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1、3.2.1立体几何中的向量方法方向向量与法向量lAP直线的方向向量直线的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量一、方向向量与法向量 1直直线的方向向量的方向向量 直直线的方向向量是指和的方向向量是指和这条直条直线 的向量的向量平行或共平行或共线例例1:已知长方体已知长方体ABCDABCD的棱长的棱长AB=2,AD=4,AA=3.建系如图建系如图,求下列直线的一个方求下列直线的一个方向向量向向量:(1)AA; (2)BC; (3)AC; (4)DB.ABCDABCD解解:A(4,0,3), B(4,2,3), C(0,2,3),xy
2、z243D(0,0,3),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0).例例2:已知所有棱长为已知所有棱长为 的正三棱锥的正三棱锥A-BCD,试建立试建立空间直角坐标系空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量确定各棱所在直线的方向向量.ABCDEFxyz(O)解解:建系如图建系如图,则则B(0,0,0)、BEFxyz(O)2、平面的法向量、平面的法向量AlP平面平面 的向量式方程 换句话说换句话说, ,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量 2平面的法向量平面的法向量 直直线l，取直，取直线l的的 a，则a叫做平面叫做平面的的法向量
3、法向量. 方向向量方向向量oxyzABCO1A1B1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)如何刻画平面的方向？如何刻画平面的方向？二、平面的法向量：二、平面的法向量：例例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：长方体中，求下列平面的一个法向量：（1）平面）平面ABCD; (2)平面平面ACCA; (3)平面平面ACD.xyzABCDABCD234xyzABCDABCD234xyzABCDABCD234求平面向量的法向量 因为方向向量与
4、法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系. 用向量方法解决立体问题二、立体几何中的向量方法二、立体几何中的向量方法证明平行与垂直证明平行与垂直ml（一）（一）. 平行关系：平行关系：（二）、垂直关系：（二）、垂直关系：lmlABC四、平行关系：四、平行关系：五、垂直关系：五、垂直关系： 例例1 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, P
5、D 底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG 证证 ：如图所示：如图所示, , 建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系. ./几何法呢？几何法呢？ 例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD 底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，中点， (1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG法法1 几何法几何法ABCDP PE EX
6、YZG法法2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EGABCDP PE EXYZ法法3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：设平面设平面EDB的法向量为的法向量为XYZABCDP PE E法法4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：解得解得 x,A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，
7、求证：中点，求证：D1F 例例2 2 正方体正方体中，中，E、F分分别平面平面ADE. 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以所以A1xD1B1ADBCC1yzEF,E,E是是AA1 1中点，中点， 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD. 证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是平面平面C1 1BD. 平面平面EBDxyz期中22如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC 的值xyzE课后作业课后作业EABCDF
