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1、 f(sinx) p pp pp p= =00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 设设函数函数 u (x) 和和 v (x) 在区间在区间 a, b 上存在连上存在连续导数，则由续导数，则由两端从两端从 a 到到 b 对对 x 求定积分求定积分,便得定积分的分部积分公式：便得定积分的分部积分公式：三、定积分的分部积分法例例1 1 设设 解：解：上一页下一页上一页下一页求求 与求不定积分类似，在求定积分时也会遇与求不定积分类似，在求定积分时也会遇到到换元积分法换元积分法和和分部积分法分部积分法综合应用的情况，要综合应用的情况，要灵活掌握。灵活掌握。例例2 2说明：说明：解解1、牛顿、牛顿
2、莱布尼兹公式莱布尼兹公式2、定积分的换元积分法、定积分的换元积分法 应用定积分的换元积分法计算定积分时省略了应用定积分的换元积分法计算定积分时省略了将新积分变量还原为原积分变量的步骤，但要注意将新积分变量还原为原积分变量的步骤，但要注意换元同时要换积分限换元同时要换积分限.四、小结3、定积分的分部积分法、定积分的分部积分法 定积分的分部积分法用于计算被积函数是两类不同定积分的分部积分法用于计算被积函数是两类不同类型函数乘积的定积分。并注意类型函数乘积的定积分。并注意先积出来的先代值先积出来的先代值，可可使后面的计算简便。使后面的计算简便。4.6 4.6 反常积分反常积分一、反常积分的背景 反常
3、积分讨论的是无穷区间无穷区间上的积分和无界函数无界函数的积分. 二、两类反常积分的定义返回返回返回返回传染病分析传染病分析：某种传染病在流行期间人们某种传染病在流行期间人们 被传染患病的速度可以近似地表示为被传染患病的速度可以近似地表示为 这里这里r的单位是人的单位是人/天，天，t为传染病开始流行的天数为传染病开始流行的天数. 如果如果 不加控制，最终将会传染多少人？不加控制，最终将会传染多少人？一、反常积分的背景一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分当极限存在时，当极限存在时， 也称反常积分收敛；也称反常积分收敛；当极限不存在时，当极限不存在时，也也称称反常积分反常积分积分发散积分发散.当
4、极限存在时，当极限存在时， 也称反常积分收敛；也称反常积分收敛；当极限不存在时，当极限不存在时，也也称称反常积分反常积分积分发散积分发散.当右边两极限都存在时，称反常积分收敛；当右边两极限都存在时，称反常积分收敛；当当右边两极限不都存在右边两极限不都存在时，称时，称反常积分反常积分发散发散.按上述定义，得按上述定义，得则则即即类似地有类似地有例例1 1 计算反常积分计算反常积分解解上述反常积分表示：上述反常积分表示：曲线无限延伸与曲线无限延伸与x 轴所围图形轴所围图形的面积。的面积。解解（洛必达法则）（洛必达法则）二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分定义定义瑕点是使函数无界的点，是第二
5、瑕点是使函数无界的点，是第二类间断点类间断点定义定义类似地，类似地， 计算无界函数的反常积分，也可借助于计算无界函数的反常积分，也可借助于牛顿牛顿-莱布尼茨公式。莱布尼茨公式。类似地，有类似地，有例例5 5 计算反常积分计算反常积分解解例例6 6 讨论反常积分讨论反常积分解解发散发散的收敛性的收敛性.发散发散例例7解解积分上限为积分上限为积分下限积分下限为瑕点为瑕点注注:由于有限区间上的无界函数的广义积由于有限区间上的无界函数的广义积分常常会与常义积分混淆，因此求积分常常会与常义积分混淆，因此求积分时，首先应判断积分区间上有无瑕分时，首先应判断积分区间上有无瑕点点. .有瑕点的，是广义积分；无
6、瑕点的，有瑕点的，是广义积分；无瑕点的，是常义积分是常义积分. .若是广义积分，还要保证若是广义积分，还要保证积分区间仅有一端是瑕点，中间没有积分区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点瑕点. .若不然，要将积分区间分段，使若不然，要将积分区间分段，使每一段区间仅有一端是瑕点，中间没每一段区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点有瑕点. . 无界函数的反常积分（无界函数的反常积分（瑕积分瑕积分）无穷限的反常积分无穷限的反常积分三、小结三、小结证证类似地，有类似地，有思考题思考题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？返回思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是不是瑕点不是瑕点,的瑕点是的瑕点是返回作作 业业习题习题4-61. 偶偶
