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1、第六章第六章 第七节第七节 数学归数学归纳法纳法(理理)1.了解数学归纳法的原理了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.数学归纳法的适证对象数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于数学归纳法是用来证明关于命题的一种方法，若命题的一种方法，若 n0是起始值，则是起始值，则n0是使命题成立的是使命题成立的.正整数正整数最小正整数最小正整数2.数学归纳法的步骤数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当当n时，验证命题成立；时，验证命题成立；(2)假设假设n时命题成立，推证当时命题
2、成立，推证当n时时命题也成立，从而推出对所有的命题也成立，从而推出对所有的 命题成立命题成立.k1n0(n0N*)k(kn0，kN*)nn0，nN*思考探究思考探究数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？提示：提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推叫归纳递推.两者缺一不可两者缺一不可.1.在应用数学归纳法证明凸在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验条时，第一步检验
3、n等于等于()A.1B.2C.3D.0解析：解析：因为因为n3，所以，第一步应检验，所以，第一步应检验n3.答案：答案：C2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1aa2an1(a1)，在验证在验证n1时，等式左端计算所得的项是时，等式左端计算所得的项是()A.1B.1aC.1aa2D.1aa2a3解析：解析：因为当因为当n1时，时，an1a2，所以验证，所以验证n1时，时，等式左端计算所得的项是等式左端计算所得的项是1aa2.答案：答案：C3.利用数学归纳法证明利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”时，从时，从“nk”变到变到“nk1”时，左边应增乘的因式是时，
4、左边应增乘的因式是()A.2k1B.2(2k1)C.D.解析：解析：当当nk(kN*)时，左式为时，左式为(k1)(k2)(kk)；当当nk1时，左式为时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是则左边应增乘的式子是2(2k1).答案：答案：B4.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：，第一步应验证左式是第一步应验证左式是，右式是右式是.解析：解析：令令n1则左式为则左式为1，右式为，右式为 .答案：答案：5.记凸记凸k边形的内角和为边形的内角和为f(k)，则凸，则凸k1边形的内角和边形的内角和 f(k1)f(k).解析：解析：由凸由凸k边形变为凸边形变
5、为凸k1边形时，增加了一个三角边形时，增加了一个三角形，故形，故f(k1)f(k).答案：答案：1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题，关键用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由由nk到到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中怎样的项；难点在于寻求等式中nk和和nk1时之间时之间的联系的联系.2.用数学归纳法证明与正整数有关的等式时，通常采用的用数学归纳法证明与正整数有关的等式时，通常采用的步骤为：步骤为：(1)找出
6、找出f(k1)与与f(k)的递推关系；的递推关系；(2)把归纳假设把归纳假设f(k)g(k)代入；代入；(3)作恒等变形把作恒等变形把f(k1)化为化为g(k1).特别警示特别警示运用数学归纳法需注意以下几点：运用数学归纳法需注意以下几点：nn0时，时，n0的取值；的取值；两个步骤，缺一不可；两个步骤，缺一不可；证证nk1成成立时必须用上归纳假设立时必须用上归纳假设.对于对于n N*，用数学归纳法证明：，用数学归纳法证明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2).思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记设设f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)当当n1时，左边时，左边1
7、，右边，右边1，左边右边，等式成立；，左边右边，等式成立；(2)假设当假设当nk时等式成立，即时等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1k(k1)(k2)，则当则当nk1时，时，f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)23(k1)12(k1)1f(k)123k(k1)k(k1)(k2)(k1)(k11)(k1)(k2)(k3).nk1时等式也成立时等式也成立.由由(1)(2)可知，当可知，当nN*时等式都成立时等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是种具体形式：一是
8、直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往对第二类形式往往先对往先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明归纳法证明.特别警示特别警示如果在数学归纳法证题的过程中，没有运如果在数学归纳法证题的过程中，没有运用归纳假设，不论形式上多么相似，也不能称此证明方用归纳假设，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法法为数学归纳法.已知数列已知数列an，an0，a10，
9、1.求证：当求证：当n N*时，时，anan1.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(用数学归纳法证明用数学归纳法证明)(1)当当n1时，因为时，因为a2是方程是方程x2x10的正根，的正根，所以所以a1a2.(2)假设当假设当nk(kN*，k1)时，时，0akak1，因为因为(ak21)(ak11)(ak2ak1)(ak2ak11)0，所以所以ak1ak2，即当即当nk1时，时，anan1也成立也成立.根据根据(1)和和(2)，可知，可知anan1对任何对任何nN*都成立都成立.把题设条件中的把题设条件中的“an0”改为改为“当当n2时，时，an1”，其，其余条件不变，求证：当余条件不变，求证：
10、当n N*时，时，an1an.证明：证明：(1)当当n1时，因为时，因为a2是是x2x10的负根，的负根，所以所以a1a2.(2)假设当假设当nk(kN*，k1)时，时，ak1ak，(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10，又又ak2ak111(1)11，ak2ak10，ak2ak1，即当即当nk1时，命题成立时，命题成立.由由(1)(2)可知，当可知，当nN*时，时，an1，(8分分)|xn1xn|xnxn1|()2|xn1xn2|()n1|x2x1|()n1.(11分分)综上：综上：nN*时，时，|xn1xn|()n1.(12分分)自主体验自主体验设数列设数列an的前的前n项和为项和为
11、Sn，对一切，对一切nN*，点，点(n，)都在函数都在函数f(x)x的图象上的图象上.(1)求求a1，a2，a3的值，猜想的值，猜想an的表达式，并用数学归的表达式，并用数学归纳法证明；纳法证明；(2)将数列将数列an依次按依次按1项、项、2项、项、3项、项、4项循环项循环地分为地分为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，分别计算各个括号内各数之和，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为设由这些和按原来括号的前后顺序
12、构成的数列为bn，求，求b5b100的值的值.解：解：(1)因为点因为点(n，)在函数在函数f(x)x的图象上，的图象上，故故n，所以所以Snn2an.令令n1，得，得a11a1，所以，所以a12；令令n2，得，得a1a24a2，所以，所以a24；令令n3，得，得a1a2a39a3，所以，所以a36.由此猜想：由此猜想：an2n.用数学归纳法证明如下：用数学归纳法证明如下：当当n1时，由上面的求解知，猜想成立时，由上面的求解知，猜想成立.假设假设nk(k1，且，且kN*)时猜想成立，即时猜想成立，即ak2k成立，成立，则当则当nk1时，注意到时，注意到Snn2an(nN*)，故故Sk1(k1)
13、2ak1，Skk2ak.两式相减，得两式相减，得ak12k1ak1ak，所以所以ak14k2ak.由归纳假设得，由归纳假设得，ak2k，故故ak14k22k2(k1).这说明这说明nk1时，猜想也成立时，猜想也成立.由由知，对一切知，对一切nN*，an2n都成立都成立.(2)因为因为an2n(nN*)，所以数列，所以数列an依次按依次按1项、项、2项、项、3项、项、4项循环地分为项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，.每每一次循环记为一组一次循环记为一组.由于每一个循
14、环含有由于每一个循环含有4个括号，故个括号，故b100是第是第25组中第组中第4个括号内各数之和个括号内各数之和.由分组规律知，由各由分组规律知，由各组第组第4个括号中所有第个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且个数组成的数列是等差数列，且公差为公差为20.同理，由各组第同理，由各组第4个括号中所有第个括号中所有第2个数、所有个数、所有第第3个数、所有第个数、所有第4个数分别组成的数列个数分别组成的数列也都是也都是等差数列，且公差均为等差数列，且公差均为20.故各组第故各组第4个括号中各数之和个括号中各数之和构成等差数列，且公差为构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第注意到第一组中
15、第4个括号个括号内各数之和是内各数之和是68，所以所以b1006824801988.又又b522，所以，所以b5b1002010.1.如果命题如果命题p(n)对对nk成立，则它对成立，则它对nk2也成立也成立.若若p(n)对对n2也成立，则下列结论正确的是也成立，则下列结论正确的是()A.p(n)对所有正整数对所有正整数n都成立都成立B.p(n)对所有正偶数对所有正偶数n都成立都成立C.p(n)对所有正奇数对所有正奇数n都成立都成立D.p(n)对所有自然数对所有自然数n都成立都成立解析：解析：由题意由题意nk成立，则成立，则nk2也成立，又也成立，又n2时成时成立，则立，则p(n)对所有正偶数
16、都成立对所有正偶数都成立.答案：答案：B2.设设f(n)，nN*，那么，那么f(n1)f(n)()A.B.C.D.解析：解析：用数学归纳法证明有关问题时，分清等式两边的用数学归纳法证明有关问题时，分清等式两边的构成情况是解题的关键构成情况是解题的关键.显然，当自变量取显然，当自变量取n时，等式的时，等式的左边是左边是n项和的形式项和的形式.答案：答案：D3.下列代数式下列代数式(其中其中kN*)能被能被9整除的是整除的是()A.667kB.27k1C.2(27k1)D.3(27k)解析：解析：本题考查用数学归纳法证明整除性问题本题考查用数学归纳法证明整除性问题.(1)当当k1时，显然只有时，显
17、然只有3(27k)能被能被9整除整除.(2)假设当假设当kn(nN*)时，命题成立，即时，命题成立，即3(27n)能被能被9整除，那么整除，那么3(27n1)21(27n)36.这就是说，这就是说，kn1时命题也成立时命题也成立.答案：答案：D4.猜想猜想11,14(12),149123，第，第n个个式子为式子为.答案：答案：149(1)n1n2(1)n1(123n)5.设平面内有设平面内有n条直线条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点相平行，任意三条直线不过同一点.若用若用f(n)表示这表示这n 条直线交点的个数，则条直线交点的个数，则f
18、(4)；当；当n4时，时， f(n)(用用n表示表示).解析：解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数.f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得累加，得f(n)f(2)234(n1)(n2).f(n)(n1)(n2).答案：答案：5(n1)(n2)6.求证：当求证：当n1(nN*)时，时，(12n)(1+)n2.证明：证明：(1)当当n1时，左边右边，命题成立时，左边右边，命题成立.当当n2时，时，左边左边(12)(1)22，命题成立命题成立.(2)假设当假设当nk(k2)时命题成立，即时命题成立，即(12k)(1)k2.则当则当nk1时，有时，有左边左边(12k)(k1)(1)(12k)(1)(12k)(k1)(1)1k21(k1)(1).当当k2时，时，11，k21(k1)(1)k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说当这就是说当nk1时，命题成立时，命题成立.由由(1)、(2)可知当可知当n1(nN*)时原命题成立时原命题成立.
