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1、一、一、 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质4.3相似矩阵与方阵的对角化相似矩阵与方阵的对角化1.相似矩阵有相同的秩。相似矩阵有相同的秩。2.相似矩阵的行列式相等。相似矩阵的行列式相等。3.相似矩阵或都可逆或都不可逆。相似矩阵或都可逆或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。相似矩阵的性质相似矩阵的性质：矩阵的相似关系是一种等价关系！矩阵的相似关系是一种等价关系！4.证明证明推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵证明证明 必要性：必要性：二、二、 n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件矩阵矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置
2、的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应充分性：充分性：说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化（充分而不必要）还是能对角化（充分而不必要）例1特征值特征值-2，1（二重），相应特征向量：（二重），相应特征向量：(-1,1,1)T, (-2,1,0)T, (0,0
3、,1)T定理定理4.64.6实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.证明证明（一）、对称矩阵的性质（一）、对称矩阵的性质说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实实对称矩阵对称矩阵三、实三、实对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化于是有于是有两式相减，得两式相减，得定理定理4.64.6的意义的意义证明证明于是于是定理定理4.7定理定理4.8如果如果n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A有有m个不同的特征值个不同的特征值 其重数分别为其重数分别为 则则根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为
4、对角矩阵，其具体步骤为：为：（二）、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法（二）、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.5. 将这将这n n个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量构成正交阵构成正交阵P.P.矩阵矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应解解例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系解之
5、得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化a)相似矩阵有相同的秩。相似矩阵有相同的秩。b)相似矩阵的行列式相等。相似矩阵的行列式相等。c)相似矩阵或都可逆或都不可逆。相似矩阵或都可逆或都不可逆。1. 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。1. 相似矩阵相似矩阵三、小结三、小结d)性质性质：2.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质： (1)(1)特征值为实数；特征值为实数； (2) (2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3) (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4) (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值3.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)(1)求特征值；求特征值；(2)(2)找特征向量；找特征向量；(3)(3)将特征向将特征向量量正交化正交化；(4)(4)单位化单位化作业vP138A v10（几种方法）v13v14 (1)
