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1、内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3.3 解对初值的连续和可微性定理解对初值的连续和可微性定理主要内容主要内容 一、引言（一、引言（为什么要研究这个问题为什么要研究这个问题？）？） 二、解关于初值的对称性二、解关于初值的对称性 三、引理（不等式）三、引理（不等式） 四、解对初值的连续依赖定理四、解对初值的连续依赖定理 五、解对初值和参数的连续依赖定理五、解对初值和参数的连续依赖定理 六、解对初值的可微性定理六、解对初值的可微性定理内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作一个很重要的问题一个很重要的问题
2、： 当初值发生变化时，对应的解是怎样变化的？当初值发生变化时，对应的解是怎样变化的？ 大家知道，很多自然现象的研究，都可以归结为求某些微分大家知道，很多自然现象的研究，都可以归结为求某些微分方程满足其初值的解，但是这些初值是要通过实验来测定的，因方程满足其初值的解，但是这些初值是要通过实验来测定的，因此所得到的数据总会有些误差，如果所测定的初始值的微小误差此所得到的数据总会有些误差，如果所测定的初始值的微小误差引起相应解产生巨大的变化，那么在有些问题上所求的初值问题引起相应解产生巨大的变化，那么在有些问题上所求的初值问题的解在实用上就不会有多大的价值。所以，实际应用上经常要求，的解在实用上就不
3、会有多大的价值。所以，实际应用上经常要求，在所研究的现象的某个有限过程中，当初值变化不大时，相应的在所研究的现象的某个有限过程中，当初值变化不大时，相应的解变化不大。解变化不大。下面给出解对初值连续的数学定义：下面给出解对初值连续的数学定义：一、引言一、引言内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作解对初值连续的定义解对初值连续的定义定义定义 设初值问题设初值问题的解的解 在区间在区间 上存在，如果对任意上存在，如果对任意 存在存在 ，使得对于满足，使得对于满足 ， 的一切的一切 ，相应初值问题（，相应初值问题（3.1）的解）的解 都都在在 上存在，且
4、有上存在，且有则称初值问题（则称初值问题（3.1）的解）的解 在点在点 连续连续依赖于初值依赖于初值 。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作初值问题的解不仅依赖于自变量初值问题的解不仅依赖于自变量x，而且还依赖于初始，而且还依赖于初始值值 ，因此，考虑初始值变化时，解可看成为自变，因此，考虑初始值变化时，解可看成为自变量与初始值的三元函数量与初始值的三元函数 。为此，有必。为此，有必要研究这个三元函数的分析性质。要研究这个三元函数的分析性质。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作二、解关于初值的对称性
5、二、解关于初值的对称性设方程设方程(3.1)的满足初始条件的满足初始条件 的解是唯一的，的解是唯一的，记为记为 ，则在此表达式中，则在此表达式中， 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式：式： 。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作1、引理、引理证明：证明：用构造函数方法并用用构造函数方法并用LipschitzLipschitz条件得一微分方条件得一微分方 程，然后求解得证明。程，然后求解得证明。 其中其中 为所考虑区间内的某一值。为所考虑区间内的某一值。如果函数如果函数f(x,y)于某
6、一区域于某一区域D内连续，且关于内连续，且关于y满足满足Lipshitz条件（条件（ Lipshitz常数为常数为L），则方程（），则方程（3.1）的任意两个解）的任意两个解 及及 ，在它们的公共存在区域内成立着不等式：，在它们的公共存在区域内成立着不等式：三、解对初值的连续依赖性三、解对初值的连续依赖性分析：分析：构造函数构造函数内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作2、解对初值的连续依赖定理、解对初值的连续依赖定理假设假设f(x,y)于区域于区域G内连续且关于内连续且关于y满足局部满足局部Lipshitz条件，条件， 是方程（是方程（3.1）的
7、满足初始）的满足初始条件条件 的解，它于区间的解，它于区间 上有定义上有定义( )，那么，对任意给定的，那么，对任意给定的 ，必能找到正数，必能找到正数 ，使得当，使得当 时，方程时，方程(3.1)的满足条件的满足条件 的解的解 在区间在区间 上也有定义，并且上也有定义，并且说明关于说明关于 是连续的。是连续的。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作分析分析手段：手段：有限覆盖定理。有限覆盖定理。目的：目的： 在在 上有定义，上有定义， 且连续。且连续。步骤：步骤：构造有解闭域构造有解闭域D；验证对任意给的验证对任意给的 存在一个存在一个 使其过点
8、使其过点 的的 邻邻域内的一点域内的一点 的解与点的解与点 的距离都小于的距离都小于 。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、解对初值的连续性定理、解对初值的连续性定理假设函数假设函数f(x,y)于区域于区域G内连续且关于内连续且关于y满足局部满足局部Lipshitz条件，则方程（条件，则方程（3.1）的解）的解 作为作为 的函数在它的存在范围内是连续的。的函数在它的存在范围内是连续的。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4、解对初值和参数的连续依赖定理、解对初值和参数的连续依赖定理（1） 含有参
9、数的微分方程含有参数的微分方程（2） 条件条件函数函数 在在 内连续且在内一致地关于内连续且在内一致地关于y满足局部满足局部Lipschitz条件条件 .内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作（3） 解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理在解对初值的连续依赖定理中考虑参数即有。在解对初值的连续依赖定理中考虑参数即有。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作假设假设 于区域于区域 内连续内连续,且在且在 关于关于y一致地满足局部的一致地满足局部的Lipshitz条件，条件， 是方程是方程
10、通过点通过点 的解，在区间的解，在区间 上有定义，其中上有定义，其中 那么，对任意给定的那么，对任意给定的 ，必能找到正数，必能找到正数 ，使得当，使得当 时，方程时，方程 通过点通过点 的解的解 在区间在区间 上也有定义，并且上也有定义，并且解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作（4） 解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理在解对初值的连续性定理中考虑参数即有。在解对初值的连续性定理中考虑参数即有。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作
11、制作假设假设 于区域于区域 内连续内连续,且在且在 关于关于y一致地满一致地满足局部的足局部的Lipshitz条件，条件， 则方程则方程 的解的解 作为作为 的函数在它存在范围内是连续的。的函数在它存在范围内是连续的。解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作四、解对初值的可微性定理四、解对初值的可微性定理1、解对初值的可微性含义、解对初值的可微性含义 把对初值问题的解看成初值把对初值问题的解看成初值 的函数，然后的函数，然后讨论解关于这些变量的偏导数的存在性和连续性。讨论解关于这些变量的偏导数的存在
12、性和连续性。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作2、解对初值的可微性定理、解对初值的可微性定理若函数若函数 以及以及 都在区域都在区域G内连续，则方内连续，则方程（程（3.1）的解）的解 作为作为 的函数在它的存在范围内是连续可微的函数在它的存在范围内是连续可微的。的。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作解对初值的连续性：解对初值的连续性：在本定理的条件下，就推出满在本定理的条件下，就推出满足前面有关定理的条件，则可得结论。足前面有关定理的条件，则可得结论。解对初值的可微性：解对初值的可微性：即偏导
13、数的存在性和连续性即偏导数的存在性和连续性,用定义来证明，并求出了偏导数的具体表达形式。用定义来证明，并求出了偏导数的具体表达形式。3、证明分两步、证明分两步下面仅就解对下面仅就解对 的可微性进行证明。的可微性进行证明。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作下面仅就解对下面仅就解对 的可微性进行讨论的可微性进行讨论有有由假定，记由假定，记 和和 ,即有即有其中其中 ，注意到，注意到 的连续性，于是有的连续性，于是有内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作其中其中 具有性质：当具有性质：当 时时 ，且当，且
14、当 时时 。类似有。类似有其中其中 与与 具有相同性质，因此对具有相同性质，因此对 有有即即是是初值问题初值问题的解。的解。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作即即是初值问题是初值问题的解。的解。根据解对初值和参数的连续性定理，从而存在根据解对初值和参数的连续性定理，从而存在 。而而 是初值问题是初值问题 的解，并易求得解为的解，并易求得解为是是 的连续函数。其余的类似证明。的连续函数。其余的类似证明。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作作业：作业：P102-103 1(思考题思考题)，2, 4小小 结结 主要讨论了一阶微分方程初值问题解对初值和参数的连主要讨论了一阶微分方程初值问题解对初值和参数的连续、可微性定理，从而保证了解的实用性，解决了初值误差续、可微性定理，从而保证了解的实用性，解决了初值误差可能带来的解误差，但不影响对实际问题的解决。可能带来的解误差，但不影响对实际问题的解决。
