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1、薛定谔方程薛定谔方程第第 二十二十 七七 章章薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程概述概述1.一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程2.定态波函数定态波函数3.粒子在无限深方势阱中的波函数及能量、动量及波长粒子在无限深方势阱中的波函数及能量、动量及波长4.势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应27.1薛定谔方程薛定谔方程一一 波函数及其统计解释波函数及其统计解释 微微观观粒粒子子具具有有波波粒粒二二象象性性，其其位位置置与与动动量量不不能能同同时时确确定定，无无法法用用经经典典物物理理方方法法描描述述其其运运动动状状态态；量量子子力力学学用用波函数来描述微观粒子的
2、运动波函数来描述微观粒子的运动1.波函数波函数经典波的波函数经典波的波函数:电磁波电磁波机械波机械波经典波为实函数经典波为实函数微观粒子的微观粒子的波函数（复函数）波函数（复函数）自由粒子平面波函数自由粒子平面波函数: E 和和 p 分别为自由粒子的能量和动量分别为自由粒子的能量和动量(E=p2/2m)；自由粒自由粒子的能量和动量是确定的，频率和波长不变（子的能量和动量是确定的，频率和波长不变（ =E/h， =h/p），可认为是一平面单色波），可认为是一平面单色波自由粒子：自由粒子：不受外力场的作用，其动量和能量都不变的不受外力场的作用，其动量和能量都不变的粒子粒子波函数的复指数形式：波函数的
3、复指数形式：根据德布罗意公式根据德布罗意公式有有自由粒子波函数自由粒子波函数2.波函数的统计意义波函数的统计意义正实数正实数粒子某一时刻出现在某点体积元粒子某一时刻出现在某点体积元dV中的概率中的概率:概率密度概率密度: 某处单位体积内粒子出现的概率某处单位体积内粒子出现的概率 波函数波函数是粒子在各处被发现的概率是粒子在各处被发现的概率，量子力学用波，量子力学用波函数描述微观粒子的运动函数描述微观粒子的运动3.波函数的归一化条件波函数的归一化条件 即某一时刻整个空间内发现粒子的总概率为即某一时刻整个空间内发现粒子的总概率为14.波函数的标准条件波函数的标准条件波函数必须是单值、连续、有限的函
4、数波函数必须是单值、连续、有限的函数二二 薛定谔方程薛定谔方程自由粒子（质量为自由粒子（质量为m）在势场）在势场U(x,t)中的一维薛定谔方程中的一维薛定谔方程称为含时一维薛定谔方程称为含时一维薛定谔方程1.一维运动自由粒子的含时薛定谔方程一维运动自由粒子的含时薛定谔方程（对自由粒子的波函数（对自由粒子的波函数 取取x的二阶偏导数和的二阶偏导数和t的的一阶一阶偏导偏导数可得）数可得）一维（设沿一维（设沿x向运动）自由粒子的薛定谔方程：向运动）自由粒子的薛定谔方程： 当粒子在当粒子在势场U(x,t)中运动，则有中运动，则有自由粒子在势场中的能量为自由粒子在势场中的能量为2.一一维定定态薛定薛定谔
5、方程方程 若势场只是坐标的函数，与时间无关，若势场只是坐标的函数，与时间无关， 即即U=U(x)，为恒定势场，则波函数为为恒定势场，则波函数为 将将 代入代入含时一维薛定谔方程，可得含时一维薛定谔方程，可得 的空间部分的空间部分 = (x)满足方程满足方程定定态薛定薛定谔方程方程 1） = (x)称为粒子的称为粒子的定态波函数定态波函数，所描述的粒子的，所描述的粒子的状态称状态称定态定态粒子的粒子的能量能量E不随时间变化的状态不随时间变化的状态（粒子粒子具有确定的能量值具有确定的能量值），粒子在空间的概率分布不随时间），粒子在空间的概率分布不随时间改变；改变；定态波函数的性质定态波函数的性质：
6、粒子：粒子能量能量E不随时间变化，不随时间变化，概率密度概率密度| |2 不随时间变化不随时间变化注意：注意：3）做为上式的解）做为上式的解 与与 均满足叠加原理，即均满足叠加原理，即或或它们的线性组合态也是一种可能的状态；它们的线性组合态也是一种可能的状态； 4）对于任何能量值）对于任何能量值E定态薛定谔方程定态薛定谔方程都有解，需满足波都有解，需满足波函数的标准条件：单值、有限、连续函数的标准条件：单值、有限、连续3.三三维定定态薛定薛定谔方程方程 直角坐直角坐标系系球坐球坐标系系 势能曲线呈无限深的井，称为（一维）势能曲线呈无限深的井，称为（一维）无限深方势阱无限深方势阱简单的理论模型简
7、单的理论模型(固体物固体物理金属中自由电子的简化模型理金属中自由电子的简化模型)； 势阱内，势能为常量，粒子不受力做势阱内，势能为常量，粒子不受力做自由运动；在自由运动；在x=0和和x=a的边界处，势能为无限大，粒子的边界处，势能为无限大，粒子会受到无限大的指向阱内的力作用；所以粒子的位置限会受到无限大的指向阱内的力作用；所以粒子的位置限定在势定在势阱内，粒子的这种状态称为阱内，粒子的这种状态称为束缚态束缚态27.2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子一一 无限深方无限深方势阱阱 粒子在简单外力场中做一维运动，势能函数为粒子在简单外力场中做一维运动，势能函数为势能曲线势能曲线1.无限深方
8、无限深方势阱阱 2.无限深方无限深方势阱中粒子的波函数阱中粒子的波函数 一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程势阱外：势阱外：xa区域区域( (边界条件边界条件) )，U=，不会有粒子不会有粒子存在，则存在，则势阱内：势阱内：0xa区域，区域，U=0，则有方程则有方程 令令与简谐运动方程与简谐运动方程 比较，解为比较，解为 波函数的标准条件：单值、有限和连续，则波函数在波函数的标准条件：单值、有限和连续，则波函数在x=0，x=a处连续，即处连续，即归一化条件确定振幅归一化条件确定振幅A： 可得可得粒子在无限深方粒子在无限深方势阱中的波函数阱中的波函数为 n表示表示对应整数整数n，粒子的相粒子的相
9、应定定态波函数波函数二二 粒子在无限深方粒子在无限深方势阱中的能量阱中的能量 可得可得粒子的能量粒子的能量为 上式表明，上式表明，粒子在无限深方粒子在无限深方势阱中的能量是量子化的阱中的能量是量子化的, ,只能取分立只能取分立值； 每一能量每一能量值对应一个一个能能级，称，称为能量本征能量本征值，n称称为量子数量子数粒子的全部波函数粒子的全部波函数为称称为能量本征波函数能量本征波函数，每个本征波函数所描述的粒子的，每个本征波函数所描述的粒子的状状态称称为粒子的能量本征粒子的能量本征态基态能量基态能量 激发态能量激发态能量三三 波函数与坐波函数与坐标的关系的关系概率密度概率密度16E19E14E
10、1E1基态基态2.粒粒子在势阱中各处出现的概率子在势阱中各处出现的概率不同不同（ nx- -蓝色实线）蓝色实线）1.粒粒子在势阱中各处出现的概率子在势阱中各处出现的概率密度不同密度不同(| n|2x- -红色虚线红色虚线)n =1时，时， 粒子在粒子在 x = a /2处出现的概率最大处出现的概率最大结论：当结论：当n很大时，能量趋于连续，很大时，能量趋于连续，即经典物理的图像即经典物理的图像 3.粒子在势阱中运动的动量粒子在势阱中运动的动量16E19E14E1E1基态基态 根据典理论，粒子在势阱内来回的周期性自由运动，根据典理论，粒子在势阱内来回的周期性自由运动，在各处概率密度应完全相同，且
11、与粒子的能量无关在各处概率密度应完全相同，且与粒子的能量无关粒子的德布罗意波长粒子的德布罗意波长波长也是量子化的，为势阱宽度波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一倍的整数分之一 n与两端固定弦的与两端固定弦的驻波波驻波波长形式相同长形式相同（见（见P158式式 n=2L/n）16E19E14E1E1基态基态弦线振动的简正模式弦线振动的简正模式 无限深方阱壁粒子的无限深方阱壁粒子的每一个能量本征态对应德每一个能量本征态对应德布罗意波的一个特定波长布罗意波的一个特定波长的驻波的驻波； 波函数为驻波形式，波函数为驻波形式，阱壁阱壁处为波节处为波节，波腹的波腹的个数与量子数个数与量子数 n 相等
12、相等16E19E14E1E1基态基态例例27.2核内的核内的质子和中子可子和中子可认为处于无限深于无限深势阱中不能逸阱中不能逸出，在核中是自由运出，在核中是自由运动；估算；估算质子从第一激子从第一激发态（n=2）到基到基态（n=1）转变时放出多少放出多少MeV的能量。核的的能量。核的线度度为1.010-14m。 解：势阱宽度解：势阱宽度a即核的线度，则质子基态能量即核的线度，则质子基态能量第一激发态能量第一激发态能量作业：作业：4 , 8 27.3 势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应一一 半无限深方半无限深方势阱阱 势能函数为势能函数为在在x 0区域，区域，U=，粒子的波函数，粒子的波函数 =
13、 0在在0 0xa区域的区域的势阱内，阱内，粒子的能量粒子的能量Ea的区域的区域，薛定谔方程为薛定谔方程为方程的解方程的解为波函数有限，即波函数有限，即应满足足x时有限，则有时有限，则有D = 0波函数波函数应满足在足在 x=a 处连续，则有，则有还有，有，d /dt在在x=a处也也应连续，又有，又有波函数的连续性条件波函数的连续性条件在边界连续在边界连续 上两式结果表明：束缚在势阱内的粒子（上两式结果表明：束缚在势阱内的粒子（EU0）的）的能量仍是量子化的（能量本征值与前面不同，计算复杂能量仍是量子化的（能量本征值与前面不同，计算复杂略）略） 根据经典理论，当粒子能量根据经典理论，当粒子能量
14、 E a区域，区域，因因为粒子在这粒子在这一区域的动能会出现负值（一区域的动能会出现负值（Ek=E- -U0 E）的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以进入入这一区域，只不一区域，只不过概率密度随着概率密度随着进入的深度很快减小入的深度很快减小在在xa的势能有限的区域，粒子的势能有限的区域，粒子出现的概率不为零，即粒子的运动出现的概率不为零，即粒子的运动可能进入这一区域，但概率随可能进入这一区域，但概率随x增增大按指数规律衰减（大按指数规律衰减（ ）E2E1E3 量子力学量子力学对粒子粒子动能出能出现负值的解的解释不确定关系：不确定关系：粒子在
15、粒子在E a ）的概率密度）的概率密度为 当当x=1/2k时，此，此处粒子的概率已降粒子的概率已降为1/e，可，可视为粒粒子子进入入该区域的深度，区域的深度，则认为在在该区域内区域内发现粒子的位粒子的位置不确定度置不确定度 x为粒子在粒子在 x距离内的距离内的动量不确定度量不确定度为粒子粒子进入入该区域的速度区域的速度为则粒子粒子进入的入的时间不确定度不确定度为根据能量根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度的不确定关系，粒子能量的不确定度为粒子粒子总能量能量为E+ E，则粒子粒子动能的不确定度能的不确定度为 粒子粒子动能的不确定度大于名能的不确定度大于名义上的上的负动能的能的值负负动能
16、被不确定关系掩盖，负动能只是观察不到的动能被不确定关系掩盖，负动能只是观察不到的“虚虚”动能动能二二 势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应 粒子能粒子能进入入U0 E的区域，若这一高势能区域是有的区域，若这一高势能区域是有限的，即粒子在运动时被一势垒阻碍，粒子有可能穿过限的，即粒子在运动时被一势垒阻碍，粒子有可能穿过势垒到达势垒的另一侧，这一量子力学现象称为势垒到达势垒的另一侧，这一量子力学现象称为势垒穿势垒穿透或隧道效应透或隧道效应区：区：各区域波函数：各区域波函数：区：区：区：区：粒子在粒子在势垒右右侧出出现的概率密度：的概率密度： 粒子在粒子在势垒左左侧出出现的概率密度：的概率密度：结论：
17、粒子在：粒子在势垒内部和外部都有出内部和外部都有出现的可能的可能 当粒子能量当粒子能量 E a的区域的区域 ；量子力学分析，粒子有一定；量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒，事实表明，量子力学正确概率穿透势垒，事实表明，量子力学正确 粒子的能量虽不足以超越势垒粒子的能量虽不足以超越势垒 ，但在势垒，但在势垒中似乎有中似乎有一个隧道一个隧道, 能使少量粒子穿过而进入能使少量粒子穿过而进入xa 的区域，形象的区域，形象的的称为隧道效应称为隧道效应应用：用：扫描隧穿（道）描隧穿（道）显微微镜（STM） 1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成 了扫描遂穿了
18、扫描遂穿 显显 微微 镜镜 ( STM ) ，可观测固体表面原子排，可观测固体表面原子排列的状况列的状况 扫描隧道描隧道显微微镜探针探针样品表面样品表面27.4 谐振子谐振子一一维简谐振子振子 微观领域中原子和分子的振动、晶格的振动等，都微观领域中原子和分子的振动、晶格的振动等，都可以近似地用简谐振子模型来描述；可以近似地用简谐振子模型来描述；一一维简谐振子的振子的势能函数能函数为 一维简谐振子的经典模型一维简谐振子的经典模型 讨论粒子在略复杂的势场中做讨论粒子在略复杂的势场中做一维运动，即一维谐振子的运动一维运动，即一维谐振子的运动一一维简谐振子的薛定振子的薛定谔方程方程为 为变系数二系数二
19、阶偏微分方程偏微分方程基态波函数解：基态波函数解：各激发态波函数均包含因子：各激发态波函数均包含因子： 波函数波函数 需需满足单值、连续和有限的标准条件，则谐满足单值、连续和有限的标准条件，则谐振子能量只能为振子能量只能为 谐振子的能量也是量子化（谐振子的能量也是量子化（n为量子数）的，而且为量子数）的，而且能级等间距能级等间距 基态能量（基态能量（n= 0）：）： 零点能零点能 这一能量表明微观粒子不可能完全静止，是波粒二这一能量表明微观粒子不可能完全静止，是波粒二象性的表现，满足不确定关系的要求象性的表现，满足不确定关系的要求 激发态能量激发态能量相邻能级的间距相邻能级的间距一一维谐振子振
20、子势能曲能曲线和概率密度分布和概率密度分布 由图可见，在势能曲线由图可见，在势能曲线外，概率密度不为零；表外，概率密度不为零；表明微观粒子的运动特点：明微观粒子的运动特点：在运动中有可能进入势能在运动中有可能进入势能大于总能量的区域大于总能量的区域例例27.4一质量为一质量为m=1g的小珠子悬挂在一轻小弹簧下面，的小珠子悬挂在一轻小弹簧下面，做振幅做振幅A=1m的谐振动，弹簧劲度系数的谐振动，弹簧劲度系数k=0.1N/m； 按量按量子理论计算，弹簧振子的能级间隔多大；其现有振动能子理论计算，弹簧振子的能级间隔多大；其现有振动能量对应的量子数量对应的量子数n为多少。为多少。解：弹簧振子的角频率为
21、解：弹簧振子的角频率为能级间隔能级间隔现有振动能量现有振动能量结果表明，宏观谐振子处于能量非常高的状态，相邻能结果表明，宏观谐振子处于能量非常高的状态，相邻能级间隔完全可以忽略，能量随振幅变化而连续变化级间隔完全可以忽略，能量随振幅变化而连续变化经经典力学的结论典力学的结论本本 章章 总总 结结一一 波函数的统计意义波函数的统计意义3.粒子某一时刻在某点体积元粒子某一时刻在某点体积元dV中的概率中的概率:1.波函数单值、连续、有限概率密度；波函数单值、连续、有限概率密度； 波函数波函数是粒子在各处被发现的概率是粒子在各处被发现的概率，波函数用以描，波函数用以描述微观粒子的运动述微观粒子的运动4
22、.波函数的归一化条件波函数的归一化条件2.概率密度概率密度: 某处单位体积内粒子出现的概率某处单位体积内粒子出现的概率二二 一一维定定态薛定薛定谔方程方程 定态波函数的性质：能量定态波函数的性质：能量E不随时间变化，概率密度不随时间变化，概率密度| |2 不随时间变化不随时间变化三三 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子1.粒子在无限深方粒子在无限深方势阱中的波函数阱中的波函数 n为对应整数整数n，粒子相粒子相应的定的定态波函数波函数2.粒子在无限深方粒子在无限深方势阱中的能量阱中的能量 粒子在无限深方粒子在无限深方势阱中的能量是量子化的阱中的能量是量子化的3.粒子在势阱中运动的动量粒子在
23、势阱中运动的动量4.粒子的德布罗意波长粒子的德布罗意波长波长是量子化的波长是量子化的 n与两端固定弦的与两端固定弦的驻波波长形式相同驻波波长形式相同四四 势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应 粒子能粒子能进入入U0 E的区域，即粒子有可能穿过势垒的区域，即粒子有可能穿过势垒到达势垒的另一侧到达势垒的另一侧例例27.1一质量为一质量为m的粒子在自由空间绕一定点做半径为的粒子在自由空间绕一定点做半径为r的圆周运动，求粒子的波函数并确定其能量和角动量的的圆周运动，求粒子的波函数并确定其能量和角动量的可能值。可能值。解：将定点作为原点，粒子做圆周运动的平面为解：将定点作为原点，粒子做圆周运动的平面为xy
24、平面；平面；则则r为常量，为常量， = /2， 只是方位角只是方位角 的函数，即的函数，即 = （ ） 粒子不在势场中运动，即粒子不在势场中运动，即U=0，粒子的薛定谔方程为，粒子的薛定谔方程为 即即与简谐运动方程与简谐运动方程d2x/dt2+kx = 0形式同，其解为形式同，其解为式中式中 （ ）有限连续，且为）有限连续，且为 的单值函数，则有的单值函数，则有 即即上式表明上式表明ml必须为整数，即必须为整数，即ml=1，2，由归一化条件，由归一化条件， ，可得，可得 可得粒子的波函数：可得粒子的波函数：ml为整数，称为量子数，粒子能量为整数，称为量子数，粒子能量E只能取离散值只能取离散值能
25、能量量子化量量子化粒子的角动量：粒子的角动量： 可得可得 角动量量子化角动量量子化能量量子化能量量子化注：透射系数注：透射系数T粒子穿透势垒的概率粒子穿透势垒的概率 波函数在波函数在x1=0和和x2=a处连续，即处连续，即例例.能量为能量为30 eV的电子遇到一个高为的电子遇到一个高为40 eV的势垒，试估的势垒，试估算电子穿过势垒的概率。算电子穿过势垒的概率。1)势垒宽度为势垒宽度为1.0nm； 2)势垒宽势垒宽度为度为0.1nm。解：解： 1）2）几乎不能穿透势垒！几乎不能穿透势垒！ 电子穿透势垒的概率很大，接近于电子穿透势垒的概率很大，接近于4%估算时忽略估算时忽略G：例例27.3核根据
26、叠加原理，几个波函数的叠加仍核根据叠加原理，几个波函数的叠加仍为一个波函一个波函数；数；设在无限深方在无限深方势阱中粒子的一个叠加阱中粒子的一个叠加态由基由基态和第和第1激激发态叠加而成叠加而成，前者波函数为叠加态概率幅的，前者波函数为叠加态概率幅的1/2，后，后者的者的为 （即基（即基态概率概率为1/4，第，第1激激发态概率概率为3/4），），求叠加求叠加态的概率分布。的概率分布。解：波函数解：波函数基态波函数基态波函数第第1激发态波函数激发态波函数叠加态波函数叠加态波函数叠加态的概率分布叠加态的概率分布注意：结果中的前两项与时间无关，但最后一项为一频注意：结果中的前两项与时间无关，但最后一项为一频率率 的振动项，与时间有关，因此的振动项，与时间有关，因此叠加态叠加态不是定态不是定态
