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1、定义定义(dngy):设设 为光滑为光滑(gung hu)曲面曲面,“乘积乘积(chngj)和和式极限式极限” 都存在都存在,的的曲面积分曲面积分其中其中f(x,y,z)叫做叫做被积被积据此定义据此定义, 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为f(x,y,z)是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分.若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点, 则称此极限为函数则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面在曲面 上上对面积对面积函数函数, 叫做叫做积分曲面积分曲面.第1页/共26页第一页，共27页。则对面
2、积的曲面积分则对面积的曲面积分(jfn)存在存在. 对积分对积分(jfn)域的可域的可加性加性.则有则有 线性性质线性性质(xngzh).在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, 对对面积面积的曲面积分与对的曲面积分与对弧长弧长的曲线积分性质类似的曲线积分性质类似. 积分的存在性积分的存在性. 若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成例如分成两片光滑曲面两片光滑曲面第2页/共26页第二页，共27页。定理定理(dngl): 设有光滑设有光滑曲面曲面f(x,y,z)在在 上连续上连续(linx),存在存在(cnzi), 且有且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面
3、积分证明证明: 由定义知由定义知第3页/共26页第三页，共27页。而而( ( 光滑光滑(gung hu)(gung hu)第4页/共26页第四页，共27页。说明说明(shumng):可有类似可有类似(li s)的公的公式式.1)如果曲面如果曲面(qmin)方程为方程为2)若曲面为参数方程若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下只要求出在参数意义下dS 的表达式的表达式, 也可将对面积的曲面积分转化为对参数也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分的二重积分. (见本节后面的例见本节后面的例4, 例例5) 第5页/共26页第五页，共27页。例例1. 计算曲面计算曲面(qmin)积分积分其中其中
4、(qzhng) 是是球面球面被平面被平面(pngmin)截出的顶部截出的顶部.解解:第6页/共26页第六页，共27页。思考思考(sko):若若 是球面是球面(qimin)被平行被平行(pngxng)平平面面z =h截截出的上下两部分出的上下两部分,则则第7页/共26页第七页，共27页。例例2. 2. 计计算算(j (j sun)sun)其中其中(qzhng)(qzhng) 是由平面是由平面坐标坐标(zubio)(zubio)面所围成的四面体的表面所围成的四面体的表面面. . 解解: : 设设上的部分上的部分, ,则则与与 原式原式= = 分别表示分别表示 在平面在平面 第8页/共26页第八页，
5、共27页。例例3.设设计算计算(j sun)解解: 锥面锥面与上半球面与上半球面交线为交线为为上半球面夹于锥面间的部分为上半球面夹于锥面间的部分(b fen), 它在它在xoy面面上的投影上的投影(tuyng)域为域为则则 第9页/共26页第九页，共27页。思考思考: 若例若例3中被积函数中被积函数(hnsh)改为改为 计算结果如何计算结果如何(rh)? 第10页/共26页第十页，共27页。例例4. 求半径求半径(bnjng)为为R的均匀半球的均匀半球壳壳 的重心的重心.解解: 设设 的方程的方程(fngchng)为为利用利用(lyng)对称性可知重心对称性可知重心的坐标的坐标而而用球坐标用球
6、坐标思考题思考题: 例例3是否可用球面坐标计算是否可用球面坐标计算?第11页/共26页第十一页，共27页。例例5.5.计算计算(j (j sun)sun)解解: :取球面取球面(qimin)(qimin)坐标系坐标系, ,则则第12页/共26页第十二页，共27页。例例6. 计算计算(j sun)其中其中(qzhng) 是球面是球面利用利用(lyng)对对称性可知称性可知解解: 显然球心为显然球心为半径为半径为利用重心公式利用重心公式第13页/共26页第十三页，共27页。例例7. 7. 计算计算(j sun)(j sun)其中其中 是介于是介于(ji (ji y)y)平面平面分析分析: : 若将
7、曲面分为若将曲面分为(fn wi)(fn wi)前后前后( (或左右或左右) )则则之间的圆柱面之间的圆柱面解解: : 取曲面面积元素取曲面面积元素两片两片, ,则计算较繁则计算较繁. . 第14页/共26页第十四页，共27页。例例8. 求椭圆柱面求椭圆柱面位于位于xoy面上面上(min shn)方及平面方及平面 z = y下方那部分下方那部分(b fen)柱面柱面 的侧的侧面积面积S. 解解: 取取第15页/共26页第十五页，共27页。例例9. 设有一颗地球同步设有一颗地球同步(tngb)轨道通讯卫星轨道通讯卫星, 距距地面高度地面高度 h=36000km,运行的角速度运行的角速度(sd)与
8、地球自转角速度与地球自转角速度(sd)相同相同, 试计算试计算(j sun)该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径地球半径R=6400km)解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,覆盖曲面覆盖曲面 的的半顶角为半顶角为 ,利用球坐标系利用球坐标系, 则则卫星覆盖面积为卫星覆盖面积为第16页/共26页第十六页，共27页。故通讯卫星的覆盖面积与地球故通讯卫星的覆盖面积与地球(dqi)表面积的比为表面积的比为由以上结果可知由以上结果可知,卫星覆盖卫星覆盖(fgi)了地球了地球 以上以上(yshng)的面积的面积, 故使用三颗相隔故使用三颗相隔角度的通讯卫
9、星就几乎可以覆盖地球角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求此题也可用二重积分求A(见下册见下册P109例例2). 第17页/共26页第十七页，共27页。内容内容(nirng)(nirng)小结小结1.1.定义定义(dngy(dngy):):2.2.计算计算(j (j sun):sun):设设则则( (曲面的其他两种情况类似曲面的其他两种情况类似) ) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式心公式简化计算的技巧简化计算的技巧. . 第18页/共26页第十八页，共27页。思考思考(sko)与与练习练习P158 题
10、题1；3；4(1); 7 解答解答(jid)提示提示:P158 题题1.P158 题题3. 设设则则P184 题题2第19页/共26页第十九页，共27页。P158 P158 题题4(1).4(1). 在在xoyxoy面上面上(min (min shn)shn)的投影域为的投影域为这是这是 的面积的面积(min j)!(min j)!第20页/共26页第二十页，共27页。P159 P159 题题7. 7. 如图所示如图所示, ,有有第21页/共26页第二十一页，共27页。P184 题题2. 设设一卦限中的部分一卦限中的部分(b fen), 则有则有( ).(2000考研考研(ko yn)第22页
11、/共26页第二十二页，共27页。1. 已知曲面已知曲面(qmin)壳壳求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面(pngmin)z1以以上部分上部分 的的的面密度的面密度质量质量(zhling)M. 解解: 在在xoy面上的投影为面上的投影为 故故第23页/共26页第二十三页，共27页。2. 2. 设设 是四面体是四面体面面, , 计算计算(j sun)(j sun)解解: : 在四面体的四个面上在四面体的四个面上(min shn)(min shn)同上同上平面平面(pngmin(pngmin) )方程方程投影域投影域第24页/共26页第二十四页，共27页。第25页/共26页第二十五页，共27页。感谢您的欣赏(xnshng)！第26页/共26页第二十六页，共27页。内容(nirng)总结定义:。其中f(x,y,z)叫做被积。f(x,y,z)是定义在上的一。则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积。f(x,y,z)在上连续,。二、对面积的曲面积分的计算法。也可将对面积的曲面积分转化(zhunhu)为对参数。坐标面所围成的四面体的表面.。解: 显然球心为。z = y下方那部分柱面的侧面积S.。试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.。故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为。P184 题2. 设第二十七页，共27页。
