截距m,n,pm,n,p；2.2.取上述截距的倒数取上述截距的倒数1/m,1/n,1/p1/m,1/n,1/p；3.3.将将以以上上三三数数值值简简为为比比值值相相同同的的三三个最小简单整数个最小简单整数, ,即即其中其中e e为为m,n,pm,n,p三数的最小公倍数三数的最小公倍数,h,k,l,h,k,l为简单整数；为简单整数；4.4.将所得指数括以圆括号将所得指数括以圆括号, (hkl), (hkl)即为即为密勒指数密勒指数。(553)xyz材料现代研究方法讲
26、义材料现代研究方法讲义如果晶面通过原点如果晶面通过原点, ,可将坐标适当平移可将坐标适当平移, ,再求截距。再求截距。晶晶面面在在晶晶轴轴上上的的相相对对截截距距系系数数越越大大, ,则则在在晶晶面面指指数数中中与与该该晶晶轴轴相相应应的的指指数数越越小小，如如果果晶晶面面平平行行于于晶晶轴轴, ,则则晶面指数为。晶面指数为。晶晶面面与与某某一一晶晶轴轴的的负负端端相相交交时时, ,即即在在某某晶晶轴轴的的晶晶面面指指数数上上方方加加一一横横线线。列列如如(hkl)(hkl)表表示示该该晶晶面面与与x x轴轴的的截截距为负值。距为负值。凡凡是是相相互互平平行行的的晶晶面面, ,其其指指数数相相
27、同同, ,例例如如(hkl)(hkl)与与(hkl)(hkl)代表相同的晶面。代表相同的晶面。 通通常常用用hklhkl表表示示对对称称性性联联系系的的一一组组晶晶面面, ,它它们们称称为等效晶面族。例如为等效晶面族。例如, ,材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义晶晶面面(hkl)(hkl)中中相相邻邻的的两两个个平平面面的的间间距距( (晶晶面面间间距距) )用用d d表表示示, ,这这个个d d值值是是表表示示由由(hkl)(hkl)规规定定的的平平面面族族中中相相邻邻两两个个平平面面之之间间的的垂垂直直距距离离。当当点点阵阵常常数数a a、b b、c c、已知时已知时, , 即可用下
28、列公式算出：即可用下列公式算出： 材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义单斜晶系：dsin(h2/a2k2sin2/b2l2/c22hlcos/ac)-1/2正交晶系：dh2/a2k2/b2l2/c2-1/2四方晶系：d(h2k2)/a2l2/c2-1/2六方晶系：d4(h2hkk2)/3a2l2/c2-1/2立方晶系：材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义六方晶系晶面指数(密勒布喇菲指数)：采用四轴系统 ，晶向指数：UVTW, U=2u-v V=2v-u T=-(u+v)=-(U+V) W=3w材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义四、晶带四、晶
29、带在在晶晶体体中中如如果果许许多多晶晶面面同同时时平平行行于于一一个个轴轴向向, ,前者总称为一个前者总称为一个晶带晶带, ,后者为后者为晶带轴晶带轴。如如立立方方晶晶体体中中(100),(210),(110)(100),(210),(110)和和(120)(120)等等晶晶面面同同时时和和001001晶晶向向平平行行，因因此此这这些些晶晶面面族族构成了一个以构成了一个以001001为晶带轴的晶带。为晶带轴的晶带。晶晶带带中中的的每每一一个个晶晶面面称称为为晶晶带带面面。用用晶晶带带轴轴的的晶晶向向指指数数代代表表该该晶晶带带在在空空间间的的位位置置，称称为为晶带符号。晶带符号。材料现代研究方
30、法讲义材料现代研究方法讲义晶带定律晶带定律 晶晶体体是是一一个个封封闭闭的的几几何何多多面面体体，每每一一个个晶晶面面与与其其它它晶晶面面相相交交，必必有有两两个个以以上上互互不不平平行行的的晶晶棱棱。也也就就是是说说，每每一一个个晶晶面面至至少少属属于于两两个个晶晶带带，而而每每一一个个晶晶带带至至少少包包括括两两个个互互不不平平行行的的晶晶面面。任任何何两两个个晶晶带带轴轴相相交交所所形形成成的的平平面面, ,必必定定是是晶晶体体上上的的一一个个可可能能晶晶面面, ,这一定律称为结晶学的这一定律称为结晶学的晶带定律晶带定律。 某晶面属于某晶带的条件：某晶面属于某晶带的条件：huhukvkv
31、lwlw0 0；晶晶带带轴轴方方向向指指数数可可由由该该晶晶带带中中两两组组已已知知不不平平行行的的晶晶面面指指数数定出定出；同属于两个晶带的晶面指数同属于两个晶带的晶面指数, ,可由这两个晶带轴指数定出。可由这两个晶带轴指数定出。 材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义五、倒易点阵五、倒易点阵 倒易点阵是晶体学中极为重要的概念，也是衍射理论的基础。 晶体点阵：实空间 由晶体的周期性直接抽象出的点阵(正点阵)； 倒易点阵：倒易空间 根据空间点阵虚构的一种点阵。材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义倒易点阵概念的引入倒易点阵概念的引入在晶体学中通常关心的是晶体取向,即晶面的法线方向,希望能利
32、用点阵的三个基矢 来表示出某晶面的法向矢量 。 0a/hc/lb/k材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义以以 为新的三个基为新的三个基矢，引入另一个点阵，显然该矢，引入另一个点阵，显然该点阵中的点阵矢量点阵中的点阵矢量 的方向就是晶面的方向就是晶面(hkl)的法线方的法线方向，该矢量指向的点阵点指数向，该矢量指向的点阵点指数即为即为hkl。倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面 二维问题一维化处理二维问题一维化处理 材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义正点阵和倒易点阵中基本平移矢量之间的关系正点阵基本平移矢量：倒易点阵基本平移矢量：晶胞体积晶胞体积材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系n点阵矢量点阵矢量n倒易点阵基本平移矢量：倒易点阵基本平移矢量：晶面与倒易结点的关系 空间点阵 倒易点阵空间点阵中的空间点阵中的(hkl)面在倒易点阵中用一个结点表示面在倒易点阵中用一个结点表示材料现代研究方法讲义材料现代研究方法讲义n坐标原点到hkl倒易点的距离等于正点阵的(hkl)面的面间距的倒数，n简单立方的倒易点阵：n体心立方的倒易点阵：n面心立方的倒易点阵： （考虑结构因数之后的倒易点阵） 实空间：平面倒易空间：线实空间：平面倒易空间：线
