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1、刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动角角坐标坐标回顾回顾角角位移位移角速度角速度角速度角速度各质元有各质元有相同的相同的角位移、角速度、角加速度角位移、角速度、角加速度角加速度角加速度角加速度角加速度刚体绕定轴作刚体绕定轴作匀变速匀变速转动转动力力 对轴的力矩对轴的力矩 为为刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量 J J平行轴定理平行轴定理影响影响 J J 的三个要素的三个要素: :总质量总质量 、质量分布、质量分布 、转轴的位置、转轴的位置圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量定轴转动定律
2、的应用定轴转动定律的应用-滑轮问题三步曲：滑轮问题三步曲：1、牛二定律；、牛二定律；2、转动定律；、转动定律；3、角量与线量关系、角量与线量关系4-7一长为2l，质量为3m的均直细棒的两端各固定有质量分别为2m和m的小球，如图所示。此杆可绕通过杆中心并与杆垂直的水平光滑固定轴在竖直平面内转动。先使其在水平位置，然后无初速地释放。求：此刚体系统绕O轴转动的转动惯量；水平位置时杆的角加速度；通过铅垂位置时杆的角速度。P109求：此刚体系统绕O轴转动的转动惯量；水平位置时杆的角加速度；通过铅垂位置时杆的角速度。 解解 (1) 系统绕O轴转动的转动惯量 (2) 取逆时针方向为正, 水平位置时杆的角加速
3、度由转动定律, 有 (3) 铅垂位置时杆的角速度有多种解法1 1、力矩的功、力矩的功、力矩的功、力矩的功z 4.3 4.3 转动中的功和能转动中的功和能 刚体在外力刚体在外力 作用下转过作用下转过一微小角位移一微小角位移 。力的作用。力的作用点的位移为点的位移为在在 上的上的元功元功为：为： 刚体在外力矩刚体在外力矩 M 作用下作用下转过一有限角位移转过一有限角位移 时，力时，力矩的总功矩的总功2 2、刚体的转动动能、刚体的转动动能、刚体的转动动能、刚体的转动动能 转动动能定理转动动能定理转动动能定理转动动能定理刚体中任意一质元的刚体中任意一质元的动能动能：刚体的刚体的转动动能转动动能： mi
4、z定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理（看 P 102 ，推导）即：即：合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。把质点系动能定理应用于刚体把质点系动能定理应用于刚体质点系动能定理质点系动能定理 对刚体，因为对刚体，因为 ， 换成外力矩的功，平动换成外力矩的功，平动动能换成转动动能动能换成转动动能, , 也也得到刚体得到刚体定轴转动的动能定
5、理定轴转动的动能定理3 3、刚体的重力势能、刚体的重力势能、刚体的重力势能、刚体的重力势能 刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力势能之和。刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力势能之和。任一质元的重力势能任一质元的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能 设刚体的质心相对零势能位置的高度为设刚体的质心相对零势能位置的高度为则则即：刚体的重力势能等于刚体即：刚体的重力势能等于刚体的质量集中在质心处的质点的的质量集中在质心处的质点的重力势能重力势能例例例例1 1 质量为质量为3m 、长为长为 2l 的均质细杆，水平转轴在的均质细杆，水平转轴在 o 点，两端各点，两端各固定质量分别为固定质量分别为2m和和
6、m的小球的小球。系统从静止开始由水平位置绕。系统从静止开始由水平位置绕o点点转动。求转动。求: (1) 系统对系统对o 轴的转动惯量；轴的转动惯量； (2) 水平位置时系统的角水平位置时系统的角加速度加速度;（3）转到垂直位置时的角速度。）转到垂直位置时的角速度。解：解：解：解：o(1)系统对系统对o轴的转动惯量轴的转动惯量(2)水平位置时系统的角加速度水平位置时系统的角加速度由转动定律由转动定律所以所以（3 3 3 3）通过垂直位置时的角速度）通过垂直位置时的角速度）通过垂直位置时的角速度）通过垂直位置时的角速度, , , , 有三种解法有三种解法有三种解法有三种解法o( (解解1)1) 用
7、转动定律用转动定律任意位置的运动方程任意位置的运动方程求得求得此刚体组此刚体组+ +地球系统地球系统, , 只有重只有重力作功力作功, , 机械能守恒机械能守恒( (解解2) 2) 用转动动能定理用转动动能定理合外力矩的功等于刚体转动动能的增量合外力矩的功等于刚体转动动能的增量o求得求得( (解解3)3) 用机械能守恒定律用机械能守恒定律求得求得以静止水平点为零势能点以静止水平点为零势能点若用质心的重力势能，如何计算？质心在哪里？1 1、质点的角动量、质点的角动量、质点的角动量、质点的角动量o质点对质点对 O O 点的点的角动量角动量kg m2s-14.4 4.4 对对定轴的角动量定理定轴的角
8、动量定理 及角动量守恒定律及角动量守恒定律质点作匀速率圆周运动质点作匀速率圆周运动：若若 作变速率圆周运动作变速率圆周运动；或非圆周运动；或非圆周运动-怎样理解上式？怎样理解上式？2 2、刚体对定轴的角动量、刚体对定轴的角动量、刚体对定轴的角动量、刚体对定轴的角动量 miz的方向的方向 刚体看成许多质点组成刚体看成许多质点组成, ,任意一任意一质元质元 对轴的角动量大小为对轴的角动量大小为整个刚体的角动量整个刚体的角动量3 3、定轴转动的角动量定理、定轴转动的角动量定理、定轴转动的角动量定理、定轴转动的角动量定理冲量矩冲量矩积分积分即：即：合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量合外力矩的冲量矩等
9、于刚体角动量的增量写成矢量式写成矢量式4 4、角动量守恒定律、角动量守恒定律、角动量守恒定律、角动量守恒定律若刚体受到的若刚体受到的合外力矩合外力矩为零，则系统的角动量守恒。为零，则系统的角动量守恒。 若若3 3、定轴转动的角动量定理、定轴转动的角动量定理、定轴转动的角动量定理、定轴转动的角动量定理冲量矩冲量矩积分积分即：即：合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量的方向，的方向，的方向的方向例例2 质量为质量为m，半径为，半径为R 的均质薄圆盘放在水平桌面上，可绕的均质薄圆盘放在水平桌面上，可绕盘中心并与盘面垂直的固定光滑轴转动。初始时刻盘的盘中心并与盘面垂直
10、的固定光滑轴转动。初始时刻盘的角速度为角速度为 ，盘与桌面间的滑动摩擦系数为，盘与桌面间的滑动摩擦系数为 ，求，求: : (1)(1)圆盘转动时受到的摩擦阻力矩；圆盘转动时受到的摩擦阻力矩；(2) (2) 经多长时间圆盘经多长时间圆盘停止转动。停止转动。 (1) 在在r处取一宽度为处取一宽度为 dr 的圆环的圆环, , 如图所示如图所示. . 其质量、受到的摩擦阻其质量、受到的摩擦阻力及摩擦阻力矩分别为力及摩擦阻力矩分别为解解: oRdrdrr r圆盘转动时受到的总摩擦阻力矩为圆盘转动时受到的总摩擦阻力矩为 (2)(2)求圆盘停止转动的时间有求圆盘停止转动的时间有两种解法两种解法解解1 1 用
11、转动定律用转动定律求得求得: :oRdrdrr roR R解解解解2 2 用角动量定理用角动量定理用角动量定理用角动量定理解解1 1 用转动定律用转动定律求得求得: :碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为 例例3 3 质量为质量为m1, , 长为长为l 的均质细棒，静止平放在滑动摩擦系的均质细棒，静止平放在滑动摩擦系数为数为 的的水平桌面水平桌面上，可绕通过其端点上，可绕通过其端点o o并与桌面垂直的固定并与桌面垂直的固定光滑轴转动光滑轴转动. . 今有一水平运动的质量为今有一水平运动的质量为m2的小滑块的小滑块, ,从侧面垂从侧面垂直于棒与棒的另一端直于棒
12、与棒的另一端A相碰相碰, , 设碰撞时间极短设碰撞时间极短. . 已知小滑块在已知小滑块在碰撞前后的速度大小分别为碰撞前后的速度大小分别为v1和和v2, , 方向如图所示。求碰后细方向如图所示。求碰后细棒开始转动到停止转动所需的时间。棒开始转动到停止转动所需的时间。解解: : 设碰后棒开始转动的角速度为设碰后棒开始转动的角速度为 , , 滑块滑块m2 2可视为质点可视为质点, , 碰撞瞬时忽略摩擦碰撞瞬时忽略摩擦阻力矩阻力矩, , 则则m1 1、m2 2系统对系统对o o轴的角动量守恒轴的角动量守恒, , 取逆时针转动的方向为正方向取逆时针转动的方向为正方向, , 由角动量由角动量守恒定律守恒
13、定律, , 有有又设棒开始转动到停止转动所需时间为又设棒开始转动到停止转动所需时间为t , , 由角动量定理由角动量定理联立联立 解得解得 例例4 质量为质量为 m 的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球以速度使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球以速度 v0 绕绕管心作半径为管心作半径为 r0 的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径变为动半径变为 r1 。求小球的速度以及外力所作的功。求小球的速度以及外力所作的功。解：解：解：解：v0Fr0r1v v0 0角动量守恒角动量守
14、恒由动能定理由动能定理例例5 一长为一长为 l ，质量为质量为 M 的杆垂直悬挂的杆垂直悬挂, 杆可绕支点杆可绕支点O自自由转动。一质量为由转动。一质量为 m ，速度为速度为 v 的子弹射入距支点为的子弹射入距支点为 a 的棒的棒内内,若棒偏转角为若棒偏转角为 30,问子弹的初速度为多少问子弹的初速度为多少?解：解：解：解：子弹与杆碰撞的过程角动量守恒子弹与杆碰撞的过程角动量守恒子弹连同杆上摆的过程机械能守恒子弹连同杆上摆的过程机械能守恒oal lv3030以哪点作为势能零点比较方便？以哪点作为势能零点比较方便？例例例例6 6 质量为质量为 M ，半径为半径为 R 的转台，可绕中心轴转动。设质
15、的转台，可绕中心轴转动。设质量为量为 m 的人站在台的边缘上，初始时人、台都静止。如果人相的人站在台的边缘上，初始时人、台都静止。如果人相对于台沿边缘奔跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转过对于台沿边缘奔跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转过了多少角度？了多少角度？解：解：角动量守恒：角动量守恒：问题问题1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上, ,双臂伸双臂伸直水平地举起二哑铃直水平地举起二哑铃, ,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中过程中, ,人、哑铃与转动平台组成的系统的人、哑铃与转动平台组成的系统的（A）机械能
16、守恒机械能守恒 , 角动量守恒角动量守恒;（B）机械能守恒机械能守恒 , 角动量不守恒角动量不守恒,（C）机械能不守恒机械能不守恒 , 角动量守恒角动量守恒;（D）机械能不守恒机械能不守恒 , 角动量不守恒角动量不守恒.问题讨论问题讨论问题问题2、人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的在椭圆的一个焦点上，则卫星的(A) 动量不守恒，动能守恒；动量不守恒，动能守恒；(B) 动量守恒，动能不守恒；动量守恒，动能不守恒；(C) 角动量守恒，动能不守恒；角动量守恒，动能不守恒；(D) 角动量不守恒，动能守恒。角动量不守恒，动能守恒。
17、1 1、力矩的功、力矩的功、力矩的功、力矩的功2、刚体的、刚体的转动动能转动动能3、刚体、刚体定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理4、刚体的角动量、刚体的角动量5 5、刚体刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理角动量守恒角动量守恒小结小结 绕自身对称轴高速旋转的物体绕自身对称轴高速旋转的物体, ,在外力矩的作用下在外力矩的作用下, ,其对称轴绕一固定轴的回转运动称为其对称轴绕一固定轴的回转运动称为旋进旋进( (进动进动) )。飞轮对自身轴也即对飞轮对自身轴也即对o点的角动量点的角动量飞轮受重力矩飞轮受重力矩使使 方向改变方向改变, ,而大小不变而大
18、小不变. .因为因为自转轴将在水平面内逆时针方向自转轴将在水平面内逆时针方向( (俯视俯视) )回转回转刚体绕刚体绕定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动方向与方向与 方向相同方向相同进动进动平衡锤平衡锤反方向力矩反方向力矩质点力学、刚体力学有关公式对照表质点力学、刚体力学有关公式对照表质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度角速度角速度角加速度角加速度加速度加速度质量质量转动惯量转动惯量力力力矩力矩运动定律运动定律转动定律转动定律动量动量动量动量角动量角动量角动量角动量动量定理动量定理角动量定理角动量定理质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量守恒动量守恒力的功力的功力矩的功力矩的功动能定理动能定理动能定理动能定理动能动能重力势能重力势能机械能守恒机械能守恒 只有保守力做功只有保守力做功角动量守恒角动量守恒转动动能转动动能重力势能重力势能机械能守恒机械能守恒 只有保守力做功只有保守力做功
