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1、眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 设设区区域域 D 关关于于x 轴轴对对称称, 且且x 轴轴的的上上方方部部分分为为D1, 如如果果函函数数f (x,y)关于关于y为偶函数为偶函数, 则则如果如果f (x,y)关于关于y为奇函数为奇函数, 则则几何意几何意义应用义应用xyzozyxo类似一元函数的对称性类似一元函数的对称性眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观若积分区域关于若积分区域关于x（y）轴对称，被积函数为）轴对称，被积函数为y（x） 的奇
2、函数，则积分值为零。被积函数为的奇函数，则积分值为零。被积函数为y（x）的偶函数）的偶函数积分值为积分值为x轴上方（轴上方（y轴右方轴右方）积分值的两倍。）积分值的两倍。在利用被积函数的奇偶性化简二重积分时，既要要求在利用被积函数的奇偶性化简二重积分时，既要要求被积函数关于被积函数关于y（或（或x）具有奇偶性，又要要求积分区）具有奇偶性，又要要求积分区域关于域关于x（或（或y）轴具有对称性，二者缺一不可。）轴具有对称性，二者缺一不可。第二节第二节第二节第二节 二重积分的计算法（二重积分的计算法（二重积分的计算法（二重积分的计算法（1 1）二、小结二、小结二、小结二、小结 思考题思考题思考题思考
3、题 一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观二重积分的计算方法二重积分的计算方法 类似于一元函数的定积分的计算。按类似于一元函数的定积分的计算。按照二重积分的定义来计算二重积分，对照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和区域说是可行的，但对于一般的函数和区域来说，这不是一种切实可行的方法。下来说，这不是一种切实可行的
4、方法。下面介绍一种计算二重积分的方法，就是面介绍一种计算二重积分的方法，就是把二重积分化为两次单积分（即两次定把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。积分）来计算。眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观定积分的应用定积分的应用复习复习1、求曲边梯形的面积、求曲边梯形的面积眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积如果已知立体上垂直于一定轴的各个截面面积，如果已知立体上垂直于一定轴的各
5、个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值3 3、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观表示以曲面表示以曲面z = f (x,y)为顶为顶, D
6、为底的曲顶柱体的体积为底的曲顶柱体的体积.(1) 设设 z = f (x,y) 0, (x,y) D(2) 设设 z = f (x,y) 0, (x,y) D表示曲顶柱体体积的负值表示曲顶柱体体积的负值.表示这些部分区域上的柱体体积表示这些部分区域上的柱体体积的的代数和代数和.(3) 若若 z = f (x,y) 在在D上若干部分区域是正的上若干部分区域是正的,在在其它部分区域是负的其它部分区域是负的.眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观利用几何方法讨论二重积分利用几何方法讨论二重积分的计算问题的计算问题假定假定眼睛是心
7、灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观y0xz yabcdDz=f (x,y) 一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分1 1、D D为矩型区域为矩型区域D是矩形区域是矩形区域 a,b ; c,d 平行截面平行截面面积为已面积为已知的立体知的立体的体积的体积眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观y0xz yabcdDz=f (x,y) .一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分1 1、D D为矩型区域为矩型区域D是矩形区
8、域是矩形区域 a,b ; c,d A( y ) =眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观0xz yyabcdD.z=f (x,y)一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分1 1、D D为矩型区域为矩型区域D是矩形区域是矩形区域 a,b ; c,d A( y ) =V眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观请你请你动手动手由于积分区域关于由于积分区域关于x轴轴y轴都对称，被积函数为轴都对称，被积函数为x和和y的偶函数，所以的偶函数，所以
9、眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观2 2、D D为曲线型区域为曲线型区域如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型(1) Y型区域型区域 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观0xz ycdDz=f (x,y)x= 2(y)x= 1(y)y D: 1(y) x 2(y) c y d眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉
10、器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观0xz ycdDz=f (x,y).y .A( y ) =D: 1(y) x 2(y) c y dx= 2(y)x= 1(y)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观x= 1(y)0xz yycdD.z=f (x,y)D: (y) x (y) c y dV =x= 2(y)A( y ) =眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观(2) x型区域型区域如果积分区域为：如果积分区域为：X型
11、型 X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观xz yabDz=f (x,y)xD: 1(x) y 2(x) a x b眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的
12、特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.如图所示，如图所示，分割后的三个区域分别为分割后的三个区域分别为X-型区型区域（或域（或Y-型）利用积分公式型）利用积分公式则必须分割则必须分割.若若区区域域既既不不是是X-型型，又又不不是是Y-型型。若区域既不是若区域既不是X-型，又不是型，又不是Y-型。型。若区域既是若区域既是X-型，又是型，又是Y-型。型。眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观总结：总结：1画出积分区域画出积分区域D的草图的草图2根据积分
13、区域类型，选择积分次序，确定根据积分区域类型，选择积分次序，确定 积分上下限。积分上下限。将二重积分转化为二次积分计算，关键是确定积分限将二重积分转化为二次积分计算，关键是确定积分限 后积先定限，限内画直线，后积先定限，限内画直线，先交为下限，后交为上限先交为下限，后交为上限眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观X型型DX型型眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观DY型型Y型型眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。
14、在每学期的视力测查中情况都不容乐观解法一解法一1画草图画草图2确定确定D的类型（确定积分次序）的类型（确定积分次序）注意注意：对谁求积分，谁看作变量，其余看作常量计算。：对谁求积分，谁看作变量，其余看作常量计算。眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解法二解法二1画草图画草图2确定确定D的类型（确定积分次序）的类型（确定积分次序）眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的
15、视力测查中情况都不容乐观眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观例例2 2解法一解法一解法二解法二计算计算其中其中 是由直线是由直线 ，及及所围成的闭区域。所围成的闭区域。眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观例例3 3解解计算计算其中其中 是由直线是由直线所围成的闭区域。所围成的闭区域。，及及（计算比较麻烦）（计算比较麻烦）眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解解1画草图画草图2
16、确定确定D的类型（确定积分次序）的类型（确定积分次序）DX型型眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观DY型型眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观例例5 5计算计算其中其中 是抛物线是抛物线及直线及直线所围成的区域。所围成的区域。，解：解：（计算比较麻烦）（计算比较麻烦）眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解解积分区域如图积分区域如图积分区域积分区域将二重积分化为二次积分计算时，
17、要注意选择积分次序将二重积分化为二次积分计算时，要注意选择积分次序即要考虑积分区域（一般分块越少越好）即要考虑积分区域（一般分块越少越好）又要考虑被积函数（一般先积分的容易求，又要考虑被积函数（一般先积分的容易求，并为后积分的作准备）并为后积分的作准备）眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解解积分区域如图积分区域如图积分区域积分区域眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解解原式原式=D1D2D3眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对
18、眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解解积分区域为立体在积分区域为立体在xoy面上的投影如图所示面上的投影如图所示.眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解解眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小
19、结Y型型X型型眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观思考题解答思考题解答总结：当被积函数可以分离，积分区域为矩形域时，总结：当被积函数可以分离，积分区域为矩形域时，一个二重积分可以写成两个单积分的乘积。一个二重积分可以写成两个单积分的乘积。思考题思考题设设且且要求：从中找出规律要求：从中找出规律眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观练练 习习 题题眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观练习题答案练习题答案眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观
