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1、第十一章第十一章 杆件在组合变形下的强度计算杆件在组合变形下的强度计算 1，掌握用叠加法计算组合变形，2，熟悉斜弯曲时横截面上的内力、应力和强度计算。3，熟悉拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度计算、4，偏心压缩杆件的强度计算，5，掌握截面核心的概念。 建筑力学14组合变形11.1 组合变形的概念组合变形的概念n在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形，称为组合变形。n例如，图11.1(a)所示的屋架檩条；图11.1(b)所示的空心墩；图11.1(c)所示的厂房支柱，也将产生压缩与弯曲的组合变形。 11.
2、1.1 组合变形的概念组合变形的概念建筑力学14组合变形图11.1 建筑力学14组合变形n解决组合变形强度问题，分析和计算的基本步骤是：首先将构件的组合变形分解为基本变形；然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力；最后将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。n试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合的。11.1.2 组合变形的解题方法组合变形的解题方法建筑力学14组合变形11.2 斜弯曲斜弯曲n对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的平面内，这种变形称为平面弯曲。n如果外力
3、的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外力所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。 建筑力学14组合变形n如图11.2(a)所示的矩形截面悬臂梁，集中力P作用在梁的自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向形心主轴y的夹角为。n将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个分力，得nPy=PcosnPz=Psinn分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面内发生平面弯曲。11.2.1 外力的分解外力的分解建筑力学14组合变形图11.2 建筑力学14组合变形n在距自由端为x的横截面上，两个分力Py和Pz所引起的弯矩值分别为nMz=Pyx=Pcosx=Mcos
4、nMy=Pzx=Psinx=Msinn该截面上任一点K(y，z)，由Mz和My所引起的正应力分别为n= Mzy/Iz =y Mcos/Iz n= Myz/Iy =z Msin/Iy 11.2.2 内力和应力的计算内力和应力的计算建筑力学14组合变形n根据叠加原理，K点的正应力为n=+n = Mzy/Iz + Myz/Iy n =M(ycos/Iz +zsin/Iy)n 式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性矩。正应力和的正负号，可通过平面弯曲的变形情况直接判断，如图11.2(b)所示，拉应力取正号，压应力取负号。 建筑力学14组合变形图11.2 建筑力学14组合变形n因为中性轴上各点
5、的正应力都等于零，设在中性轴上任一点处的坐标为y0和z0，将=0代入式(12.1)，有n =M(y0cos/Iz +z0 sin/Iy)=0n则n y0 cos/Iz +z0sin/Iy =0n上式称为斜弯曲时中性轴方程式。 11.2.3 中性轴的位置中性轴的位置建筑力学14组合变形n从中可得到中性轴有如下特点：n(1) 中性轴是一条通过形心的斜直线。n(2) 力P穿过一、三象限时，中性轴穿过二、四象限。反之位置互换。n(3) 中性轴与z轴的夹角(图11.2(c)的正切为ntan=y0/z0= Iz/Iytann从上式可知，中性轴的位置与外力的数值有关，只决定于荷载P与y轴的夹角及截面的形状和
6、尺寸。 建筑力学14组合变形图11.2 建筑力学14组合变形n进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处，对于工程上常用具有棱角的截面，危险点一定在棱角上。图11.2(a)所示的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危险截面，该截面上的B、C两点为危险点，B点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。n若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强度条件为nmax= Mzmax/Wz + Mymax/Wy 11.2.4 强度条件强度条件建筑力学14组合变形n对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值可按下述范围选取：n矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.22；n工字
7、形截面：Wz/Wy =810；n槽形截面： Wz/Wy =68。 建筑力学14组合变形n【例11.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成，材料为A3钢，许用应力=160MPa。作用在梁上的集中力P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角=15，如图11.3所示。试校核吊车梁的强度。n【解】(1) 荷载分解n将荷载P沿梁横截面的y、z轴分解n Py=Pcos=30cos15kN=29kNn Pz=Psin=30sin15kN=7.76kNn(2) 内力计算n吊车荷载P位于梁的跨中时，吊车梁处于最不利的受力状态，跨中截面的弯矩值最大，为危险截面。 建筑力学14组合变形图11.3 建筑力
8、学14组合变形n该截面上由Py在xOy平面内产生的最大弯矩为nMzmax= Pyl/4 = 294/4kNm=29kNmn该截面上由Pz在xOz平面内产生的最大弯矩为nMymax= Pzl/4 = 7.764/4 kNm=7.76kNmn(3) 强度校核n由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz分别为n Wy=70.8cm3=70.8103mm3n Wz=692.2cm3=692.2103mm3建筑力学14组合变形n【例11.2】图11.4所示矩形截面木檩条，两端简支在屋架上，跨度l=4m。承受由屋面传来的竖向均布荷载q=2kN/m。屋面的倾角=20，材料的许用应力=10MPa。试选
9、择该檩条的截面尺寸。n【解】(1) 荷载分解n荷载q与y轴间的夹角=20，将均布荷载q沿截面对称轴y、z分解，得n qy=qcos=2cos20kN/mn=1.88kN/mn qz=qsin=2sin20kN/mn=0.68kN/m建筑力学14组合变形图11.4 建筑力学14组合变形n(2) 内力计算n檩条在qy和qz单独作用下，最大弯矩均发生在跨中截面，其值分别为nMzmax= qyl2/8 = 1.8842/8kNm=3.76kNmnMymax= qzl2/8 = 0.6842/8kNm=1.36kNmn(3) 选择截面尺寸n根据式(12.4)，檩条的强度条件为n Mzmax/Wz + M
10、ymax/Wy n上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设 Wz/Wy = h/b=1.5，代入上式，得n 3.76106/1.5Wy + 1.36106/Wy 10建筑力学14组合变形n Wy387103mm3n由 Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 387103n解得 b115.68mmn为便于施工，取截面尺寸b=120mm，则nh=1.5b=1.5120mm=180mmn选用120mm180mm的矩形截面。建筑力学14组合变形11.3 偏心压缩（拉伸）偏心压缩（拉伸）n图11.5(a)所示的柱子，荷载P的作用线与柱的轴线不重合，称为偏心力，其作用线与柱轴线间的距离e称为偏心距。偏心力P
11、通过截面一根形心主轴时，称为单向偏心受压。n(1) 荷载简化和内力计算n将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过柱轴线的轴向压力P和一个力偶矩m=Pe的力偶，如图11.5(b)所示。n横截面m-n上的内力为轴力N和弯矩Mz，其值为n N=P Mz=Pe11.3.1 单向偏心压缩（拉伸）单向偏心压缩（拉伸）建筑力学14组合变形图11.5 建筑力学14组合变形n(2) 应力计算n对于该横截面上任一点K(图11.6)，由轴力N所引起的正应力为n=- N/A n由弯矩Mz所引起的正应力为n=- Mzy/Iz n根据叠加原理，K点的总应力为n=+=- N/A - Mzy/Iz建筑力学14组合变形图11.6
12、 建筑力学14组合变形n(3) 强度条件n从图11.6(a)中可知：最大压应力发生在截面与偏心力P较近的边线n-n线上；最大拉应力发生在截面与偏心力P较远的边线m-m线上。其值分别为nmin=ymax=- P/A - Mz/Wz nmax=lmax=- P/A + Mz/Wz n截面上各点均处于单向应力状态，所以单向偏心压缩的强度条件为nmin=ymax=- P/A - Mz/Wzynmax=lmax=- P/A + Mz/Wz l建筑力学14组合变形n(4) 讨论n下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时，截面边缘线上的最大正应力和偏心距e之间的关系。n图12.6(a)所示的偏心受压柱，截面尺寸为
13、bh，A=bh，Wz= bh2/6 ，Mz=Pe，将各值代入得nmax=- P/bh +Pe/bh2/6 =- P/bh(1- 6e/h)n边缘m-m上的正应力max的正负号，由上式中(1- 6e/h )的符号决定，可出现三种情况：建筑力学14组合变形n 当 6e/h 1，即e1，即e h/6 时，max为拉应力。截面部分受拉，部分受压，应力分布如图11.7(c)所示。建筑力学14组合变形图11.7 建筑力学14组合变形n【例11.3】图11.8所示矩形截面柱，屋架传来的压力P1=100kN，吊车梁传来的压力P2=50kN，P2的偏心距e=0.2m。已知截面宽b=200mm，试求：n(1) 若
14、h=300mm，则柱截面中的最大拉应力和最大压应力各为多少?n(2) 欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在确定的h尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少?n【解】(1) 内力计算n将荷载向截面形心简化，柱的轴向压力为nN=P1+P2=(100+50)kN=150kN建筑力学14组合变形图11.8 建筑力学14组合变形n截面的弯矩为nMz=P2e=500.2kNm=10kNmn(2) 计算lmax和ymaxn由式(12.6)，得n lmax=- P/A + Mz/Wz =(-2.5+3.33)MPa=0.83MPan ymax= -P/A - Mz/Wz =(-2.5-3.33)MPa=-
15、5.83MPan(3) 确定h和计算ymaxn欲使截面不产生拉应力，应满足lmax0，即n - P/A + Mz/Wz 0建筑力学14组合变形n - 150103/200h + 10106/ 200h2/6 0n则 h400mmn取 h=400mmn当h=400mm时，截面的最大压应力为nymax=- P/A - Mz/Wz n=(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPan对于工程中常见的另一类构件，除受轴向荷载外，还有横向荷载的作用，构件产生弯曲与压缩的组合变形。 建筑力学14组合变形n【例11.4】图11.9(a)所示的悬臂式起重架，在横梁的中点D作用集中力P=15.5kN，横梁
16、材料的许用应力=170MPa。试按强度条件选择横梁工字钢的型号(自重不考虑)。n【解】(1) 计算横梁的外力n横梁的受力图如图11.9(b)所示。为了计算方便，将拉杆BC的作用力NBC分解为Nx和Ny两个分力。由平衡方程解得n Ry=Ny= P/2 =7.75kNn Rx=Nx=Nycot=7.75 3.4/1.5 kN=17.57kN建筑力学14组合变形图11.9建筑力学14组合变形n(2) 计算横梁的内力n横梁在Ry、P和Ny的作用下产生平面弯曲，横梁中点截面D的弯矩最大，其值为nMmax= Pl/4 = 15.53.4/4 kNm=13.18kNmn横梁在Rx和Nx作用下产生轴向压缩，各
17、截面的轴力都相等，其值为nN=Rx=17.57kNn(3) 选择工字钢型号n由式(12.7)，有nymax=- N/A - Mmax/Wz建筑力学14组合变形n由于式中A和Wz都是未知的，无法求解。因此，可先不考虑轴力N的影响，仅按弯曲强度条件初步选择工字钢型号，再按照弯压组合变形强度条件进行校核。由n max= Mmax/Wz n得Wz Mmax/ = 77.5103mm3=77.5cm3n查型钢表，选择14号工字钢，Wz=102cm3，A=21.5cm2。n根据式(12.7)校核，有nymax =- N/A - Mmax/Wz=137MPan结果表明，强度足够，横梁选用14号工字钢。若强度
18、不够，则还需重新选择。建筑力学14组合变形n当偏心压力P的作用线与柱轴线平行，但不通过横截面任一形心主轴时，称为双向偏心压缩。n如图11.10(a)所示，偏心压力P至z轴的偏心距为ey，至y轴的偏心距为ez。11.3.2 双向偏心压缩（拉伸）双向偏心压缩（拉伸）建筑力学14组合变形图11.10建筑力学14组合变形n (1) 荷载简化和内力计算n将压力P向截面的形心O简化，得到一个轴向压力P和两个附加力偶矩mz、my(图11.10(b)，其中nmz=Pey，my=Pezn可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。n由截面法可求得任一截面ABCD上的内力为nN=P，Mz=Pey
19、，My=Pez建筑力学14组合变形n (2) 应力计算n对于该截面上任一点K(图11.10(c)，由轴力N所引起的正应力为n=- N/A n由弯矩Mz所引起的正应力为n=- Mzy/Iz n由弯矩My所引起的正应力为n=- Myz/Iy n根据叠加原理，K点的总应力为n=+=- N/A - Mzy/Iz - Myz/Iy建筑力学14组合变形n (3) 强度条件n由图11.10(c)可见，最大压应力min发生在C点，最大拉应力max发生在A点，其值为nmin=ymax=- P/A - Mz/Wz - My/Wy nmax=lmax=- P/A + Mz/Wz+ My/Wyn危险点A、C均处于单向
20、应力状态，所以强度条件为nmin=ymax=- P/A - Mz/Wz - My/Wyynmax=lmax=- P/A + Mz/Wz+ My/Wy l建筑力学14组合变形11.4 截面核心截面核心n在单向偏心压缩时曾得出结论，当压力P的偏心距小于某一值时，横截面上的正应力全部为压应力，而不出现拉应力。当偏心压力作用在截面形心周围的一个区域内时，使整个横截面上只产生压应力，这个荷载作用区域称为截面核心。 11.4.1 截面核心的概念截面核心的概念建筑力学14组合变形n在图11.11中画出了圆形、矩形、工字形和槽形等四种截面的截面核心，其中iy2= Iy/A ，iz2= Iz/A 。 11.4.2 几种常见截面的截面核心几种常见截面的截面核心建筑力学14组合变形图11.11 建筑力学14组合变形建筑力学14组合变形
