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1、第 七 节函数的图象考考试说明明内容内容知知识要求要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)函数函数图象象三年三年考考题1313年年(5(5考考) )：湖北：湖北T5T5湖南湖南T6T6安徽安徽T8T8 山山东T9T9江江苏T11T111212年年(4(4考考) )：江西：江西T10T10湖北湖北T6T6天津天津T14T14 山山东T10T101111年年(4(4考考) )：山：山东T10T10天津天津T8T8安徽安徽T10T10 新新课标全国卷全国卷T12T12考考情情播播报1.1.知知实际问题中函数中函数变化化过程程选图、知式、知式选图及用及用图象象解决函数的性解决函
2、数的性质问题是高考的是高考的热点点2.2.常与函数的性常与函数的性质( (单调性、奇偶性、周期性、最性、奇偶性、周期性、最值( (值域域) )、对称性、零点称性、零点) )、方程、不等式等知、方程、不等式等知识交交汇考考查3.3.题型主要以型主要以选择题、填空、填空题为主主, ,属中低档属中低档题 【知【知识梳理】梳理】1.1.利用描点法画其利用描点法画其图象的流程象的流程2.2.函数函数图象的象的变换(1)(1)平移平移变换: :f(x)+kf(x)+kf(x+h)f(x+h)f(x-h)f(x-h)f(x)-kf(x)-k(2)(2)对称称变换: :y=f(x) y=_;y=f(x) y=
3、_;y=f(x) y=_;y=f(x) y=_;y=f(x) y=_;y=f(x) y=_;y=ay=ax x(a0(a0且且a1) y=_a1) y=_-f(x)-f(x)f(-x)f(-x)-f(-x)-f(-x)logloga ax(a0x(a0且且a1).a1).(3)(3)翻折变换翻折变换: :y=f(x) y=_;y=f(x) y=_;y=f(x) y=_.y=f(x) y=_.(4)(4)伸缩变换伸缩变换: :y=f(x)y=f(x)y=_;y=_;y=f(x)y=f(x)y=_.y=_.|f(x)|f(x)|f(|x|)f(|x|)f(ax)f(ax)af(x)af(x)【考点
4、自【考点自测】1.(1.(思考思考) )给出下列命出下列命题: :函数函数f(x)= f(x)= 与与g(x)= g(x)= 的的图象相同象相同; ;函数函数y=f(x)y=f(x)的的图象关于原点象关于原点对称与函数称与函数y=f(x)y=f(x)与与y=-f(-x)y=-f(-x)的的图象关于原点象关于原点对称一致称一致; ;当当x(0,+)x(0,+)时, ,函数函数y=|f(x)|y=|f(x)|与与y=f(|x|)y=f(|x|)的的图象相同象相同; ;函数函数y=af(x)y=af(x)与与y=f(ax)(a0y=f(ax)(a0且且a1)a1)的的图象相同象相同; ;若函数若函数
5、y=f(x+a)y=f(x+a)是偶函数是偶函数, ,那么那么y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=ax=a对对称称. .其中正确的是其中正确的是( () )A. B. C. D.A. B. C. D.【解析】【解析】选选D.D.错误错误, ,因为两个函数的定义域不相同因为两个函数的定义域不相同;错误错误, ,前者是函数前者是函数y=f(x)y=f(x)图象本身的对称图象本身的对称, ,而后者是两个图象间的对而后者是两个图象间的对称称;错误错误, ,例如函数例如函数y=|logy=|log2 2x|x|与与y=logy=log2 2|x|,|x|,当当x0x0时时, ,它们的
6、图它们的图象不相同象不相同. .错误错误, ,函数函数y=af(x)y=af(x)与与y=f(ax)y=f(ax)分别是对函数分别是对函数y=f(x)y=f(x)作了上下作了上下伸缩和左右伸缩变换伸缩和左右伸缩变换, ,故函数图象不同故函数图象不同;正确正确, ,由由y=f(x+a)y=f(x+a)是是偶函数可得偶函数可得f(a+x)=f(a-x),f(a+x)=f(a-x),故故f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=ax=a对称对称. .2.2.函数函数f(x)= -xf(x)= -x的的图象关于象关于( () )A.yA.y轴对称称 B. B.直直线y=-xy=-x对称称C.C.
7、原点原点对称称 D. D.直直线y=xy=x对称称【解析】【解析】选选C.C.函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,0)(0,+),f(-x)=(-,0)(0,+),f(-x)= -(-x)= =-f(x), -(-x)= =-f(x),所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数, ,所以其图象关于原点对称所以其图象关于原点对称. .3.(20143.(2014长沙模沙模拟) )函数函数y= (a1)y= (a1)的的图象的大致形状是象的大致形状是 ( () )【解析】【解析】选选B.B.函数函数y= (a1)y= (a1)化为化为 其图象是其图象是B B项项. .4.4.当当0a1
8、0a0a0时时, ,方程方程|x|=a-x|x|=a-x只有一个解只有一个解. .答案答案: :(0,+)(0,+)考点考点1 1 作函数的图象作函数的图象【典例【典例1 1】作出下列函数的图象作出下列函数的图象. .(1)y=2(1)y=2x+2x+2. .(2)y=(2)y=(3)y=(3)y=(4)y=|log(4)y=|log2 2x-1|.x-1|.【解题视点】【解题视点】(1)(3)(4)(1)(3)(4)可通过图象变换画出函数的图象，对可通过图象变换画出函数的图象，对于于(2)(2)可先化简解析式，分离常数，再用图象变换画图象可先化简解析式，分离常数，再用图象变换画图象. .【规
9、范解答】【规范解答】(1)(1)将将y=2y=2x x的图象向左平移的图象向左平移2 2个单位个单位. .图象如图图象如图. .(2)(2)因因y= y= ，先作出，先作出y= y= 的图象，将其图象向右平的图象，将其图象向右平移移1 1个单位，再向上平移个单位，再向上平移1 1个单位，即得个单位，即得y= y= 的图象，如图的图象，如图. .(3)(3)作出作出y= y= 的图象，保留的图象，保留y= y= 图象中图象中x0x0的部分，加上的部分，加上y= y= 的图象中的图象中x x0 0部分关于部分关于y y轴的对称部分，即得轴的对称部分，即得y=y=的图象，如图实线部分的图象，如图实线
10、部分. .(4)(4)先作出先作出y=logy=log2 2x x的图象的图象, ,再将其图象向下平移一个单位再将其图象向下平移一个单位, ,保留保留x x轴上方的部分轴上方的部分, ,将将x x轴下方的图象翻折到轴下方的图象翻折到x x轴上方轴上方, ,即得即得y=|logy=|log2 2x-1|x-1|的图象的图象, ,如图如图. .【易错警示】【易错警示】关注函数定义域关注函数定义域本例在作函数图象时本例在作函数图象时, ,有时会忽略定义域而致误有时会忽略定义域而致误, ,在作函数图象在作函数图象时要注意函数定义域时要注意函数定义域. .【规律方法】【规律方法】作函数图象的三个重要方法
11、及适用类型作函数图象的三个重要方法及适用类型(1)(1)直接法直接法: :当函数表达式当函数表达式( (或变形后的表达式或变形后的表达式) )是熟悉的函数或是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部解析几何中熟悉的曲线的局部( (如圆、椭圆、双曲线、抛物线如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分的一部分) )时时, ,就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出曲线的特征直接作出. .(2)(2)图象变换法图象变换法: :若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到和伸缩得到
12、, ,可利用图象变换作出可利用图象变换作出, ,但要注意变换顺序但要注意变换顺序; ;对不能直接找到熟悉函数的对不能直接找到熟悉函数的, ,要先变形要先变形, ,同时注意平移变换与同时注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. .(3)(3)描点法描点法: :当上面两种方法都失效时当上面两种方法都失效时, ,则可采用描点法则可采用描点法. .为了通为了通过描少量点过描少量点, ,就能得到比较准确的图象就能得到比较准确的图象, ,常常需要结合函数的单常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质进行分析调性、奇偶性等性质进行分析. .提醒提醒: :当函数
13、表达式是较复杂的高次、分式、指数、对数及三当函数表达式是较复杂的高次、分式、指数、对数及三角函数式时角函数式时, ,常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状的大致形状. .【变式式训练】作出下列函数的作出下列函数的图象象. .(1)y=e(1)y=elnxlnx. .(2)y=|log(2)y=|log2 2(x+1)|.(x+1)|.(3)y= .(3)y= .(4)y=x(4)y=x2 2-2|x|-1.-2|x|-1.【解析】【解析】(1)(1)因为函数的定义域为因为函数的定义域为x|x0x|x0且且y=ey=elnxlnx=x(x0
14、),=x(x0),所所以其图象如图所示以其图象如图所示. .(2)(2)将函数将函数y=logy=log2 2x x的图象向左平移的图象向左平移1 1个单位个单位, ,再将再将x x轴下方的部分轴下方的部分沿沿x x轴翻折上去轴翻折上去, ,即可得到函数即可得到函数y=|logy=|log2 2(x+1)|(x+1)|的图象的图象, ,如图如图. .(3)(3)原函数解析式可化为原函数解析式可化为y=2+ ,y=2+ ,故函数图象可由故函数图象可由y= y= 图象图象向右平移向右平移1 1个单位个单位, ,再向上平移再向上平移2 2个单位得到个单位得到, ,如图如图. .(4)(4)因为因为y
15、= y= 且函数为偶函数且函数为偶函数, ,先用描点法作出先用描点法作出0,+)0,+)上的图象上的图象, ,再根据对称性作出再根据对称性作出(-,0)(-,0)上的图象上的图象, ,得图象得图象如图如图. .【加固【加固训练】作出下列函数作出下列函数图象的草象的草图. .(1)y=sin|x|.(1)y=sin|x|.(2)y= x(2)y= x2 2- x+lnx.- x+lnx.【解析】【解析】(1)(1)因函数因函数y=sin|x|y=sin|x|为偶函数为偶函数, ,先用五点法先用五点法, ,画出函画出函数数y=sinxy=sinx在在0,+)0,+)上的图象上的图象, ,再根据对称
16、性作出再根据对称性作出y=sin|x|y=sin|x|在在(-,0(-,0上的图象上的图象, ,得图象如图得图象如图. .(2)(2)由已知得函数的定义域为由已知得函数的定义域为(0,+),(0,+),设设f(x)= xf(x)= x2 2- x+lnx,- x+lnx,所以所以f(x)= .f(x)= .随随x x的变化的变化f(x)f(x)与与f(x)f(x)的变化情况如表的变化情况如表. .x x(0,1)(0,1)1 1(1,2)(1,2)2 2(2,+)(2,+)f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)极大值极大值极小值极小值所以所以f(x)f(x)极小值极小值
17、=f(2)=ln2-2,=f(2)=ln2-2,f(x)f(x)极大值极大值=f(1)=- ,=f(1)=- ,则得则得f(x)f(x)的图象草图如图所示的图象草图如图所示: :考点考点2 2 识图与辨与辨图【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014岳阳模岳阳模拟) )已知函数已知函数f(x)f(x)是定是定义在在R R上的增函上的增函数数, ,则函数函数y=f(|x-1|)-1y=f(|x-1|)-1的的图象可能是象可能是( () )(2)(2013(2)(2013山山东高考高考) )函数函数y=xcosx+sinxy=xcosx+sinx的的图象大致象大致为( () )【解题视点
18、】【解题视点】(1)(1)根据函数根据函数f(x)f(x)的单调性及图象的平移、对称的单调性及图象的平移、对称变换求解变换求解. .(2)(2)利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.根据题意根据题意, ,由于函数由于函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的上的增函数增函数, ,那么可知函数那么可知函数y=f(|x-1|)-1y=f(|x-1|)-1的图象先是保留在的图象先是保留在y y轴右侧轴右侧的图象不变为增函数的图象不变为增函数, ,再作关于再作关于y y轴对称的图象轴对称的图象, ,再整体向
19、右平再整体向右平移一个单位移一个单位, ,再整体向下平移一个单位再整体向下平移一个单位, ,那么可知为先减后增那么可知为先减后增, ,同时关于直线同时关于直线x=1x=1对称对称, ,故选故选B.B.(2)(2)选选D.D.函数函数y=xcosx+sinxy=xcosx+sinx为奇函数为奇函数, ,所以图象关于原点对称所以图象关于原点对称, ,所以排除所以排除B,C.B,C.当当x=x=时时,f()=-0,f()=-2)-c,c(c2)上的奇函数上的奇函数, ,其其图象如象如图所所示示. .令令g(x)=af(x)+b,g(x)=af(x)+b,则下列关于函数下列关于函数g(x)g(x)的叙
20、的叙述正确的是述正确的是( () )A.A.若若a0,a0,则函数函数g(x)g(x)的的图象关于原点象关于原点对称称B.B.若若a=1,0b2,a=1,0b2,则方程方程g(x)=0g(x)=0有大于有大于2 2的的实根根C.C.若若a=-2,b=0,a=-2,b=0,则函数函数g(x)g(x)的的图象关于象关于y y轴对称称D.D.若若a0,b=2,a0,b=2,则方程方程g(x)=0g(x)=0有三个有三个实根根【解析】【解析】选选B.B.方法一方法一: :排除法排除法, ,当当a0,b0a0,b0时时,g(x)=af(x)+b,g(x)=af(x)+b是是非奇非偶函数非奇非偶函数, ,
21、不关于原点对称不关于原点对称, ,排除排除A.A.当当a=-2,b=0a=-2,b=0时时,g(x)=-2f(x),g(x)=-2f(x)是奇函数是奇函数, ,不关于不关于y y轴对称轴对称, ,排除排除C.C.当当a0,b=2a0,b=2时时, ,因为因为g(x)=af(x)+b=af(x)+2,g(x)=af(x)+b=af(x)+2,当当g(x)=0g(x)=0时时, ,有有af(x)+2=0,af(x)+2=0,所以所以f(x)=- ,f(x)=- ,从图中可以看到从图中可以看到, ,当当-2- 2-2- 2时时, ,f(x)=- f(x)=- 才有三个实根才有三个实根, ,所以所以g
22、(x)=0g(x)=0也不一定有三个实根也不一定有三个实根, ,排除排除D.D.方法二方法二: :当当a=1,0b2a=1,0b0,g(c)=f(c)+b-2+b0,g(c)=f(c)+b-2+b0f(x)0且且g(x)0,g(x)0,故故f(x)g(x)0.f(x)g(x)1,f(x)=2ln2=ln41,在同一坐标系内画出函数在同一坐标系内画出函数f(x)=2lnxf(x)=2lnx与与g(x)=xg(x)=x2 2-4x+5-4x+5的图象如图的图象如图所示所示, ,可知可知f(x)f(x)与与g(x)g(x)有两个不同的交点有两个不同的交点. .(2)(2)选选B. B. 表示表示(x
23、(x1 1,f(x,f(x1 1)与原点连线的斜率；与原点连线的斜率；= = 表示表示(x(x1 1,f(x,f(x1 1)，(x(x2 2,f(x,f(x2 2)，(x(xn n,f(x,f(xn n)与原点连线的斜率相等，与原点连线的斜率相等，而而(x(x1 1,f(x,f(x1 1)，(x(x2 2,f(x,f(x2 2)，(x(xn n,f(x,f(xn n)在曲线图象上，故在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况. .如图如图所示，数形结合可得，有所示，数形结合可得，有2 2，3 3，4 4三种情况，故选三种情况
24、，故选B.B.【通关【通关锦囊】囊】高考指数高考指数重点重点题型型破解策略破解策略利用函数利用函数图象研究函数象研究函数性性质(1)(1)根据已知或作出的函数根据已知或作出的函数图象象, ,从最从最高点、最低点高点、最低点, ,分析函数的最分析函数的最值、极、极值(2)(2)从从图象的象的对称性称性, ,分析函数的奇偶分析函数的奇偶性性(3)(3)从从图象的走向象的走向趋势, ,分析函数的分析函数的单调性、周期性性、周期性(4)(4)从从图象与象与x x轴的交点情况的交点情况, ,分析函数分析函数的零点等的零点等高考指数高考指数重点重点题型型破解策略破解策略研究两研究两图象象的交点个数的交点个
25、数在同一坐在同一坐标系中分系中分别作出两函数的作出两函数的图象象, ,数形数形结合求解合求解利用函数的利用函数的图象确定与象确定与应用方程根用方程根的个数的个数当方程与基本函数有关当方程与基本函数有关时, ,可以通可以通过函函数数图象来研究方程的根象来研究方程的根, ,方程方程f(x)=0f(x)=0的的根就是函数根就是函数f(x)f(x)图象与象与x x轴的交点的的交点的横坐横坐标, ,方程方程f(x)=g(x)f(x)=g(x)的根就是函数的根就是函数f(x)f(x)与与g(x)g(x)图象的交点的横坐象的交点的横坐标利用函数利用函数图象研究不等象研究不等式的解式的解当不等式当不等式问题不
26、能用代数法求解但其不能用代数法求解但其对应函数的函数的图象可作出象可作出时, ,常将不等式常将不等式问题转化化为两函数两函数图象的上、下关系象的上、下关系问题, ,从而利用数形从而利用数形结合求解合求解【特别提醒】【特别提醒】利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合结合, ,因此作出的函数图象一定要准确因此作出的函数图象一定要准确. .【通关【通关题组】1.(20141.(2014厦厦门模模拟) )若函数若函数f(x)=|xf(x)=|x2 2-4x+3|-x-a-4x+3|-x-a恰有三个不同恰有三个不同的零点的零点, ,则实数数a a的的值是
27、是( () )A.-1 B.- C.1A.-1 B.- C.1或或 D.-1 D.-1或或- - 【解析】【解析】选选D.D.函数函数f(x)=|xf(x)=|x2 2-4x+3|-x-a-4x+3|-x-a恰有三个不同的零点恰有三个不同的零点, ,即即|x|x2 2-4x+3|=x+a-4x+3|=x+a有三个不同的解有三个不同的解, ,也就是函数也就是函数y=|xy=|x2 2-4x+3|,-4x+3|,y=x+ay=x+a的图象有三个不同的交点的图象有三个不同的交点. .画出函数画出函数的图象的图象, ,观察可知观察可知, ,直线过直线过(1,0)(1,0)或直线与或直线与y=|xy=|
28、x2 2-4x+3|-4x+3|的图象的图象相切时相切时, ,符合题意符合题意, ,实数实数a a的值是的值是-1-1或或- .- .2.(20142.(2014吉首模吉首模拟) )已知奇函数已知奇函数f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上是上是单调减函数减函数, ,且且f(2)=0,f(2)=0,则不等式不等式(x-1)f(x-1)0(x-1)f(x-1)0的解集的解集为( () )A.x|-3x-1 B.x|-1x1A.x|-3x-1 B.x|-1x1或或1x31x3C.x|-3x0C.x|-3x0或或1x3 D.x|-3x11x3 D.x|-3x2x2【解析】【解析】选选B.B.由题
29、意画出由题意画出f(x)f(x)的草图如图的草图如图, ,因为因为(x-1)f(x-1)0,(x-1)f(x-1)0,所以所以(x-1)(x-1)与与f(x-1)f(x-1)同号同号, ,由图象可得由图象可得-2x-10-2x-10或或0x-12,0x-12,解得解得-1x1-1x1或或1x3,1x1,k1,即实数即实数k k的取值范围是的取值范围是(1,+).(1,+).答案答案: :(1,+)(1,+)3.(20143.(2014北京模北京模拟) )已知函数已知函数f(x)=x|m-x|(xR),f(x)=x|m-x|(xR),且且f(4)=0.f(4)=0.(1)(1)求求实数数m m的
30、的值. .(2)(2)作出函数作出函数f(x)f(x)的的图象并判断其零点个数象并判断其零点个数. .(3)(3)根据根据图象指出象指出f(x)f(x)的的单调递减区减区间. .(4)(4)根据根据图象写出不等式象写出不等式f(x)0f(x)0的解集的解集. .(5)(5)求集合求集合M=m|M=m|使方程使方程f(x)=mf(x)=m有三个不相等的有三个不相等的实根根.【解析】【解析】(1)(1)因为因为f(4)=0,f(4)=0,所以所以4|m-4|=0,4|m-4|=0,即即m=4.m=4.(2)(2)因为因为f(x)=x|m-x|f(x)=x|m-x|=x|4-x|= =x|4-x|=
31、 所以函数所以函数f(x)f(x)的图象如图的图象如图: :由图象知由图象知f(x)f(x)有两个零点有两个零点. .(3)(3)从图象上观察可知从图象上观察可知:f(x):f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为2,4.2,4.(4)(4)从图象上观察可知从图象上观察可知: :不等式不等式f(x)0f(x)0的解集为的解集为x|0x4x|0x4.x4.(5)(5)由图象可知若由图象可知若y=f(x)y=f(x)与与y=my=m的图象有三个不同的交点的图象有三个不同的交点, ,则则0m4,0m4,所以集合所以集合M=m|0m4.M=m|0m4.【易错误区【易错误区6 6】作作图粗糙或数形不吻合
32、而致粗糙或数形不吻合而致误【典例】【典例】(2014(2014郑州模州模拟) )函数函数f(x)= -2sinx,xf(x)= -2sinx,x(-1,1)(1,3)(-1,1)(1,3)的所有零点之和的所有零点之和为. .【解析】【解析】答案：答案：【误区警示】【误区警示】【规避策略】【规避策略】【类题试解】解】(2014(2014湘潭模湘潭模拟) )已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的周期的周期为2,2,当当xx-1,1-1,1时f(x)=xf(x)=x2 2, ,那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)的的图象与函数象与函数y=|lgx|y=|lgx|的的图象象的交点共有的交点共有( () )A.10A.10个个B.9B.9个个C.8C.8个个D.1D.1个个【解析】【解析】选选A.A.根据根据f(x)f(x)的性质及的性质及f(x)f(x)在在-1,1-1,1上的解析式可作上的解析式可作图如图图如图: :当当x=10x=10时时,|lg10|=1,|lg10|=1,当当1x101x10时时,|lgx|1,|lgx|1,当当0x10x0,|lgx|0,当当x10x10时时,|lgx|1.,|lgx|1.结合图象知结合图象知y=f(x)y=f(x)与与y=|lgx|y=|lgx|的图象交点共有的图象交点共有1010个个. .
