线段和差的最值问题

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1、中考专题复习求线段和差的最值2021/6/3012.几何最值问题的基本原理。两点之间线段最短垂线段最短三角形两边之差小于第三边利用函数关系求最值1.常见的几何最值问题有：线段最值问题，线段和差最值问题，周长最值问题、面积最值问题等；2021/6/302一、两条线段一、两条线段和和的的最小最小值值已知：直线m外两点A,B，在直线m上求一点P，使PA+PB最小；（2）点A、B在直线同侧： （1）点A、B在直线m两侧：2021/6/3032021/6/304例例1 1：在：在ABCABC中，中，AC=BC=2AC=BC=2，ACB=90ACB=90O O，D D是是BCBC边的中点，边的中点，E E

2、是是ABAB上的一动点，则上的一动点，则EC+EDEC+ED的最小值为的最小值为 。ACBDp.E E2021/6/3052、抛物线在坐标系中的位置如图：对、抛物线在坐标系中的位置如图：对在其称轴上找一点在其称轴上找一点P，使得，使得PBC的周的周长最小，请求出点长最小，请求出点P的坐标的坐标.2021/6/306要求要求要求要求PBCPBC的周长最小？的周长最小？的周长最小？的周长最小？第一步第一步寻找、构造几何模型寻找、构造几何模型只要只要只要只要PBPB+PCPC最小就好了！最小就好了！最小就好了！最小就好了！经典模型：经典模型：牛喝水！牛喝水！2021/6/307把把把把PBPB+PC

3、PC转化为转化为转化为转化为PAPA+PCPC！当当当当PP运动到运动到运动到运动到HH时，时，时，时，PAPA+PCPC最小最小最小最小第二步第二步计算计算勾股定理勾股定理2021/6/308练习：已知二次函数图像的顶点坐练习：已知二次函数图像的顶点坐标为标为C(3C(3，-2)-2)，且在，且在x x轴上截得的线轴上截得的线段段ABAB的长为的长为4 4，在，在y y轴上有一点轴上有一点P P，使，使APCAPC的周长最小，求的周长最小，求P P点坐标。点坐标。ACBA/OP2021/6/3093.3.如图，如图，AOB=45AOB=45，角内有一动点，角内有一动点P P ，PO=10PO

4、=10，在，在AOAO，BOBO上有两动点上有两动点Q Q，R R，求，求PQRPQR周长的最小值。周长的最小值。ABOPDERQ2021/6/3010例例4:4:在矩形在矩形ABCDABCD中，中，F F是是BCBC的三等分点，的三等分点，E E是是ABAB的二等分点，在的二等分点，在x x轴、轴、y y轴上是否分别存在轴上是否分别存在点点M M、N N, ,使得四边形使得四边形MNFEMNFE的周长最小？如果的周长最小？如果存在存在, ,求出周长的最小值求出周长的最小值; ;如果不存在如果不存在, ,请说请说明理由明理由. .2021/6/3011要求四边形要求四边形要求四边形要求四边形M

5、NFEMNFE的周长最小？的周长最小？的周长最小？的周长最小？把三条线段转移把三条线段转移把三条线段转移把三条线段转移到同一条直线上到同一条直线上到同一条直线上到同一条直线上就好了！就好了！就好了！就好了！第一步第一步 寻找、构造几何模型寻找、构造几何模型EFE/F/MN2021/6/3012第二步第二步 计算计算勾股定理勾股定理2021/6/3013练习：如图练习：如图, ,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,ABE,ABE是是等边三角形等边三角形,M,M为对角线为对角线BDBD（不含（不含B B点）上任点）上任意一点意一点, ,将将BMBM绕点绕点B B逆时针旋转逆时针旋转606

6、0得到得到BN,BN,连接连接ENEN、AMAM、CM.CM. 求证：求证：AMBENBAMBENB； 当当M M点在何处时，点在何处时，AMAMCMCM的值最小；的值最小；当当M M点在何处时，点在何处时，AMAMBMBMCMCM的值最小，的值最小，并说明理由；并说明理由； EA DB CNM2021/6/30142021/6/3015二、求两线段二、求两线段差差的的最大值最大值问题问题(运用三角形两边之差小于第三边)1、已知直线m外两点A,B,在直线在直线m上求一点上求一点P，使，使PA与与PB的差最大的差最大（1）点）点A、B在直线在直线m同侧：同侧：（2）点）点A、B在直线在直线m异侧

7、：异侧：过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB，PA-PB最大值为AB2021/6/3016ABC应用：应用：1、抛物线线交交x x轴于轴于A A，B B两点，交两点，交 y y轴于点轴于点C,C,已知抛物线的对称轴为已知抛物线的对称轴为是是（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）在抛物线的对称轴上是否存在一点）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,P,使点使点P P到到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出它两点的距离之差最大？若存在，求出它们之差的最大值，并求出点们之差的最大值，并求出点P的坐标，若不存在的坐标，若不存在请说明理由。请说明理由。 2

8、021/6/3017ADCB2 2、如如图所示，直线图所示，直线与与x x轴轴交于点交于点C C，与y轴交于点B，点点A A为为 y y 轴正半轴上的一点，轴正半轴上的一点，AA经过点经过点B B和点和点O,O,直线直线BCBC交交 A与与点点D。（2 2）过）过O O，C C，D D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P,P,使线段使线段POPO与与PDPD之差最大？若存在，请求出这个最大值和之差最大？若存在，请求出这个最大值和点点P P的坐标。若不存在，请说明理由。的坐标。若不存在，请说明理由。（1 1）求点）求点D D的坐标；的坐标；2

9、021/6/3018当当P运动到运动到E时，时，PAPB最小最小当当Q运动到运动到F时，时，QDQC最大最大第一步，寻找、构造几何模型第一步，寻找、构造几何模型第二步，计算第二步，计算2021/6/3019如图，点如图，点A A为为OO外一点外一点, ,点点B B在圆上当点在圆上当点B B位于何处位于何处ABAB可以取最大值或最小值？可以取最大值或最小值？考题模型考题模型点到圆上一点距离的最大点到圆上一点距离的最大/小值问题小值问题 2021/6/3020当当O，B，A三点共线，且点三点共线，且点B位于位于OA之间时，之间时，AB最小；最小；2021/6/3021最大2021/6/3022典型

10、例题1.（2016安徽）如图，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值为（）A、B .2 C、D、B2021/6/3023如图，在边长为如图，在边长为2的菱形的菱形ABCD中，中，A60M是是AD 边的中点，边的中点，N是是AB边上的一动点，将边上的一动点，将AMN沿沿MN所在直线翻折得所在直线翻折得AMN，连接，连接AC，则，则AC长度的最长度的最小值是多少？小值是多少？2021/6/3024解：如图所示，根据翻折的性质得MAMA，则点A在以M为圆心MA为半径的圆上运动，当点点M，A与C三点共线时AC最短，此时ACMCMA2021/6/3025举一反三举一反三典例2(2016江苏淮安)如图,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是. 1.22021/6/3026 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！