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1、1.6 利用对称性处理 在现实生活中，存在大量的对称的美，例如房屋、汽车、蝴蝶、篮球，甚至人的身体也是对称的.在数学中也存在许多诸如对称式，对称方程，对称算法，对称图形等等，结构上的对称使得解题的任意性变得有序化、规则化. 例 1. 甲 、乙两人在 1919 的格子棋盘下棋，规则如下：如一方已落子，则另一方不能在之前已有的棋子上、下、左、右的任何一格上落子，当一方无处落子时，则失败，试问：如果甲先落子，他有必胜的把握吗？ 【解】甲有必胜策略，因为 1919 的方格棋盘是中心对称图形，甲只要先在中心方格内落子，然后接着在乙所落子的方格关于中心对称的方格内落子，这样就可保证：只要乙有地方落子，则甲
2、必可在它的对称位置落子，最后乙无处落子，甲必胜. 【注】利用图形的对称性可以很方便的解决一些图形操作问题和几何证明问题. 例 2. 已和222830,3820aabb，且 ab1，试求：11abba 的值. 【分析】 代数式222830,3820aabb， 且 ab1 似乎并不对称， 但是结果要求的11abba给我们暗示：关于 a 和关于1b的式子是否对称？关于 b 和关于1a的式了是否对称？ 【解】因为23820bb,故 b0,等式两边同除以2b,得21823=0bb 又22830aa,且 ab1,故 a, 1b是方程22x8x30的两个不相等的实数根，故 a+1b=4,同理，b，1a是方程
3、23x8x20的两个不相等的实数根，故 b+ 1a= 83 ,所以，1132ab=ba3 . 例 3. 解方程：4326538560xxxx. 【分析】 此多项式各项系数中与正中间一项等距离的项的系数都相等，因此考虑用 x+1x来表示. 【 解 】 当 x=0 时 ， 左 边 =6 非 零 ， 故 x=0 不 是 原 方 程 的 根 ， 方 程 两 边 同 时 除 以2x得221165 x38=0xxx，即2116 x5 x50=0xx，令 y=1xx,原方程化265500yy.5 2y ，10 3y . 当5 2y 时151x=2x22，解得121x =-2x =-2，；当10 3y 时，1
4、101x=3x33，解得121x =3x =3，.综上所述，原方程的解是1,23411x =2x =-x =3x =23 ，. 例 4. 求不超过675的最大整数. 【分析】 直接求 6 次计算量较大，这时经常会想到降次，联想乘法公式， “配对”的想法逐渐形成，即由75想到75，分别令它们等 a，b，则 a+b=2 7,ab=2，接下来就可能用基本对称式了. 【解】设75=a，75=b，则 a+b=2 7,ab=2. 故 222224ababab 因为 26622223313536abababab,又 0 6751，故 13535 67513536， 所以，不超过675的最大整数是 13535
5、. 例 5. 已知 a=713,b=13,c=539,试求222111111abcbccaab111111abcbccaab. 【解】先化简，原式= 333222ac-bba-ccb-aac-bba-ccb-a，可以看出分子分母都是 a,b,c 的轮换对称式，利用轮换对称的性质对分子分母进行因式分解. 对于分子， 当 a=b 时， 代数式的值为 0， 可见分子含有因式 （a-b） ， 由轮换对称性质， 分子也含有因式 （b-c）和(c-a)，当 a=-(b+c)时，分子的值也为 0，所以分子的另一个一次因式为（ a+b+c）,故可设333ac-bba-ccb-a =k a-bb-cc-aa+b
6、+c，两边取 a=0，b=1，c=2，可得 k=1,故分子化为a-bb-cc-aa+b+c. 同理，可设 222ac-bba-ccb-a =m a-bb-cc-a 两边取 a=0,b=1,c=2,可得 m=1，即分母可化为(a-b)(b-c)(c-a) 所以，原式=a+b+c，当 a= 713 ,b= 13 ,c= 539时，原式=1. 【注】将a,b,c赋值，代入222ac-bba-ccb-a =m a-bb-cc-a 中可求 m 的值，赋值时应注意让 a,b,c 两两不同，否则左边=右边=0，无法求出 m 的值. 例 6. 已知 a，b，c，x 均不为 0，且xyz=ka+2b+ca-ca
7、-2b+c，证明 abc1=x+2y+zx-zx-2y+z4k. 【分析】 许多开式上对称的式子， 诸如连等式和轮换式， 要充分运用其对称性， 如连等式就可用 “设k 法” ，令这些连等式都 等于 k，然后用 k 的代数式表达未知数，最后代入，使问题迎刃而解. 【证明】 令xyz=ka+2b+ca-ca-2b+c （k0） ，则 x=k（a+2b+c） ，y= k（a-c） ，z= k（a-2b+c） ，故x+2y+z=k（a+2b+c）+2（a-c）+（a-2b+c）=4ak 同理得 x-z=4bk，x-2y+z=4ck，所以，abc1=x+2y+zx-zx-2y+z4k，得证. 例 7.
8、设 k 是一个非零实数，、是方程2x7x8k=0的两个实根，试问：是否存在实数 k，使得2274932k3=8k成立？ 【解】 由=49-32k0 可得 k4932， 又根据韦达定理有+=7， =8k， 若2274932k3=8k成立，则由对称性应有2274932k3=8k 故222273+3=4k于是227732=3 4916k =4k4k 解得 k=4916，但49491632，即此时方程无实根，从而原问题的结论为否定. 【注】 本题对于对称性的处理用到整系数一元二次方程根的特性. 练习 1.6 1.设432xx4xx1=0 ， 试求331=xxP的值. 2.分解因式：5555x+y+zxyz 3.求证：2n n13n n1n2nn=n1n1n2n1n2n32. 4.对实系数二次多项式 2x =axbxcP，定义 222= abbcS pca，试求最大的正实数 r，使得当 xP有实根时， 2raS p 恒成立. 5.我们知道存在无穷多组正整数的有序数对（m,n）满足：m+（m+1）+（m+2）+（n-1）+n=mn，例如（1，1） ， （3，6） ， （15，35） ， （85，204）是具有 m 的最小的前四组. （1）试再找出一组解 （2）现设（x,y）是其一组解，试利用这组解，找到另外的一组解，并证明之.
