《直线与椭圆位置关系(经典)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线与椭圆位置关系(经典)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、.直线与椭圆(教师版)知识与归纳：知识与归纳：1.1.点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系2222x0y0x0y0x2y2点P(x0，y0)在椭圆221内部的充要条件是221；在椭圆外部的充要条件是221；ababab22x0y0在椭圆上的充要条件是221.ab2.2.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系. .x2y2设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：221，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二ab次方程，此一元二次方程的判别式为，则l与C相离的0.3.3.弦长计算弦长计算计 算 椭 圆 被 直 线 截 得 的 弦 长 ， 往 往 是 设 而 不 求 ， 即 设
2、 弦 两 端 坐 标 为P1(x1，y1) ，P2(x2，2y2)|P1P2|=(x1 x2)2 (y1 y2)21 kx1 x211y1 y2（k 为直线斜率）形式(利用根与k2系数关系（推导过程：若点A(x1, y1)，B(x2, y2)在直线y kxb(k 0)上，则y1 kx1b，y2 kx2b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB (x1 x2)2(y1 y2)2(x1 x2)2(kx1kx2)2(1k2)(x1 x2)2(1k2)(x1 x2)24x1x2或者AB 111(x1 x2)2(y1 y2)2(x1x2)2(y1 y2)2(12)(y1 y2)2kkk(11
3、2)(y y ) 4y1y2。)122k一，直线与椭圆的位置关系一，直线与椭圆的位置关系x2y21的位置关系的位置关系例题例题 1 1、判断直线、判断直线kx y 3 0与椭圆与椭圆164 y kx 3222解：由x2可得(4k 1)x 24kx 20 0 16(16k5)y21164.下载可编辑.55x2y2或k 1相交（1）当 16(16k 5) 0即k 时，直线kx y 3 0与椭圆44164255x2y2或k 1相切（2）当 16(16k 5) 0即k 时，直线kx y 3 0与椭圆44164255x2y2 k 1相离（3）当 16(16k 5) 0即时，直线kx y 3 0与椭圆44
4、1642x2y21恒有公共点，求实数恒有公共点，求实数m的取值范围的取值范围例题例题 2 2、若直线、若直线y kx 1(k R)与椭圆与椭圆5m解法一： y kx 12222由x2可得(5k m)x 10kx 55m 0， m 5k 1 0即m 5k 11y215mm 1且m 5解法二：直线恒过一定点(0,1)当m 5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b 当m 5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a 综述：m 1且m 5解法三：直线恒过一定点(0,1)m，要使直线与椭圆恒有交点则m 1即1 m 55可保证直线与椭圆恒有交点即m 502121即m 1要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1)在椭圆
5、内部5mm 1且m 5评述由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况， 而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交 0（2）直线与椭圆相切 0（3）直线与椭圆相离 0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2 中法二是根据两曲线的特征观察所至；法xy三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点M(xo, yo)在椭圆内部或在椭圆上则o2o21ab二、弦
6、长问题二、弦长问题22x2y21的左右焦点分别为的左右焦点分别为 F F1 1,F,F2 2，若过点，若过点 P P（0 0，-2-2）及）及 F F1 1的直线交椭圆于的直线交椭圆于 A,BA,B 两点，求两点，求例例 3 3、已知椭圆、已知椭圆21ABFABF2 2的面积的面积解法一：由题可知：直线lAB方程为2x y 2 0.下载可编辑.y 2x 24 1022由x2可得9y 4y 4 0，y1 y2(y1 y2) 4y1y2y2191 2S14 10F1F2y1 y2294 55解法二：F2到直线 AB 的距离h y 2x 210 2222AB 1 kx x由x2可得，又9x 16x
7、6 0y12191 2S14 10ABh 292评述 在利用弦长公式AB 1 kx1 x211y1 y2（k 为直线斜率）或焦（左）半径公式k2AB PF1 PF2 a ex1a ex2 2a 2e(x1 x2)时，应结合韦达定理解决问题。例题例题 4 4、 已知长轴为已知长轴为 1212，短轴长为，短轴长为 6 6，焦点在，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为作倾斜解为的直线交椭圆于的直线交椭圆于3A，B两点，求弦两点，求弦AB的长的长分析：可以利用弦长公式AB 1kx1x2(1k )(x1x2) 4x1x2求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用
8、焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解222AB 1k2x1x2(1k2)(x1x2)24x1x2因为a 6，b 3，所以c 3 3因为焦点在x轴上，x2y21，左焦点F(3 3 , 0)，从而直线方程为y 3x9所以椭圆方程为369由直线方程与椭圆方程联立得：13x 72 3x368 0设x1，x2为方程两根，所以x1x2 272 3，13x1x236848222，k 3，从而AB 1kx1x2(1k )(x1x2) 4x1x2 1313(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解x2y21，设AF由题意可知椭圆方程为1 m，BF212m，BF212n1 n，则AF369.下载
9、可编辑.在AF1F2中，AF2所以m 2 AF1 F1F22 AF1F1F2cos223，即(12 m) m 363 2m6 3221；26648同理在BF1F2中，用余弦定理得n ，所以AB mn 134343一、求中点弦所在直线方程问题一、求中点弦所在直线方程问题x2y21内一点 M（2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。例例 1 1 过椭圆164解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：(4k21)x28(2k2 k)x 4(2k 1)216 0又设直线与椭圆的交点为A(x1, y1)，B（x2, y2） ，则x1,x2是方程的两个根，于是
10、8(2k2 k)x1 x2，24k 1x1 x24(2k2 k) 2，又 M 为 AB 的中点，所以24k211解得k ，2故所求直线方程为x 2y 4 0。解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1, y1)，B（x2, y2） ，M（2，1）为 AB 的中点，所以x1 x2 4，y1 y2 2，又 A、B 两点在椭圆上，则x1 4y116，x2 4y216，两式相减得(x1 x2) 4(y1 y2) 0，22222222y1 y2x x211 1 ，即kAB ，x1 x24(y1 y2)22故所求直线方程为x 2y 4 0。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x , y)，由于中点为 M（2
11、，1） ，所以则另一个交点为 B(4-x ,2 y)，x2 4y216因为 A、B 两点在椭圆上，所以有，22(4 x) 4(2 y) 16两式相减得x 2y 4 0，由于过 A、B 的直线只有一条，故所求直线方程为x 2y 4 0。二、求弦中点的轨迹方程问题二、求弦中点的轨迹方程问题x2y21上一点 P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ 中点的轨迹方程。例例 2 2 过椭圆6436解法一：设弦 PQ 中点 M（x, y），弦端点 P（x1, y1），Q（x2, y2），9x1216y12 57622229(x x) 16(y y则有，两式相减得1212) 0，229x216y2 5
12、76.下载可编辑.又因为x1 x2 2x，y1 y2 2y，所以92x(x1 x2) 162y(y1 y2) 0，所以y1 y2y9x9xy 0，而kPQ，故。x1 x216y16yx 8x (8)22化简可得9x 72x 16y 0（x8）。解法二：设弦中点 M（x, y），Q（x1, y1），由x 22x18y，y 1可得x1 2x 8，y1 2y，22x1y14(x 4)24y21，即1，又因为 Q 在椭圆上，所以64366436(x 4)2y21（x8）。所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为169三、弦中点的坐标问题三、弦中点的坐标问题例例 3 3 求直线y x 1被抛物线y 4x截得线
13、段的中点坐标。解：解法一：设直线y x 1与抛物线y 4x交于A(x1, y1)，B(x2, y2)，其中点P(x0, y0)，由题意得22y x 1，2y 4x22消去 y 得(x 1) 4x，即x 6x 1 0，所以x0x1 x2 3，y0 x01 2，即中点坐标为(3,2)。22解法二：设直线y x 1与抛物线y 4x交于A(x1, y1)，B(x2, y2)，其中点P(x0, y0)，由题意得y12 4x122，两式相减得y2 y1 4(x2 x1)，2y2 4x2所以(y2 y1)(y2 y1) 4，x2 x1所以y1 y2 4，即y0 2，x0 y01 3，即中点坐标为(3,2)。
14、x2y21所截得的线段的中点，求直线所截得的线段的中点，求直线l的方程的方程例题例题 5 5、已知、已知P(4, 2)是直线是直线l被椭圆被椭圆369分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y).下载可编辑.的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1 x2，x1x2(或y1 y2，y1y2)的值代入计算即得并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为y 2 k(x4)代入椭圆方程，整理得(4k21)x28k(4k 2)x4(4k 2)236 0设直线与椭圆的交点为A(
15、x1, y1)，B(x2, y2)，则x1、x2是的两根，x1 x2P(4, 2)为AB中点，4 8k(4k 2)4k21x1 x24k(4k 2)1，所求直线方程为x2y 8 0k 24k212方法二：设直线与椭圆交点A(x1, y1)，B(x2, y2)P(4, 2)为AB中点，x1 x28，y1 y2 4又A，B在椭圆上，x1 4y1 36，x2 4y2 36两式相减得(x1 x2) 4(y1 y2) 0，即(x1 x2)(x1 x2)4(y1 y2)(y1 y2) 022222222y1 y2(x1 x2)1 直线方程为x2y8 0x1 x24(y1 y2)2方法三：设所求直线与椭圆的
16、一个交点为A(x , y)，另一个交点B(8 x , 4 y)22A、B在椭圆上，x 4y 36。(8 x) 4(4 y) 3622从而A，B在方程的图形x2y 8 0上，而过A、B的直线只有一条，直线方程为x2y 8 0说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题， “设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法若已知焦点是(3 3 , 0)、(3 3 , 0)的椭圆截直线x2y 8 0所得弦中点的横坐标是 4， 则如何求椭圆方程？例题例题 6 6、已知椭圆、已知椭圆4x y 1及直线及直线y xm（1 1）当）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？为何值时，直线与椭圆有公共点？（2 2）
17、若直线被椭圆截得的弦长为）若直线被椭圆截得的弦长为222 10，求直线的方程，求直线的方程52222解： （1）把直线方程y xm代入椭圆方程4x y 1得4x x m1，2222即5x 2mxm 1 0 2m45 m 1 16m 20 0，解得255 m 22m212m（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得x1 x2 ，x1x255m212 102m根据弦长公式得：11 解得m 0方程为y x 455522.下载可编辑.说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般
18、应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系） ，可大大简化运算过程例题例题 7 7、已知椭圆的中心在坐标原点已知椭圆的中心在坐标原点O O， 焦点在坐标轴上，焦点在坐标轴上， 直线直线y y= =x x+1+1 与该椭圆交于与该椭圆交于P P和和Q Q， 且且OPOPOQOQ， | |PQPQ|=|=10，2求椭圆方程求椭圆方程. .【解前点津】由题设条件，不能确定焦点是在x轴，还是在y轴上，且对于a、b、c的关系条件未作定性说明，22故可设椭圆方程为：mx+ny=1(m0，n0)简便.22【规范解答】设椭圆方程为：mx+ny=1(m0，n0)，设P(x1，y1)，Q(x2
19、，y2)，由y x 122mx ny 1中消去y并依x聚项整理得： (m+n)x+2nx+(n-1)=0， =4n-4(m+n) (n-1)0， 即m+n-mn0，22OPOQ等价于x1x2+y1y2=0，将y1=x1+1，y2=x2+1 代入得：2x1x2+(x1+x2)+1=0，2(n 1)2n1 0 m n 2m nm n又|PQ|=(x1 x2)2(y1 y2)22(x1 x2)22(x1 x2)2(x11)(x21)22 (x1 x2)24x1x210 2n n 1 2 4 2m nm n13m m 2或2联立并解之得：31n n 22经检验这两组解都满足0，故所求椭圆方程为x+3y
20、=2 或 3x+y=2.22【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：mx+ny=1(m0，n0)，m与n的大小关系，决定了焦点位置.三，对称问题三，对称问题2222x2y21，试确定，试确定m的取值范围，使得对于直线的取值范围，使得对于直线l：y 4xm，椭圆，椭圆C上有不同的两上有不同的两例题例题 8 8、已知椭圆、已知椭圆C： 43点关于该直线对称点关于该直线对称分析： 若设椭圆上A，B两点关于直线l对称， 则已知条件等价于： (1)直线AB l； (2)弦AB的中点M在l上利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围解：(法 1)设椭圆上A(x1, y1)，B(x
21、2, y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x0, y0)点y x n,14l的斜率kl 4，设直线AB的方程为y xn由方程组消去y得224xy 1,3 41.下载可编辑.8nx x24n112n于是x01，y0 x0n ，132134134n 12n4n13即点M的坐标为(,)点M在直线y 4xm上，n 4m解得n m131313413x28nx16n248 0。x1 x2将式代入式得13x 26mx169m 48 0A，B是椭圆上的两点， (26m) 413(169m 48) 0解得(法 2)同解法 1 得出n 22222 132 13 m 131313413m，x0(m) m，
22、4134113113y0 x0m (m)m 3m，即M点坐标为(m, 3m)4444(m)2(3m)22 132 13 m 1解得A，B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，131343(法 3)设A(x1, y1)，B(x2, y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为(x0, y0)xyxyA，B在椭圆上，111，221两式相减得3(x1 x2)(x1 x2)4(y1 y2)(y1 y2) 0，4343即32x0(x1 x2) 42y0(y1 y2) 022223xy1 y2 0(x1 x2)x1 x24y0又直线AB l，kABkl 1，3x04 1，即y0 3x0。4y0
23、又M点在直线l上，y0 4x0m。由，得M点的坐标为(m, 3m)以下同解法 2.说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式 0，建立参数方程xy(2)利用弦AB的中点M(x0, y0)在椭圆内部，满足001，将x0，y0利用参数表示，建立参数不等式ab四，最值问题四，最值问题例题例题 9 9、 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x x轴上，离心率轴上，离心率e e= =2233，已知点，已知点P P(0(0
24、，) )到这个椭圆上的点的最到这个椭圆上的点的最22远距离是远距离是7，求这个椭圆的方程，求这个椭圆的方程. .【解前点津】由条件，可将椭圆标准方程用含一个参数的形式表示，将“最远距离”转化为二次函数的最值.3x2y2222【规范解答】由e=可推出a=2b，于是可设椭圆方程为：221，即有x=4b-4y.24bb.下载可编辑.设M(x，y)是椭圆上任意一点，且-byb，|PM| =-3(y+间-b，b ，求二次函数的最值.当b2122) +4b+3，由于y-b，b ，于是转化为在闭区2199312222时，y=-b，|PM| 有最大值b+3b+，令b+3b+=(7) ，解得b=7-，舍去.24
25、422x2112222 y21.当b时，取y=-知|PM| 有最大值 4b+3，令 4b+3=(7 ) 解得：b=1，a=2，故所求方程为：422【解后归纳】这是一道解析几何与函数的综合题，其知识的交汇点及“等价转化”的数学思想，是必须“关注”的.x2y21，过原点且倾斜角为和，过原点且倾斜角为和- -(0(0 ) )的两条直线分别交椭圆于的两条直线分别交椭圆于A A、C C例题例题 1010、 设椭圆方程为设椭圆方程为482和和B B、D D两点两点. .(1)(1)用表示四边形用表示四边形ABCDABCD的面积；的面积；(2)(2)当当(0(0，) )时，求时，求S S的最大值的最大值.
26、.4【解前点津】设直线方程为y=xtan，利用椭圆图形的“对称性” ，易用表示S，然后运用函数的知识，求面积S的最大值.x2y21求得：【规范解答】(1)设经过原点且倾斜角为的直线方程为：y=xtan，代入483232tan22, yx=，由对称性知四边形ABCD为矩形，又由于0，所以四边形ABCD的面积228 4tan 8 4tan 22为：S=4|xy|=432tan32tan.228 4tan 2 tan 32t32时，0tan1，设 t=tan，则S=(0t1)，2242ttt(2)当 02在(0，2)上是单调减函数，t32f(t)min=f(1)=1+2=3，当=时，Smax=.43
27、函数f(t)=t+【解后归纳】从代数角度出发，利用椭圆的几何性质，确定四边形ABCD为矩形，是解题的一个亮点，读者应认真体会.练习题：练习题：x2 y21有两个不同的交点P和Q1、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆2（I）求k的取值范围；uuu ruuu ruuu r（II） 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B， 是否存在常数k， 使得向量OP OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.下载可编辑.解： （）由已知条件，直线l的方程为y kx 2，x2 1(kx2)21整理得k2x22 2kx1 0代入椭圆方程得22直线l与椭圆有两
28、个不同的交点P和Q等价于 8k 42 1 k2 4k22 0，22222解得k 或k 即k的取值范围为， U2，222uuu ruuu r（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OPOQ(x1 x2，y1 y2)，由方程，x1 x2 4 2k又y1 y2 k(x1 x2)2 212k2uuu r0)B(0，1) AB ( 2， 1)而A( 2，uuu ruuu ruuu r所以OP OQ与AB共线等价于x1 x2 2(y1 y2)，将代入上式，解得k 22由（）知k 22或k ，故没有符合题意的常数k22222、椭圆xy 1ab0与直线x y 1交于P、Q两点，且OP OQ，其中O为坐标原
29、点.22ab11的值； （2）若椭圆的离心率e满足3e2，求椭圆长轴的取值范围.223ab2 解析：设P(x1, y1),P(x2, y2)，由 OP OQ x1x2 + y 1 y2 = 0（1）求 y11 x1, y21 x2,代入上式得： 2x1x2(x1 x2)1 0又将y 1 x代入x2y22a22222221 (a b )x 2a xa (1b ) 0， 0,x1 x22,a2b2a b2a2(1b2)代入化简得11 2.x1x222a ba2b2a2c2b21b211b2222 (2) e 212122,又由（1）知b2322a32a 1aaa1125356，长轴 2a 5,6.
30、2 a2 a 22a 134222x2 y21的左、右焦点.3、设F1、F2分别是椭圆4（）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值;（）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点） ，求直线l的斜率k的取值范围.下载可编辑.（）易知a 2，b1，c 3F1( 3,0)，F2( 3,0)设P(x, y) (x 0, y 0)则uuu r uuu u rx2522PF1PF2 ( 3 x,y)( 3 x,y) x y 3 ，又 y21，44722x 1x y x2134P(1,)联立2，解得23，32x y21y y 42 4（）显然
31、x 0不满足题设条件可设l的方程为y kx2，设A(x1, y1)，B(x2, y2)x2 y21联立 4 x24(kx2)2 4 (14k2)x216kx12 0y kx21216k22 (16k) 4(14k )12 0，由x x 122214k14k316k23(14k2) 0，4k23 0，得k24uuu r uuu r又AOB为锐角 cosAOB 0 OAOB 0，x1x2uuu r uuu r2OAOB x1x2 y1y20又y1y2 (kx1 2)(kx2 2) k x1x2 2k(x1 x2) 42x1x2 y1y2 (1 k )x1x2 2k(x1 x2) 4 (1k2)1216k2k ()42214k14k12(1k2)2k 16k4(4k2)124 0 k 422214k14k14k4综可知333)U (,2) k2 4，k的取值范围是(2,224.下载可编辑.
