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1、第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性因为有 ，即一、线性相关性的概念一、线性相关性的概念因为只有当所以向量组所以向量组 E E 线性无关线性无关. .从而，我们可以得出结论：从而，我们可以得出结论： 向量组向量组 A A: : a a1 1 , a , a2 2 , , a, am m 线性相线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解有非零解.注意注意定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关定理定理 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向
2、中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示二、线性相关性的判定二、线性相关性的判定因为有线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论定理定理2 2例 向量组因为矩阵因为矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 ) 的行列式的行列式 |A| 0, 所以所以 R (A ) = 3 . 由定理由定理 2知，向量组知，向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的是线性无关的.例增例增1 讨论向量组讨论向量组解解 先求矩阵（先求矩阵（a1 , a2 , a3 ) 的秩的秩.由由 的线性相关性的线性相关性.知知 R (a1 , a2 , a3) = 2 3,
3、 所以向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关线性相关.解解例例5分析分析证证定理定理3 3证明：已知证明：已知因为因为所以，所以，证毕。解解 因为因为 知知 R R( ( a a1 1 , a , a2 2 , a , a3 3 ) = 2,) = 2, 所以向量组所以向量组 a a1 1 , a , a2 2 , a , a3 3 线性相关线性相关. . 根据定理根据定理 3(1)3(1)可知，向量组可知，向量组 a1 , a2 , a3a1 , a2 , a3 , , a a4 4 也线性相关也线性相关. .例例 13 13 已知向量组已知向量组线性无关，线性无关，讨论讨论
4、的线性相关性。的线性相关性。由定理由定理 3(3)可知向量组可知向量组线性相关线性相关 根据定理根据定理 3(4)3(4)可得可得, 能由向量组能由向量组线性表示，且表示方法唯一线性表示，且表示方法唯一 说明说明. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难
5、点难点）四、小结四、小结思考题思考题证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性必要性必要性思考题解答思考题解答书后习题四书后习题四若有不全为若有不全为0 0的数的数使使成立成立, ,则则线性相关线性相关, , 亦线性相关亦线性相关. .8(2)、举例说明下列命题是错误的举例说明下列命题是错误的：解：已知有不全为零的数解：已知有不全为零的数使使上式可化为上式可化为选取选取为单位向量，所以为单位向量，所以均线性无关均线性无关这样，尽管前式成立。而由于其中和因此，上述命题是错误的。8(4)、举例说明下列命题是错误的举例说明下列命题是错误的：若若 和和均线性相关均线性相关, , 则有不全为则有不全为0 0的数的数, , 使使同时成立同时成立. .解：任意设则与题设矛盾。所以上述命题是错误的。与题设矛盾。所以上述命题是错误的。 习题四习题四 9 9、设、设证明向量组证明向量组线性相关线性相关. . ;证：由已知条件得1010设设且向量组且向量组线性无关线性无关, ,证明向量组证明向量组线性无关线性无关. .证明证明 设设则则因向量组因向量组线性无关线性无关, ,故故因为因为故方程组只有零解故方程组只有零解,.
