初中数学几何知识点和题型归纳总复习教学文稿

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1、初中数学几何知识点和题型归纳总复习图形的初步认识图形的初步认识多姿多彩的图形多姿多彩的图形直线、射线、线段直线、射线、线段角角生活中的立体图形生活中的立体图形立体图形的三视图立体图形的三视图立体图形的展开图立体图形的展开图点、线、面、体点、线、面、体直线直线射线射线线段线段线段的长短比较线段的长短比较角的表示角的表示角度的转化角度的转化角的比较角的比较角的平分线角的平分线线段的长短比较线段的长短比较余角、补角余角、补角方位角方位角四面体四面体六面体六面体八面体八面体多面体多面体可以按面数来分类，如下列图形中：可以按面数来分类，如下列图形中：若围成立体图形的面是若围成立体图形的面是平的面平的面，

2、这样的立体图形又称为，这样的立体图形又称为多面体多面体认认识识多多面面体体著名的欧拉公式：著名的欧拉公式：V+F-E=2画立体图形画立体图形观察观察立体图立体图三视图三视图主视图主视图左视图左视图俯视图俯视图例例1：画出以下立体图形的三视立体图形画出以下立体图形的三视立体图形图图正方体正方体长方体长方体四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥 归纳：归纳：正方体正方体的表面展开图的表面展开图有以下有以下1111种。你能看种。你能看出有什么规律吗？出有什么规律吗？一一 四四 一一型型二二 三三 一一型型阶阶 梯梯 型型 当将这个图案折起来组成当将这个图案折起来组成一个正方体时，数字一个正

3、方体时，数字_会与数会与数字字2 2所在的平面相对的平面上。所在的平面相对的平面上。6123453 点和线点和线A A 点点A A 用一个大写字母表示。用一个大写字母表示。 线线线段线段直线直线射线射线学会区分没有学会区分没有直线、射线、线段的比较直线、射线、线段的比较直线、射线、线段的比较直线、射线、线段的比较名称名称直线直线射线射线线段线段图形图形aAB lOC lAB表示法表示法线段线段AB、线、线段段BA、线段、线段a射线射线OC、射线射线l直线直线AB、直、直线线BA、直线、直线l延伸性延伸性无无沿沿OC方向方向延伸延伸向两方无限向两方无限延伸延伸端点个数端点个数210作图叙述作图叙

4、述连接连接AB以点以点O为端为端点作射线点作射线OC过过A、B两点两点作直线作直线AB下面的知识点你掌握了吗？下面的知识点你掌握了吗？知识点知识点1 1：线段：线段(1)(1)线段的概念线段的概念: :它是直线的一部分它是直线的一部分, ,它的它的长度是有限的长度是有限的, ,它有两个端点它有两个端点. .(2)(2)线段的表示方法线段的表示方法: :可用它的两个端点可用它的两个端点的大写字母或用一个小写字母来表示的大写字母或用一个小写字母来表示. .(3)(3)线段的画法线段的画法: :可用直尺先量出线段的可用直尺先量出线段的长度长度, ,再画一条等于这个长度的线段再画一条等于这个长度的线段

5、. .(4)(4)线段的基本性质线段的基本性质: :两点之间线段最短两点之间线段最短. .(5)(5)两点间的距离两点间的距离: :连结两点的线段的长度连结两点的线段的长度, ,叫做这两点间的距离叫做这两点间的距离. .(6)(6)线段的特点线段的特点: :有两个端点有两个端点, ,不能向任何不能向任何一方伸展一方伸展, ,可以度量可以度量, ,可以比较长短可以比较长短. .下面的知识点你掌握了吗？下面的知识点你掌握了吗？知识点知识点2 2：射线：射线(1)(1)射线的概念射线的概念: :把线段向一方无限延伸把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线所形成的图形叫做射线. .(2)(2)射线的表

6、示方法射线的表示方法: :可用两个大写字母可用两个大写字母表示表示, ,第一个大写字母表示它的端点第一个大写字母表示它的端点; ;也可用一个小写字母表示也可用一个小写字母表示. .(3)(3)射线的特点射线的特点: :只有一个端点只有一个端点, ,向一方无向一方无限延伸限延伸, ,无法度量无法度量, ,不能比较长短不能比较长短. .知识点知识点3:3:直线直线(1)(1)直线的概念直线的概念: :把线段向两方无限延把线段向两方无限延伸所形成的图形伸所形成的图形. .(2)(2)直线的表示方法直线的表示方法: :可用这条直线上可用这条直线上的两个点表示的两个点表示, ,也可以用一个小写字母也可以

7、用一个小写字母表示表示. .(3)(3)直线的基本性质直线的基本性质: :经过两点有一条经过两点有一条直线直线, ,并且只有一条直线并且只有一条直线. .(4)(4)直线的特点直线的特点: :没有端点没有端点, ,向两方无限向两方无限延伸延伸, ,不可度量不可度量, ,不能比较大小不能比较大小. .你能解决下列问题吗？你能解决下列问题吗？1 1、图中共有几条线段？几条射线？几、图中共有几条线段？几条射线？几条直线？能用字母表示出来的分别用条直线？能用字母表示出来的分别用字母表示出来。字母表示出来。A AB BC C2 2、判断下列说法是否正确：、判断下列说法是否正确：（1 1）延长射线）延长射

8、线OAOA；（；（2 2）直线比射线长，）直线比射线长，射线比线段长；（射线比线段长；（3 3）直线）直线ABAB和直线和直线CDCD相相交于点交于点m m；（；（4 4）A A、B B两点间的距离就是连两点间的距离就是连结结A A、B B两点间的线段。两点间的线段。3.3.用一个钉子把一根细木条钉在木板上用一个钉子把一根细木条钉在木板上, ,用手拨木条用手拨木条, ,木条能转动木条能转动, ,这表明这表明_ _ ; ;用两个钉子把用两个钉子把细木条钉在木板上细木条钉在木板上, ,就能固定细木条就能固定细木条, ,这这说明说明_。4.4.如图所示如图所示, ,一只蚂蚁要从一只蚂蚁要从圆柱体圆柱

9、体A A点沿表面尽可能点沿表面尽可能地爬到地爬到B B点点, ,因为那里有它因为那里有它的食物的食物, ,而它饿得快不行而它饿得快不行了了, ,怎么爬行路线最短怎么爬行路线最短? ?A AB B过一点有无数条直线过一点有无数条直线两点确定一条直线两点确定一条直线5.5.计算计算(1)(1)如图如图,A,A、B B、C C、D D是直线是直线l l上顺上顺次四点，且线段次四点，且线段AC=5AC=5，BD=4BD=4， 则线段则线段AB-CD=_.AB-CD=_.AB C Dl(2)(2)如图，如图，AC=8cmAC=8cm，CB=6cm,CB=6cm,如果如果O O是线是线段段ABAB的中点，

10、求线段的中点，求线段OCOC的长度。的长度。ABCO11cm（3 3）已知）已知AB=16cmAB=16cm，C C是是ABAB上一点，且上一点，且AC=10cmAC=10cm，D D为为ACAC的中点，的中点，E E是是BCBC的中的中点，求线段点，求线段DEDE的长。的长。(5)(5)已知线段已知线段ACAC和线段和线段BCBC在同一直线上，在同一直线上，若若AC=5.6cm,BC=2.4cm.AC=5.6cm,BC=2.4cm.求线段求线段ACAC的中的中点与线段点与线段BCBC中点之间的距离。中点之间的距离。8cm4cm或1.6cm探究一、有关距离问题探究一、有关距离问题1.1.如图如

11、图, ,在一条笔直的公路在一条笔直的公路a a两侧两侧, ,分别有分别有A A、B B两个村庄两个村庄, ,现要在公路现要在公路a a上建一个上建一个汽车站汽车站C,C,使汽车站到使汽车站到A A、B B两村距离之两村距离之和最小和最小, ,问汽车站问汽车站C C的位置应该如何确的位置应该如何确定定? ?aAB2.2.平原上有平原上有A A、B B、C C、D D四个村庄四个村庄, ,如图如图所示所示, ,为解决当地缺水问题为解决当地缺水问题, ,政府准备政府准备投资修建一个蓄水池投资修建一个蓄水池, ,不考虑其他因不考虑其他因素素, ,请你画图确定蓄水池请你画图确定蓄水池H H的位置的位置,

12、 ,使使它与四个村庄的距离之和最小它与四个村庄的距离之和最小. .ABCD3.3.如图如图, ,蚂蚁在圆锥底边的点蚂蚁在圆锥底边的点A A处处, ,它想绕圆锥爬行一周后回到点它想绕圆锥爬行一周后回到点A A处处, ,你能画出它爬行的最短路线吗你能画出它爬行的最短路线吗? ?A(4).(4).如图所示如图所示, ,洋河酒厂有三个住宅区洋河酒厂有三个住宅区A A、B B、C C各分别住有职工各分别住有职工3030人、人、1515人、人、1010人人, ,且这三个区在酒家大道上且这三个区在酒家大道上(A(A、B B、C)C)三点共线三点共线, ,已知已知AB=100AB=100米米,BC=200,B

13、C=200米米. .为了方便职工上下班为了方便职工上下班, ,该厂的接送车打该厂的接送车打算在此间只设一个停靠点算在此间只设一个停靠点, ,为使所有的为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小人步行到停靠点的路程之和最小, ,那么那么该停靠点的位置应设在该停靠点的位置应设在_区区. .ABC探究二探究二: :画一画，数一数，再找规律画一画，数一数，再找规律1.1.在平面内有在平面内有n n个点个点(n3),(n3),其中没有任其中没有任何三个点在一条直线上何三个点在一条直线上, ,如果过任意两如果过任意两点画一条直线点画一条直线, ,这这n n个点可以画多少条个点可以画多少条直线直线? ?2.2.

14、一条直线将平面分成两部分一条直线将平面分成两部分, ,两条直两条直线将平面分成四部分线将平面分成四部分, ,那么三条直线将那么三条直线将平面最多分成几部分平面最多分成几部分? ?四条直线将平面四条直线将平面最多分成几部分最多分成几部分?n?n条直线呢条直线呢? ?n(n-1)/2 (n2+n+2)/27部分，11部分，1.1.度量法度量法 2.2.叠合法叠合法用尺规法作一条线段等于已知线段。用尺规法作一条线段等于已知线段。3.3.线段中点的定义和简单作法。线段中点的定义和简单作法。A AC CB B或或 AB=2AC=2CBAB=2AC=2CB用用一一个大写字母表示个大写字母表示点点，用用二二

15、个大写字母表示个大写字母表示线线，用用三三个大写字母表示个大写字母表示角角，C CA AB BABCABCo oO O1 11 1角度的转化：角度的转化： 1=60 1=601=60 1=60 1=3600 1=3600角度的加减：角度的加减：1.1.同种形式相加减；同种形式相加减；2.2.度加（减）度；分加（减）分；度加（减）度；分加（减）分；秒加（减）秒秒加（减）秒3.3.超超6060进一；减一成进一；减一成60602 2 叠合法叠合法1 1 度量法度量法ABC=DEFABC=DEFABCDEFABCDEFABCDEF用尺规法作一个角等于已知角。用尺规法作一个角等于已知角。角的平分线角的平

16、分线1 1、定义：一条射线把一个角分成两个相、定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个等的角，这条射线叫做这个角的平分线角的平分线 2 2、几何语言表达：、几何语言表达： OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线O OA AB BC C1 12 21 12 2 AOBAOB或或AOBAOB2 21 1角的特殊关系角的特殊关系 2 2、与与互补，互补，是是的补的补角，角，是是的补角的补角18181 1、与与互余，互余，是是的余的余角，角，是是的余角的余角）两个角成对出现）两个角成对出现）只考虑数量关系，与位置无关）只考虑数量关系，与位置无关结论结论: : 同角同角( (等角等角)

17、 )的余角（补角）相等。的余角（补角）相等。 方向角：方向角：1 1、方位角是以正南、正北方向为基、方位角是以正南、正北方向为基准，描述物体的运动方向。准，描述物体的运动方向。2 2、北偏东、北偏东45 45 通常叫做东北方向，通常叫做东北方向， 北偏西北偏西45 45 通常叫做西北方向，通常叫做西北方向， 南偏东南偏东45 45 通常叫做东南方向，通常叫做东南方向， 南偏西南偏西45 45 通常叫做西南方向。通常叫做西南方向。3 3、方位角在航行、测绘等实际生活、方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛。中的应用十分广泛。6060东东西西南南北北练习：练习：画出表示下列方向的射线：画出表

18、示下列方向的射线：（1 1）北偏西）北偏西30 30 （2 2）北偏东）北偏东50 50 （3 3）西南方向）西南方向O OA A经过两点经过两点有一条直线有一条直线并且并且只有只有一条直线。一条直线。我们可以用下列方式表示直线：我们可以用下列方式表示直线：表示表示： 用两个大写英文字母表示，直线 AB(或直线BA)ABl表示表示： 用一个小写英文字母表示 ， 直线 lOA表示表示： 用两个大写字母表示，必须端点写在前，射线上另一个字母写在后，射线射线 OA 。l 用一个小写字母表示，射线射线 lAB表示表示：用两个端点的大写字母表示线段线段 AB(或线段或线段BA)a表示表示：用一个小写字母

19、表示 ， 线段线段 a1、线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短。2、连接两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。3、线段中点的定义和运用。4、比较线段大小的方法：叠合法和度量法。角角是由两条具有是由两条具有公共端点公共端点的的射线射线组组成的图形成的图形。公共端点公共端点顶点顶点射线射线射线射线边边边边角也可以看做一条射线绕端点旋转所角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的图形。组成的图形。角的表示方法角的表示方法OABOO1记作：记作：AOB AOB 或或BOA BOA 或或O O记作记作记作记作1 1OABA1O1B1 用尺规画角用尺规画角 你能利用圆规你能利用圆规“造出造出”一个量角

20、器一个量角器吗吗？ 你能利用圆规你能利用圆规“卡出卡出”点点吗？吗？ 用尺规画角用尺规画角OABC CD DGE EF FH圆规的作用圆规的作用： “造出造出” 一个量角一个量角器器; ; “卡出卡出” 角的大角的大小小. . 直尺的作用直尺的作用： 画射线画射线 O OA AB BC CD D）（1 13 34 42 2）（O OA AB BC CD D）（1 13 34 42 2）（ 有关概念：有关概念：邻补角：邻补角：如果两个角有如果两个角有一条公共边，它们的另一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补那么这两个角互为邻补角。角。对顶角：对顶角：如果

21、一个角的如果一个角的两边是另一个角的两边两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。两个角互为对顶角。两条直线相交有且只有一个交点两条直线相交有且只有一个交点ABCDO123(对顶角相等对顶角相等邻补角互补邻补角互补1.相等的角不一定是对顶角相等的角不一定是对顶角2.邻补角之和等于邻补角之和等于180，它们的位，它们的位置相邻，数量上互补。置相邻，数量上互补。 对顶角的性质对顶角的性质: :定定义义：当当两两条条直直线线相相交交所所成成的的四四个个角角中中，有有一一个个角角是是直直角角时时，就就说说这这两两条条直直线线互互相相垂垂直直，其其中中一一条条直直线线

22、叫叫做做另另一一条条直直线线的的垂垂线线（直直线线），它它们们的的交交点叫做点叫做垂足垂足直直 线线ABAB、 CDCD互互 相相 垂垂 直直 ， 记记 作作“ABABCDCD”或或 “CDCDABAB”，读读作作“ABAB垂直于垂直于CDCD”，如果垂足为，如果垂足为O O，记记作作“ABABCDCD，垂垂足足为为O O ”（如如图图）点到直线的距离点到直线的距离n如图，过点如图，过点A A作作l l的垂线，垂足为的垂线，垂足为B B点。点。lA.B线段线段ABAB的的长度长度叫做叫做点点A A到直线到直线l l的距的距离离。( (垂线段垂线段) )两两条条直直线线相相交交一一般般情情况况垂

23、线垂线对顶角：相等对顶角：相等邻补角：互补邻补角：互补垂线的存在垂线的存在性和唯一性性和唯一性特殊特殊情况情况相交成相交成直角直角垂线的性质：垂线的性质：1.1.过一点有且只有一条直线与已知过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线垂直. .2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短或说成垂线段最短中，垂线段最短或说成垂线段最短一一.平行线的定义：平行线的定义：在在同一平面内同一平面内，不相交不相交的两条直线的两条直线叫做平行线。叫做平行线。结论：在同一平面内，两直线的位置结论：在同一平面内，两直线的位置 关系有平行与相交两种。关系有平行与相交两种

24、。 经过直线外一点，有且只有一条经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理）直线与这条直线平行（平行公理）平行公理的推论：平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行几何语言表达：几何语言表达：cbaa/b(如果两条直线都如果两条直线都和第三条直线平行，那么和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行这两条直线也互相平行）a/c,c/b(已知）已知）判定两条直线平行的方法：判定两条直线平行的方法：方法：方法：同同位角相位角相等等，两两直线平直线平行行方法：方法：内内错角相错角相等等，两两直线平直线平

25、行行方法：方法：同同旁内角互旁内角互补补，两两直线平直线平行行方法方法4：如果：如果两两条直线都与第条直线都与第三三条直线平条直线平行行，那么这两条直线也，那么这两条直线也互相互相平平行行.性质：两直线平行，同位角相等性质：两直线平行，内错角相等性质：两直线平行，同旁内角互补abc1234平行线的性质：平行线的性质：余角、补角的概念：余角、补角的概念：余角、补角的性质：余角、补角的性质：（1）和为和为90的两个角称互为余角；的两个角称互为余角；（2）和为和为180的两个角称互为补角；的两个角称互为补角；（1）同角或等角的余角相等；同角或等角的余角相等；（2）同角或等角的补角相等；同角或等角的补

26、角相等；今天我们学了什么？今天我们学了什么？1+2=901+2=180同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等互互余余互互补补数量数量关系关系对对应应图图形形性性质质2112两条平行直线被第三条直线直线所截，两条平行直线被第三条直线直线所截，同位角相等，同位角相等，同位角相等，同位角相等， 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。判定定理判定定理性质定理性质定理条件条件条件条件结论结论结论结论条件条件条件条件结论结论结论结论内错角相等，内错角相等，内错角相等，

27、内错角相等， 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补判断正确或者错误的句子叫做判断正确或者错误的句子叫做命题命题，正确的命题称为正确的命题称为真真命题命题，错误的命题称为错误的命题称为假假命题命题。反之，如果一个句子没有对某一件事情作出反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。任何判断

28、，那么它就不是命题。例如：例如：（1 1）你喜欢数学吗？）你喜欢数学吗？（2 2）做线段）做线段AB=CDAB=CD 下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？假命题？1 1、羊有四只脚；、羊有四只脚；2 2、三角形两边之和大于第三边；、三角形两边之和大于第三边；3 3、画一条曲线；、画一条曲线；4 4、四边形都是菱形；、四边形都是菱形；5 5、你的作业做完了吗？、你的作业做完了吗？ 6 6、同位角相等，两直线平行；、同位角相等，两直线平行；7 7、对顶角相等；、对顶角相等；8 8、多边形的内角和等于、多边形的内角和等于180180度；

29、度；9 9、过点、过点P P做线段做线段MNMN的垂线。的垂线。是是 真命题真命题不是不是是是 真真命题命题是是假假命题命题不是不是不是不是是是真真真真命题命题命题命题是是是是真真真真命题命题命题命题是是是是假假假假命题命题命题命题不是不是不是不是命题是由命题是由题设题设（或条件）和（或条件）和结论结论两两部分组成部分组成 题设题设是已知事项，是已知事项，结论结论是由已是由已知事项推出的事项知事项推出的事项 用用“如果如果”开始的部分开始的部分是题设是题设，用，用“那么那么”开始的部分开始的部分是结论是结论例如，例如，“两个三角形的三条边相等两个三角形的三条边相等”是题设是题设， “两个三角形

30、全等两个三角形全等”是结论。是结论。 命题一般都写成命题一般都写成“如果如果,那么那么”的形式。你能在下面的命题都的形式。你能在下面的命题都写成写成“如果如果,那么那么”的形式的形式吗吗? ?(1)(1)熊猫没有翅膀；熊猫没有翅膀；(2)(2)对顶角相等；对顶角相等；如果如果这个动物是熊猫，这个动物是熊猫，那么那么它就没有它就没有翅膀。翅膀。如果如果两个角是对顶角，两个角是对顶角，那么那么它们就它们就相等。相等。 命题一般都写成命题一般都写成“如果如果,那么那么”的形式。你能在下面的命题都的形式。你能在下面的命题都写成写成“如果如果,那么那么”的形式的形式吗吗? ?(3)(3)全等三角形的对应

31、边相等；全等三角形的对应边相等；如果如果两个三角形全等，两个三角形全等，那么那么它们的它们的对应边就相等。对应边就相等。(4)(4)平行四边形的对边相等；平行四边形的对边相等；如果如果一个四边形是平行四边形，一个四边形是平行四边形，那么那么它的对边就相等。它的对边就相等。公理与定理公理与定理数学中有些命题的正确性是人们在长期数学中有些命题的正确性是人们在长期实践实践中总结中总结出来的，并把它们作为判断其他命题出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真假的原始依据，这样的真命题叫做真命题叫做公理公理。有些命题可以从公理或其他真命题出发，有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理

32、的方法判断它们是正确的，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的的依据，这样的真命题叫做真命题叫做定理定理“全等三角形的对应角、对应边全等三角形的对应角、对应边分别相等分别相等” “直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余”公理公理定理定理知识结构知识结构 相交线相交线平平面面内内直直线线的的位位置置关关系系平行线平行线两条直线相交两条直线相交两条直线被第两条直线被第三条直线所截三条直线所截邻补角邻补角对顶角对顶角对顶角对顶角 相等相等垂线及垂线及其性质其性质点到直点到直线距离线距离 同位角同位角 内错角内错角

33、同旁内角同旁内角平行公理平行公理 平平 移移条件条件性性 质质三线八角三线八角A AB BC CD DE EF F123 4567 8同位角是：同位角是：1和和8 8；2 2和和7 7；3 3和和6 6； 4 4和和5.5.内错角是：内错角是：1 1和和6 6； 2 2和和5.5.同旁内角是：同旁内角是： 1 1和和5 5；2 2和和6.6.一、知识回顾 平行线的判定：平行线的判定： 1、同位角相等，两直线平行。、同位角相等，两直线平行。2、内错角相等，两直线平行。、内错角相等，两直线平行。3、同旁内角互补，两直线平行。、同旁内角互补，两直线平行。4、平行于同一条直线的两条直线平行。、平行于同

34、一条直线的两条直线平行。（平行线的传递性）（平行线的传递性） 5、垂直于同一条直线的两条直、垂直于同一条直线的两条直 线平行。线平行。一、知识回顾 平行线的性质：平行线的性质： 1、两直线平行，同位角相等。、两直线平行，同位角相等。2、两直线平行，内错角相等。、两直线平行，内错角相等。3、两直线平行，同旁内角互补。、两直线平行，同旁内角互补。 1. 1. 如图如图, ,直线直线EFEF过点过点A, DA, D是是BABA延长线上延长线上的点的点 , ,具备什么条件时具备什么条件时, ,可以判定可以判定EF BC EF BC ? ? 为什么为什么 ? ?BCEFDA4、如果两个角的一对边在同一直

35、线上，另一对边、如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角（互相平行，则这两个角（ ） (A)相等相等 (B)互补互补 (C)相等或互余相等或互余 (D)相等或互补相等或互补5、下列说法中，错误的是（、下列说法中，错误的是（ ）(A)两直线平行，同位角的平分线互相平行两直线平行，同位角的平分线互相平行(B)两直线平行，内错角的平分线互相平行两直线平行，内错角的平分线互相平行(C)两直线平行，同旁内角的平分线互相平行两直线平行，同旁内角的平分线互相平行(D)两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直二、填空二、填空1 1、（、（1 1） 1的余角为

36、的余角为28，则，则1=度；度； （2 2）一个角等于它的余角，则这个角的度数是一个角等于它的余角，则这个角的度数是_； （3 3）一个角比它的余角的一个角比它的余角的2倍大倍大120，则这个角的，则这个角的度数为度数为；2 2、如图、如图1 1，3 3与与4 4是是 角；角；1 1与与3 3是是 角；角；3 3与与5 5是是 角；角；3 3与与7 7是是 角。角。3 3、如图、如图2 2，是由两个相同的直角三角形，是由两个相同的直角三角形ABCABC和和FDEFDE拼成的，拼成的，则图中与则图中与A A相等的角有相等的角有 个，分别是个，分别是 ；1 1与与A A关系是关系是 ；2 2与与1

37、 1的关系是的关系是 ；如图8，4 4、ACBACB与与1 1是两条直线是两条直线 和和 被第三条直线被第三条直线 所截，构成的所截，构成的 角；角；A A与与1 1是两条直线是两条直线 和和 被直线被直线 所截的，所截的，构成的构成的 角；角；2 2和和ACDACD是两条直线是两条直线 和和 被直线被直线 所截，所截，构成的构成的 角；角；B B和和BDEBDE是两条直线是两条直线 和和 被直线被直线 所截，所截，构成的构成的 角。角。 二、问题研讨 3.如图，不能判别如图，不能判别AB CD的条件是（的条件是（）A. B+ BCD=180B. 1= 2C. 3= 4D. B= 54.4.如

38、图，已知如图，已知AOBAOB是一条直线，是一条直线，OMOM平分平分BOCBOC，ONON平分平分 AOCAOC，则图中互补的角有几对？，则图中互补的角有几对？则其中互余的角有几对？则其中互余的角有几对？B3对对4对对1、命题：、命题：对顶角相等；对顶角相等；垂直于同一条垂直于同一条直线的两直线平行；直线的两直线平行；相等的角是对顶角；相等的角是对顶角；同位角相等，其中假命题有（同位角相等，其中假命题有（）A、1个个B、2个个C、3个个D、4个个一、选择题：一、选择题：1.如如图，已知：，已知：1= 2，1= B，求求证：AB EF，DE BC。证明：由证明：由1= 2（已知），（已知），根

39、据：根据：.得得AB EF.又由又由1= B（）.根据：同位角相等，两直线平行根据：同位角相等，两直线平行得得.FAEDCB12内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行已知已知DEBC2.如图，已知：已知：1+ 2=180，求证：求证：AB CD.证明：由：证明：由：1+2=180(1+2=180(已知已知) )， 1=31=3（对顶角相等）（对顶角相等）. . 2=4 2=4（ ）根据：等量代换根据：等量代换得：得：3+3+ =180.=180.根据：同旁内角互补，两直线平行根据：同旁内角互补，两直线平行得：得： . .4123ABCEFD对顶角相等对顶角相等4 4AB CDAB CD3

40、.如图，已知：已知：DAF= AFE，ADC+ DCB=180，求证：，求证：EF BC证明：由：证明：由：DAF= AFE（）根据：根据：.得：得：AD .由：由：ADC+=180（已知）（已知）.根据：根据：.得：得：AD .再根据：再根据：.得：得：EF BCADBCFE已知已知内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行EFDCB同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行BC平行于同一直线的两条直线互相平行平行于同一直线的两条直线互相平行4.如图，已知：已知：2= 3，1+ 3=180，求证：求证：EF GH. 证明：由：证明：由：2= 3（已知）（已知）1+ 3=180（）根据

41、：根据：.得：得：1+ 2=180.根据：根据：.得：得：。231ABCDEFGH已知已知等量代换等量代换同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行EF GH5.如图，已知：已知：1= 2，BD平分平分ABC，试说明，试说明AD BC. 证明：由证明：由BD平分平分ABC（已知），（已知），根据：根据：.得：得：2= 3.又由：又由：2= 1（已知）（已知）根据：根据：.得：得：3=.根据：内错角相等，两直线平行根据：内错角相等，两直线平行.得：得：.BACD123角平分线定义角平分线定义等量代换等量代换1ADBC6.如图，已知：已知：AB CD，AE BD，试说明试说明ABD= E.

42、证明：由证明：由（已知），（已知），根据：两直线平行，内错角相等根据：两直线平行，内错角相等得：得：ABD=.由由AE BD（）.根据：根据：.得得BDC= E.再根据：等量代换再根据：等量代换得：得：=.ABCEDAB CDBDC已知已知两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等ABD E7.如图，已知：已知：AC DE，1= 2，试说明试说明AB CD. 证明：由证明：由AC DE（已知），（已知），根据：两直线平行，内错角相等根据：两直线平行，内错角相等.得得ACD=.又由又由1= 2（已知）（已知）.根据：根据：.得得1= ACD.再根据：再根据：.得得.ADBE12C2等量代换等量

43、代换内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行ABCD8.如图，已知：如图，已知：AB CD，1=55 2=80，求求3的度数的度数.123ABCEFD9.如图，已知：如图，已知：AB CD，A=70 DHE=70,求证：求证：AM EFFMEABCDHG10、推理填空，如图B；ABCD（）；DGF；CDEF（）；ABEF；B180（）；1111、如、如图：（1） EFABEFAB，（已知），（已知） 1=1= （ ）；）；（2） 3= （已知）（已知） ABEF ABEF （ ）；）；（3） A= （已知）（已知） ACDF ACDF （ ）；）； （4）2+ =1800（已知）（已知）

44、DEBC DEBC （ ）；）； （5）ACDF（已知）（已知） 2=2= （ ）；）；（6） EFAB（已知）（已知） FCA+FCA+ =180=1800 0（ ）；）；BADC12、如如图图，已已知知A A A A与与与与D D D D互互互互补补补补，可可可可以以以以判判判判定定定定哪哪哪哪两两两两直直直直线线线线平平平平行行行行？ B B B B与与与与哪哪哪哪个个个个角互补，可以判定直线角互补，可以判定直线角互补，可以判定直线角互补，可以判定直线AD AD AD AD BC？2 1 E D C A B 3 4 13、如如图图，由由下下列列条条件件可可以以判判定定图图中哪两条直线平行

45、，说明理由。中哪两条直线平行，说明理由。（1 1 1 1）若）若）若）若1= B1= B1= B1= B，则，则，则，则AD AD AD AD _BC（3 3 3 3）若）若）若）若1= D1= D1= D1= D，则，则，则，则AB AB AB AB _（4 4 4 4）若若若若2+3+B=180 2+3+B=180 2+3+B=180 2+3+B=180 ， 则则则则_ _ _ _ _（2 2 2 2）若）若）若）若3= 43= 43= 43= 4，则，则，则，则BC BC BC BC _ADCDADBC14、已知：如图，、已知：如图，ABDE，1=2，则，则AE与与DC平行吗？完成下列推

46、理，并把每一步的依据填平行吗？完成下列推理，并把每一步的依据填写在后面的括号内写在后面的括号内证明：证明：ABDE （已知）（已知） 1=AED（ ） 1=2 （已知）（已知） = （ ） AEDC（ ）两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等AED2等量代换等量代换内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行1515、如、如图：（1） EFABEFAB，（已知），（已知） 1=1= （ ）；）；（2） 3= （已知）（已知） ABEF ABEF （ ）；）；（3） A= （已知）（已知） ACDF ACDF （ ）；）； （4）2+ =1800（已知）（已知） DEBC DEBC （ ）

47、；）； （5）ACDF（已知）（已知） 2=2= （ ）；）；（6） EFAB（已知）（已知） FCA+FCA+ =180=1800 0（ ）；）；16、已知，如图，、已知，如图，BCE、AFE是直线，是直线，AB CD，1= 2，3= 4。求证：求证：AD BE。证明：证明：AB CD（已知）（已知）4= （）3= 4（已知）（已知）3= （）1= 2（已知）（已知）1+ CAF= 2+ CAF（）即即= 3= （）AD BE（）1717、如、如图：（1） EFABEFAB，（已知），（已知） 1=1= （ ）；）；（2） 3= （已知）（已知） ABEF ABEF （ ）；）；（3） A=

48、 （已知）（已知） ACDF ACDF （ ）；）； （4）2+ =1800（已知）（已知） DEBC DEBC （ ）；）； （5）ACDF（已知）（已知） 2=2= （ ）；）；（6） EFAB（已知）（已知） FCA+FCA+ =180=1800 0（ ）；）；18、已知，如图，、已知，如图，BCE、AFE是直线，是直线，AB CD，1= 2，3= 4。求证：求证：AD BE。证明：证明：AB CD（已知）（已知）4= （）3= 4（已知）（已知）3= （）1= 2（已知）（已知）1+ CAF= 2+ CAF（）即即= 3= （）AD BE（）(1). (1). （2006年东莞）年东莞

49、）能由能由AOBAOB平移而得的平移而得的图形是哪个？图形是哪个？ABCDEFO（2）（）（2006年四川省广安市）如图，年四川省广安市）如图，AB CD，若ABE=120o DCE=35o，则 BEC =_ABECD中考题我能行! 二、问题研讨 1.1.在同一平面内，两条直线的位置关系是（在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）A.A.相交相交 B. B.平行平行 C. C.相交或平行相交或平行 D.D.相交相交、平行平行或垂直或垂直2.2.三条直线两两相交，当三条直线相交于一点时，三条直线两两相交，当三条直线相交于一点时，对顶角的对数为对顶角的对数为m m，当三条直线不相交于一点时，当三条

50、直线不相交于一点时，对顶角的对数为对顶角的对数为n n，则，则m m与与n n的关系是（的关系是（ ）A.mA.mn B.m=n C.mn B.m=n C.mn D.n D.无法确定无法确定cB3 3、如图、如图, ,已知已知ABCD,ABCD,则下列结论正确的是则下列结论正确的是( ( ） 1= 2; 3= 6; 4+ 7=180;5+ 8=180A. 1个；个；个；个个；个；个；个4、如图、如图,要得到要得到DE BC,则需要满足的条件则需要满足的条件是是( ) A.2+5=180;B.3+5=180;C.2=4; D.1=2.5、如图所示，要使、如图所示，要使ABCD，只需，只需要添加一

51、个条件，这个条件是要添加一个条件，这个条件是 .(填一个你认为正确的条件即可填一个你认为正确的条件即可)6、如图所示，、如图所示，DEBC，DFAC，则图中与，则图中与C相等的角有相等的角有 个个.命命 题题定义定义结构结构形式形式真假真假能够把一个命题写成能够把一个命题写成”如果如果那么那么的形式的形式判断一件事情的语句，叫做判断一件事情的语句，叫做命题命题题设、结论题设、结论“如果如果那么那么”命题命题（1）同角的补角相等；）同角的补角相等；（2）等角的余角相等；）等角的余角相等；（3）互补的角是邻补角；）互补的角是邻补角；（4）对顶角相等；）对顶角相等；7.说出下列命题的题设与结论：说出

52、下列命题的题设与结论：课堂练习课堂练习1、下列命题是真命题的有（、下列命题是真命题的有（ ）A、相等的角是对顶角、相等的角是对顶角 B、不是对顶角的角不相等、不是对顶角的角不相等C、对顶角必相等、对顶角必相等 D、有公共顶点的角是对顶角、有公共顶点的角是对顶角E 、邻补角的和一定是邻补角的和一定是180度度F、互补的两个角一定是邻补角互补的两个角一定是邻补角G、两条直线相交两条直线相交,只要其中一个角的大小确定只要其中一个角的大小确定 了那么另外三个角的大小就确定了了那么另外三个角的大小就确定了 C、E、G 8.8.下列说法正确的有下列说法正确的有( )( ) 对对顶顶角角相相等等;相相等等的

53、的角角是是对对顶顶角角;若若两两个个角角不不相相等等, ,则则这这两两个个角角一一定定不不是是对对顶顶角角;若若两两个个角角不不是是对对顶顶角角, ,则则这这两两个个角角不不相相等等. . A. 1个个 B. 2个个 C. 3个个 D. 4个个 7. 7. 如图如图OAOC，OBOD，且且BOC，则，则AOD=_ B1801800 0-ABCDO9.如图，已知如图，已知AB CD，直线，直线EF分别交分别交AB、CD于点于点E、F，BEF的平分线与的平分线与DFE的平分线的平分线相交于点相交于点P，你能说明，你能说明P的度数吗？为什么？的度数吗？为什么？10、如图、如图,已知已知AD BC,E

54、F BC, 1= 2.求证求证:DG BA.11、如图，已知、如图，已知1= 2，C= D，求证：求证：A= F12、如图， ABCD，EF平分GFD，GF交AB与M，GMA=52，求BEF的度数。13、如图，已知、如图，已知1= 2，BAD= BCD，则下列结论则下列结论(1)AB/CD；(2)AD/BC；(3) B= D；(4) D= ACB。其中正确的有（其中正确的有（）A、1个个B、2个个C、3个个D、4个个ABCD1214、如图、如图,要得到要得到DE BC,则需要满足的条件则需要满足的条件是是( ) A.2+5=180;B.3+5=180;C.2=4; D.1=2.15.如图,是一

55、个经过改造的台球桌面的示意图,图中,四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出(球经过多次反射),那么球最后将落入的球袋是( ) A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋16.如图，在长方形如图，在长方形ABCD中，中，ADB20，现将这一长方形纸片沿现将这一长方形纸片沿AF折叠，若使折叠，若使AB BD，则折痕则折痕AF与与AB的夹角的夹角BAF应为多少度？应为多少度？17.17.如图，已知如图，已知DEDE、BFBF分别平分分别平分ADC ADC 和和ABCABC，1 =21 =2， ADC= ABC ADC= ABC 说明说明ABCDABCD的的理由。理

56、由。18、如图，已知、如图，已知1+ 2=180，3= B，试判，试判断断AED与与C的大小关系，并对结论进行说理。的大小关系，并对结论进行说理。19、求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。20、已知：如图D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，DEBA，DFCA求证：FDE=A解答题：解答题：1 1、如图、如图，BCDEBCDE，小颖用量角器分别画出，小颖用量角器分别画出ABCABC、ADEADE的角平分线的角平分线BGBG、DHDH，想一想，小颖所画的这，想一想，小颖所画的这两条射线两条射线BGBG和和DHDH会平行吗？为什么？会平行吗？为什么？GHPGH2、如图，已知

57、、如图，已知1= 2，C= D，求证：求证：A= F3、如图， ABCD，EF平分GFD，GF交AB与M，GMA=52，求BEF的度数。4 4、已知：、已知：ABCDABCD。试探索。试探索A A、C C与与AECAEC之间的关系；之间的关系；B B、D D与与BFDBFD之间的关系。之间的关系。ABCDEF几 何之 旅1234l5、ABCD，分别探讨下面四个图形中，分别探讨下面四个图形中APC与与PAB，PCD的关系，并请的关系，并请你从所得四个关系式中任意选一个说明你从所得四个关系式中任意选一个说明理由理由.6、如图，折线、如图，折线APB是夹在两平行线是夹在两平行线a和和b之之间的一条折

58、线间的一条折线.(1)试探求试探求与与、之间的关系；之间的关系；(2)试改变问题中的某些条件时，又有怎样的试改变问题中的某些条件时，又有怎样的结论呢？结论呢？7、（、（1）如图， AD BC，试问试问2与与1、3的关的关系是什么？为什么？系是什么？为什么？v（3）如图）如图，AD BC，你又有什么发现？，你又有什么发现？v（2）如图）如图，AD BC，试问试问2+ 4与与1+ 3+ 5哪个大？为什么？哪个大？为什么？8、已知、已知AB DC，B=80，D=140，求，求BCD的度数。的度数。9如图ABCD，1=140，2=90，则3的度数是( ) A40 B45 C50 D6010已知，如图，

59、已知，如图，AB CD，则，则、之间之间的关系为（的关系为（）A360B180C180D1802、已知、已知AOB及两及两边上的点上的点M、N（如（如图）请用尺用尺规分分别过点点M、N作作OB、OA的平行的平行线，不写作法，保留作不写作法，保留作图痕迹。痕迹。尺规作图：尺规作图：3 3、辨析与比较：、辨析与比较：如图，是两块相同的三角尺拼接成的一个如图，是两块相同的三角尺拼接成的一个图形，请找出图中互相平行的边。图形，请找出图中互相平行的边。A1BCDAC1ABCDBA1C= DC1AAB CD AC1B= DA1CA1D BC1若其中一块三角尺沿着重合的边向下滑动若其中一块三角尺沿着重合的边

60、向下滑动（如图所示），原来平行的边还平行吗？你（如图所示），原来平行的边还平行吗？你知道其中的道理吗？知道其中的道理吗？ABCDE1F24 4、操作与解释：、操作与解释：v数学课上有这样一道题：数学课上有这样一道题：“如图，以点如图，以点B B为顶点为顶点, ,射线射线BCBC为一边，利用尺规作为一边，利用尺规作EBCEBC，使得，使得EBC=AEBC=A，EBEB与与ADAD一定平一定平行吗？行吗？”。小王说。小王说“一定平行一定平行”；而；而小小李说李说“不不一定平行一定平行”。你更赞同谁的观。你更赞同谁的观点？点？5 5、探索与思考：、探索与思考：1.1.有一条直的等宽纸带，按如图所有一

61、条直的等宽纸带，按如图所示折叠时，示折叠时，1=30求纸带重叠求纸带重叠部分中部分中CAB的度数。的度数。ABC1234EF8、如图，已知、如图，已知1+ 2=180，3= B，试判断，试判断AED与与C的大小关系，并对结论进行说理。的大小关系，并对结论进行说理。三角形的性质三角形的性质（1）边的性质：）边的性质：三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之差小于第三边三角形的两边之差小于第三边（2）角的性质：）角的性质：三角形三内角和等于三角形三内角和等于180度度三角形的一个外角等于和它不相邻的三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和两个内角之和辨一辨：辨一辨：1

62、 1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填三角形吗？（单位：厘米。填“能能”或或“不能不能”) ) （1 1）3 3，4 4，5 5（ ）（2 2）8 8，7 7，1515（ ） （3 3）1313，1212，2020（ ） （4 4）5 5，5 5，1111（ ）不能不能不能不能能能能能直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形2 2、三角形按内角的大小分为三类：、三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形；锐角三角形；直角三角形；直角三角形；钝角三角形。根据下列条件判断它们钝角三角形。根据下列条件判断它们是什么三角形

63、？是什么三角形？（1 1）三个内角的度数是）三个内角的度数是1:2:31:2:3（ ）（2 2）两个内角是）两个内角是5050和和3030（ ）c c3 3、三角形的两边长分别是、三角形的两边长分别是3 3和和5 5，第三边，第三边a a的取的取值范围（值范围（ ） A A、2a2a8 B8 B、2 2a8 a8 C C、2 2a a8 D8 D、2a82a84 4、以下各组线段，能组成三角形的是（）、以下各组线段，能组成三角形的是（） A.2cm,2cm,4cm B.3cm,6cm,8cmA.2cm,2cm,4cm B.3cm,6cm,8cmC.2cm,3cm,6cm D.4cm,6cm,1

64、1cmC.2cm,3cm,6cm D.4cm,6cm,11cmB5 5、在、在ABCABC中，若中，若A=54A=54，B=36B=36，则，则ABCABC是（是（ ）A A、锐角三角形、锐角三角形 B B、钝角三角形、钝角三角形C C、直角三角形、直角三角形 D D、等腰三角形、等腰三角形C C6 6、如图、如图, ,在在ABCABC，A=75B=45A=75B=45则则ACD=_ACD=_120。 （第（第8 8题）题） （第（第9 9题）题）8 8、如上图，、如上图，1=601=60，D=20D=20，则，则A=A= 度度9 9、如上图，、如上图，ADBCADBC，1=401=40，2=

65、302=30，则则B=B= 度，度，C=C= 度度7或或9100505060607 7、一个三角形的两边长分别是、一个三角形的两边长分别是3 3和和8 8，而第三边长，而第三边长为奇数，那么第三边长是为奇数，那么第三边长是 _ _ ACOBlCA=CB点点C在在上上 5、是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等等。1 1、三角形的中线的概念、三角形的中线的概念2 2、三角形的角平分线的概念、三角形的角平分线的概念3 3、三角形的高线的概念、三角形的高线的概念4 4、线段的垂直平分线的概念、线段的垂直平分线

66、的概念ABCPPB=PCPB=PCPB AB,PC AC, 、点点P是是BAC的平分线上的的平分线上的一点且一点且角平分线上点到角两边距离相等角平分线上点到角两边距离相等.2 2、如图、如图,CE,CF,CE,CF分别是分别是ABCABC的的内角平分线和外角平分线内角平分线和外角平分线, ,则则ECFECF的度数的度数=_=_度度. .BCDFEA3. 3. 在在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的中线，已知边上的中线，已知AC=3AC=3，ABDABD和和ACDACD的周长的差是的周长的差是2 2，你能求出，你能求出ABAB的长吗？的长吗？练一练练一练: :90901 1或或5 5

67、1 1、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形 的是（的是（ ）A A、中线、中线 B B、高线、高线 C C、角平分线、角平分线 D D、边上的中垂线、边上的中垂线A A5 5、如图，在、如图，在ABCABC中，中，BDBD平分平分ABCABC，CECE是是ABAB边上的高，边上的高，BDBD，CECE交于点交于点P P。已知。已知ABC=60ABC=600 0，ACB=70ACB=700 0, , 求求ACEACE，BDCBDC的度数。的度数。40400 080800 0ABCEDF4.如图，如图，AD、BF都是都是 ABCABC的高的高的高

68、的高线，若线，若线，若线，若CAD=30CAD=30CAD=30CAD=30度，则度，则度，则度，则CBF=_CBF=_CBF=_CBF=_度。度。度。度。30306 6、如图在、如图在ABCABC，C=90C=90，BDBD平分平分ABCABC，交，交ACAC于于D D。若。若DC=3DC=3，则点，则点D D到到ABAB的距离是的距离是_。E37 7、如图，如图，ABCABC中中,DE,DE垂直平分，垂直平分，AE=AE=cm, ABDcm, ABD的周长是的周长是9cm,9cm,则则ABCABC的周长是的周长是_._.ABCDE15 cm15 cm 8 8、如、如图，已知，已知ABCAB

69、C中，中，B=45B=45，C=75C=75，ADAD是是BCBC边上的高，上的高，AEAE是是BACBAC的平分的平分线，则DAE=DAE= ； 15150 09、如、如图，BE、CF是是ABC 的角平分的角平分线，A=40求求BOC度数度数1101100 0改变条件：改变条件：1 1、如图，、如图，BEBE、CFCF是是ABC ABC 的外角平分线，的外角平分线，A=40A=40求求BOCBOC度数度数70700 02 2、如、如图，BEBE、CFCF分分别是是ABC ABC 的内角与外角平的内角与外角平分分线，A=40A=40求求BOCBOC度数度数20200 0全等图形：全等图形：全等

70、三角形：全等三角形：基础知识基础知识能够完全重合的两个图形能够完全重合的两个图形能够完全重合的两个三角形能够完全重合的两个三角形三角形全等的判定方法三角形全等的判定方法（1 1）边边边（）边边边（SSSSSS）（2 2）边角边（）边角边（SASSAS）三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等（3 3）角边角（）角边角（ASAASA）两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等（4 4）角角边（）角角边（AASAAS）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两角

71、及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等全等三角形的全等三角形的对应边对应边相等；相等；全等三角形的全等三角形的对应角对应角相等；相等；全等三角形的全等三角形的对应线段对应线段相等；相等；全等三角形的全等三角形的面积面积相等。相等。全等三角形的性质：全等三角形的性质：平移类平移类旋转类旋转类翻转类翻转类综合类综合类ABCD1 1、如图，已知、如图，已知AC=DBAC=DB，ACB=DBCACB=DBC，则有，则有ABCABC ，理由是，理由是 ， 且有且有ABC=ABC= ，AB=AB= ；2 2、如图，已知、如图，已知ADAD平分平分BACBAC， 要使要使ABDACDABDACD，根据根据

72、“SAS”SAS”需要添加条件需要添加条件 ；根据根据“ASA”ASA”需要添加条件需要添加条件 ；根据根据“AAS”AAS”需要添加条件需要添加条件 ；ABCDDCBDCBSASSASDCBDCBDCDCAB=ACAB=ACBDA=CDABDA=CDAB=CB=C3 3 3 3、判断题：、判断题：、判断题：、判断题：（1 1 1 1）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等等等等. . . .（ ）（2 2 2 2）有三角对应相等的两个三角形全等。）

73、有三角对应相等的两个三角形全等。）有三角对应相等的两个三角形全等。）有三角对应相等的两个三角形全等。 （ ）（3 3 3 3）成轴对称的两个三角形全等。（）成轴对称的两个三角形全等。（）成轴对称的两个三角形全等。（）成轴对称的两个三角形全等。（ ）（4 4 4 4）面积相等的两个三角形全等。）面积相等的两个三角形全等。）面积相等的两个三角形全等。）面积相等的两个三角形全等。 （ ）（5 5 5 5）含有）含有）含有）含有60606060角的两个直角三角形全等。角的两个直角三角形全等。角的两个直角三角形全等。角的两个直角三角形全等。 （ ）4 4、如图、如图、如图、如图, ,已知已知已知已知AC

74、AC平分平分平分平分BCDBCDBCDBCD, ,要说明要说明要说明要说明 ABCABCADC,ADC,还需还需还需还需要增加一个什么条件要增加一个什么条件要增加一个什么条件要增加一个什么条件? ?请说明理由。请说明理由。请说明理由。请说明理由。DCAB或或或或 BAC= DACBC=CD或或或或 B= D5 5、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，E E、F F分分别为别为ABAB、ACAC上的点，且上的点，且AE=AFAE=AF，BFBF与与CECE相交于点相交于点O O。AOFEBC（1 1）图中有哪些全等的三角形？）图中有哪些全等的三角形？EBCFCBEBCFC

75、B（SSSSSS）EBOFCOEBOFCO（AASAAS）（2 2）图中有哪些相等的线段？）图中有哪些相等的线段？（3 3）图中有哪些相等的角？）图中有哪些相等的角？6 6、如如图图1 1，点点D D在在ABAB上上，点点E E在在ACAC上上，CDCD与与BEBE相相交交于于点点O O，且且AD=AEAD=AE，AB=ACAB=AC。若若B=20B=200 0， CD=5cmCD=5cm， 则则 C=_C=_，BE=_BE=_ 图1 图27 7、如图、如图2 2，若，若OB=ODOB=OD，A=CA=C，若，若AB=3cm,AB=3cm,则则CD=_ CD=_ 8 8、已知：如图，、已知：如

76、图，CDCDABAB，BEBEACAC，垂足分，垂足分别为别为D D、E E，BEBE、CDCD相交于相交于O O点，点，1=21=2，图中全等的三角形共有图中全等的三角形共有( )( )A A1 1对对 B B2 2对对 C C3 3对对 D D4 4对对 D205cm3cmODBECA1 2阅读下题及其说理过程：阅读下题及其说理过程：已知：如图，是已知：如图，是中边上的中点，中边上的中点，说明，说明的理由。的理由。解：在和中解：在和中ABCDE问：上面说理过程是否正确？若正确，请写出每一步问：上面说理过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理根据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出的推理根据

77、；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的推理过程你认为正确的推理过程例例1 1、已知如图，已知如图，ABABACAC，AOAO平分平分BACBAC，请说明，请说明(1)ABOACO(1)ABOACO；（；（2 2）DODOEOEO的理由的理由. .A AB BC CO OD DE E1 1 2 23 34 4解解（1 1） AOAO平分平分BACBAC1=21=2（已知）（已知）（角平分线定义）（角平分线定义）在ABOABO和和ACOACO中中AB=ACAB=ACAO=AOAO=AO（已知）（已知）（公共边）（公共边） ABOACOABOACO（SASSAS）（2）ABOACOABOA

78、CO B=C OB=0CB=C OB=0C（全等三角形的对应角、（全等三角形的对应角、对应边相等）对应边相等）1=21=2在在BODBOD和和COECOE中中3= 43= 4OB=0COB=0CB=CB=C（对顶角相等）（对顶角相等） BODCOEBODCOE（ASAASA）DO=EODO=EO（全等三角形的（全等三角形的对应边相等）对应边相等）例例2 2、如图，如图，ADAD是是ABCABC的高，且的高，且ADAD平分平分BACBAC，请指出请指出B B与与C C的关系，并说明理由的关系，并说明理由。 A AB BC CD D解：解：是是的高的高 平分平分在在和和中，中， CBDECBDCB

79、DABEABEACB = AB CB = AB SSBDBD=BEBEACBD = ABECBD = ABEEBD -EBC = ABC -EBCEBD -EBC = ABC -EBCEBD = ABC = 60EBD = ABC = 60例例3 3、如图，已知如图，已知:ABC:ABC和和BDEBDE是等边三角形，是等边三角形，D D在在AEAE的延长线上。求证：的延长线上。求证：CBDABECBDABEABCDE变式变式1 1、如图，已知：如图，已知：ABCABC和和BDEBDE是等边是等边三角形，三角形，D D在在AEAE的延的延 长线上。长线上。求证：求证：BD + DC = AD B

80、D + DC = AD ACDEBCBD ABECBD ABE CBA+ DBA = EBD+ DBA CBA+ DBA = EBD+ DBA CBA= EBD= 60CBA= EBD= 60CB= ABCB= ABDB = EBDB = EBCBD= ABECBD= ABE变式变式2 2、如图，已知：点如图，已知：点C C、B B、E E在同一条在同一条直线上，直线上，ABCABC和和BDEBDE是等边三角形。是等边三角形。求证：求证： CBDABECBDABE ACDEBGH变式变式3 3、 如图，已知如图，已知ABCABC和和DEBDEB等边三角等边三角形形 。C C，B B，E E在一

81、条直线上在一条直线上 求证：求证： BG = BHBG = BH。 例例4 4、如图，在如图，在AFD和和BEC中，点中，点A、E、F、C在同一直线上，有下列四个论断：在同一直线上，有下列四个论断： AD=CB，AE=CF，BD， AC.请请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。问题，并写出解答过程。ABCDEFBAFCDE1 1、如图、如图, ,已知已知AB=ED,AF=CD,EF=BC,AB=ED,AF=CD,EF=BC,说明说明EFD=BCAEFD=BCA的理由。的理由。2 2、如图，、如图，1=21=2，A

82、B=CDAB=CD，ACAC与与BDBD相交于相交于点点O O，则图中必定全等的三角形有（，则图中必定全等的三角形有（ ） A. 2A. 2对对 B. 3B. 3对对 C. 4C. 4对对 D. 6D. 6对对A AO OD DC CB B1 12 2C巩固练习：巩固练习：ACBOD3.3.如图如图:AC:AC和和DBDB相交于点相交于点O,O,若若AB=DCAB=DC，AC=DBAC=DB，则则B=C,B=C,请说明理由请说明理由. .（提示：连结（提示：连结ADAD）4.4.如图如图, ,在在ABCABC中中, AD, AD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，DEDE是是ABDABD的

83、高线，的高线， C=90 C=90 度。若度。若DE=2DE=2，BD=3BD=3，求线段，求线段BCBC的长。的长。BDEAC 5 5、如下图，已知、如下图，已知ABCABC中，中，DEDE是是BCBC边上的中垂边上的中垂线，若线，若AC=5AC=5，EC=2EC=2， ADCADC的周长是的周长是1313，求，求ABCABC的周长。的周长。ABCDE 6 6、如上图，、如上图，EFEF是是ABAB的中垂线，分别延长的中垂线，分别延长BEBE、AEAE至至D D，C C，使，使DE=CEDE=CE，则，则ADAD与与BCBC相等吗相等吗? ? 请说明请说明理由。理由。ABCDEFABCDE7

84、 7、如下图，已知、如下图，已知ADAD是是ABCABC的中线，的中线，CECE是是ADCADC的中线，若的中线，若ABCABC的面积是的面积是8 8，求，求DECDEC的面积。的面积。8 8、如上图，、如上图，ABCABC中，点中，点D D是是BCBC上的一点，点上的一点，点E E是是ADAD上的一点，若上的一点，若BD:CD=2:3BD:CD=2:3，DE:AE=1:4DE:AE=1:4，ABCABC的面积是的面积是8 8，求，求DECDEC的面积。的面积。ABCDE要想知道一个池塘的两要想知道一个池塘的两岸上最远两点之间的距岸上最远两点之间的距离，没有船，且不能直离，没有船，且不能直接去

85、测量。如果只用绳接去测量。如果只用绳子和尺子，怎样才能测子和尺子，怎样才能测出它们之间的距离呢？出它们之间的距离呢？它们之间有多远它们之间有多远呢？呢？方案设计方案设计A AB BABCEDABC DEC（SAS）AB=DE在在ABC与与DEC中，中，AC=DCACB= DCEBC=EC先在地上取一个可以直接先在地上取一个可以直接到达到达A点和点和B点的点点的点C，连，连接接AC并延长到并延长到D，使，使CD=AC；连接；连接BC并延长并延长到到E，使，使CE=CB，连接，连接DE并测量出它的长度，并测量出它的长度，DE的的长度就是长度就是A，B间的距离。间的距离。方方案案一一 ACD CAB

86、(SAS)ABCD方方案案二二BCAD121=21=2AD=CBAD=CBAC=CAAC=CA解解: :连结连结ACAC，由，由ADCBADCB，可得，可得1122在在ACDACD与与CABCAB中中如图，先作三角形如图，先作三角形ABC,ABC,再找一点再找一点D D，使，使ADBCADBC，并使，并使AD=BCAD=BC，连结，连结CDCD，量，量CDCD的长的长即得即得ABAB的长的长方方案案三三如图，找一点如图，找一点D D，使，使ADBDADBD，延长，延长ADAD至至C C，使，使CD=ADCD=AD，连结，连结BCBC，量，量BCBC的长即得的长即得ABAB的的长。长。BADC解

87、解:在在RtADB与与RtCDB中中ADB CDB(SAS)BA=BCBD=BDADB= CDBCD=AD1、已知钝角、已知钝角ABCABC，求作：，求作：（1 1）ACAC边上的中线；边上的中线；（2 2）C C的角平分线；的角平分线；（3 3） BCBC边上的高。边上的高。ABC作图类：作图类：2 2、已知线段、已知线段a a、b b、c c，作，作ABCABC，使，使AB=cAB=c，AC=bAC=b，BC=aBC=a。a ac cb b3 3、已知线段、已知线段a a、b b、 ，作，作ABCABC，使，使AB=aAB=a，AC=bAC=b，A A= = 。a ab b4 4、已知线段

88、、已知线段a a、 、，作，作ABCABC，使，使AB=aAB=a，A A= = ，A= A= 。a a1.成比例线段成比例线段 若若 四条线段四条线段 a、b、c、d 中，如果中，如果 （或（或a：b=c：d），那么这四条线段，那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做叫做成比例成比例线段线段，简称，简称比例线段比例线段.a cb d = 其中其中a、b、c、d 叫做组成比例的叫做组成比例的项项；线段线段 a、d 叫做比例叫做比例外项外项；线段线段 b、c 叫做比例叫做比例内项内项。2、比例的性质：、比例的性质：bcaddcba= = =基本性质：合比性质：等比性质：61、若、若a, b, c

89、, d成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那么那么d= 2、下列各组线段的长度成比例的是（、下列各组线段的长度成比例的是（ ）A. 2，3，4，1 B. 1.5，2.5，6.5，4.5 C. 1.1，2.2，3.3，4.4 D. 1，2，2，4 3、(1)若若 x：(x+1)=(1-x)：3，求，求x。(2)若若 ， 求求 。(3) 若若 ，求，求 ，= =-2x3y+ yx12yxa+bb= =65aba-bb3.比例中项：比例中项：当两个当两个比例内项相等比例内项相等时，时， 即即a bb c = ，(或或 a：b=b：c)，那么线段那么线段 b 叫做线段叫做线段 a 和和 c

90、的的比例中项比例中项.2acb= =即：即：4、黄金分割：、黄金分割：ACB42.相似三角形的性质对应边成比例，对应角相等对应边成比例，对应角相等对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比对应周长的比等于相似比对应周长的比等于相似比对应面积的比等于相似比的平方对应面积的比等于相似比的平方方法方法2:2:如果一个三角形的两角分别与另一个三如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似. . A=A， B=B ABC ABCBCABCA两个三角形相似的判定方法两个三角形相似的判定方法:

91、 :方法方法1：通过定义（不常用）：通过定义（不常用） DEBC ADE ABC DEACBABCDE方法方法3 3：如果一个三角形的：如果一个三角形的两条边两条边与另一个三角与另一个三角形的形的两条边对应成比例两条边对应成比例，并且，并且夹角相等夹角相等，那么，那么这两个三角形相似这两个三角形相似 。ABCABCABCABC两个三角形相似的判定方法两个三角形相似的判定方法: :ABCCBA 方法方法4：如果两个三角形的三组对应边的比如果两个三角形的三组对应边的比相等相等,那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似.ABCABCABCODE2、下列图形一定相似的有、下列图形一定相似的有 哪几个哪

92、几个 （ ） A、邻边对应成比例的两个平行四边形；、邻边对应成比例的两个平行四边形；B、有一条边相等的两个矩形；、有一条边相等的两个矩形；C、有一个角相等的两个菱形；、有一个角相等的两个菱形；D、都含有、都含有100 的两个等腰三角形。的两个等腰三角形。 ADCAEB DBOECOC、D 。4、将一矩形对折后，对折后的矩形与原矩形、将一矩形对折后，对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形的长宽之比是相似，则原矩形的长宽之比是 。5、平行四边形、平行四边形ABCD边边AB上有点上有点E，且，且AE: BE=1:2,已知三角形已知三角形AEF的面积为的面积为4，求平行四，求平行四边形边形ABCD的面积为

93、：的面积为： 。DABCFE8:5或或2:596 条。ACBDABCP.4ABCDQPABCDE这里ABDCMN10、工地上两根电线杆相距、工地上两根电线杆相距Lm，分别在高，分别在高4m和和6m的的A、C处用铁丝将其固定，求铁丝的交处用铁丝将其固定，求铁丝的交点点M到地面的距离到地面的距离MN.ABCDExy2-y2xyAOCB-3(1,3)1DABCDEFabABCEFD特殊三角形特殊三角形特殊三角形特殊三角形1.什么是等腰三角形什么是等腰三角形有有两边相等两边相等的三角形叫做等腰三角形的三角形叫做等腰三角形练练1已知等腰三角形的两边长分别是已知等腰三角形的两边长分别是4和和6,则它的周长

94、是则它的周长是.练练2已知等腰三角形的两边长分别是已知等腰三角形的两边长分别是3和和6,则它的周长是则它的周长是.练练3已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成分成15cm和和6cm两部分，则等腰三角形的底两部分，则等腰三角形的底边长是边长是.14或或16151cm2.等腰三角形是等腰三角形是轴对称图形轴对称图形,它的对称轴它的对称轴是是.3.等腰三角形的等腰三角形的两个底角两个底角相等。相等。ACBAB=ACB=CB=C （等边对等角）（等边对等角）（已知）（已知）顶角平分线所在的直线顶角平分线所在的直线练练5：已知等腰三角形的一个底角是已知等腰三角形的一

95、个底角是300，则它的顶角是则它的顶角是.练练6：已知等腰三角形的一个角是已知等腰三角形的一个角是300，则它的顶角是则它的顶角是.练练7：已知等腰三角形的一个角是已知等腰三角形的一个角是1300，则它的顶角是则它的顶角是.练练8：已知等腰三角形的顶角是底角的已知等腰三角形的顶角是底角的2倍，倍，则它的底角是则它的底角是.12001200或或3001300450等腰三角形三线合一等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合在在ABC中中（1）AB=AC，ADBC，_=_，_=_；（2）AB=AC，AD是中线，是中线，=，_；（3）AB=AC，AD是角平分线，是角平分线，_ _，_=

96、_。 用数学式子表示：用数学式子表示：ACBD1 12 212BC12ADBCADBCBC4.如果一个三角形有两个角相等，那么这个如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是三角形是.ACBAB=ACB=CB=C（等角对等边）（等角对等边）（已知）（已知）等腰三角形等腰三角形练练9：在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，1=21=2则：则： ABD ACD2 21 1DCBA解：解： 1= 2 DB=DCDB=DC （ 为什么？为什么？） 又又 AB=AC,AD=AD ABDACD（sss）5.三边都相等的三角形叫做三边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形也叫也叫正三角形正三角形等边

97、三角形等边三角形是特殊的是特殊的等腰三角形等腰三角形，是是腰腰和和底边底边相等的相等的等腰三角形等腰三角形.等边三角形的性质：等边三角形的性质：a.三边相等三边相等b.三个角相等，都是三个角相等，都是600c.三线合一三线合一d.轴对称图形，三条对称轴轴对称图形，三条对称轴.说一说：说一说：你用什么方法可以你用什么方法可以判定判定一个三角形是等边三角形一个三角形是等边三角形9.有一个角是直角的三角形叫直角三角形有一个角是直角的三角形叫直角三角形10.直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角.11.有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形12.两条直角边相等的直角三角形叫

98、做两条直角边相等的直角三角形叫做等腰等腰直角三角形直角三角形,它的两个底角相等它的两个底角相等,都是都是450练练10:在在ABCABC中中,C=Rt,C=Rt , B=3 A求求 B和和 C的度数的度数练练11:在在ABCABC中中,A: : B: C=1:1:2求三个内角的度数求三个内角的度数,并判断是什么三角形并判断是什么三角形互余互余13.直角三角形斜边上的中线等于直角三角形斜边上的中线等于.14.若三角形中一边上的中线等于这条边的一半，若三角形中一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是那么这个三角形是.练练12:在在Rt ABC中中,CD是斜边是斜边AB上的中线，上的中线，若若

99、CD=3.5厘米，则厘米，则AB=厘米厘米练练13:在在 BCBC中中CD是是AB边上的中线边上的中线且且CD=AB则则 ABC是是三角形三角形1 12 2斜边的一半斜边的一半7直角三角形直角三角形直角直角15.勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.16.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.acbABCacbABC勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方如果三角形

100、中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.勾股定理勾股定理:直角三角形直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方两条直角边的平方和等于斜边的平方.已知是Rt ,得出边的关系得出边的关系 ABCABC是是RtRt a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 ABCABC是是RtRt C C是是直角直角已知边的关系边的关系,判断出判断出是Rt 练练14：如果一个直角三角形的两条边长分别如果一个直角三角形的两条边长分别是是3厘米和厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？多少厘米？请写

101、出并记忆常见的勾股数请写出并记忆常见的勾股数ADCB练练15：四边形四边形ABCD中已知中已知AB=3, BC=4, CD=12, DA=13, 且且ABC=90ABC=900 0, , 求这个四边形的面积求这个四边形的面积. .341312512厘米或厘米或（7+77）厘米）厘米17.直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成（简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”）18.角的内部，到角的两边距离相等的点角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上练练16：已知

102、已知CEAB，DF AB，AC=BD，AF=BE，则，则CE=DF。请说明理由。请说明理由。解直角三角形复习解直角三角形复习 单元知识网络单元知识网络直角直角三角三角形的形的边角边角关系关系 解直解直 角三角三角形角形知一边一锐角知一边一锐角解直角三角形解直角三角形知两边解直角知两边解直角三角形三角形添设辅助线解添设辅助线解直角三角形直角三角形知斜边一锐角解知斜边一锐角解直角三角形直角三角形知一直角边一锐知一直角边一锐角解直角三角形角解直角三角形知两直角边解知两直角边解直角三角形直角三角形知一斜边一直角知一斜边一直角边解直角三角形边解直角三角形实际应用实际应用抽象出图形，再抽象出图形，再添设辅

103、助线求解添设辅助线求解直接抽象出直角直接抽象出直角三角形三角形解解直直角角三三角角形形目目标标一一目标二目标二目目标标三三一、一、在在RtABC中，中，C为直角，为直角，A、B为为锐角，它们所对的边分别为锐角，它们所对的边分别为c 、a、b ，其中除，其中除直角直角C 外，其余的外，其余的5 5个元素之间有以下关系：个元素之间有以下关系： 三边之间的关系：三边之间的关系： 锐角之间的关系：锐角之间的关系： 边角之间的关系：边角之间的关系：ABbacC二、锐角三角函数的性质：二、锐角三角函数的性质：0sinA10cosA1tanA0cotA0(1) sin2 +cos2 =tan cot = t

104、an = cot =11(2)定理：定理：在在Rt中，中， 30o角所对的边等于斜边的一半。角所对的边等于斜边的一半。sin(90o-A)=cosAcos (90o-A)=sinAtan(90o-A)=cotAcot (90o-A)=tanA(3)三、特殊三角函数值三、特殊三角函数值 sin cos tan cot 304511603、已知锐角三角形、已知锐角三角形ABC中，求角中，求角C的度的度数。数。四、基础练习四、基础练习4、在、在RtABC中，中， C=90根据下列根据下列条件，解此直角三角形。条件，解此直角三角形。、A=60，c=8，则，则a=_,b=_.、a=2，cosA= ，c=

105、_.、sinA= ,则则tanB=_5、 在在 ABCD中中AB=6 ，B=60求求平行四边形的的面积平行四边形的的面积ABCDE6、如图，在、如图，在ABC中，已知中，已知AC=6，A=60，B=45，求求ABC的面积。的面积。ACDB450606 例例1、我军某部在一次野外训练中，有一辆我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为水平距离为1000米，山高为米，山高为565米，如果这米，如果这辆坦克能够爬辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？通过这座小山？AC1000米米565

106、米米B五、例题精讲五、例题精讲例例2、如图，一段河坝的断面为梯形如图，一段河坝的断面为梯形ABCD,试根据图中数据，求出坡角试根据图中数据，求出坡角 和和坝底宽坝底宽AD （i=CE:ED=1: ,结果保结果保留根号留根号,单位米）单位米）A F E DB 4.5 C 5 4 例例3、如图所示，秋千链子的长度为如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m秋秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为与铅垂线的夹角）约为53，则秋千踏板与地面，则秋千踏板与地面的

107、最大距离约为多少？的最大距离约为多少？(参考数据：参考数据：sin530.8，cos530.6)0.5m 例例4、外国船只，除特许外，不得进入我国海外国船只，除特许外，不得进入我国海洋洋100海里以内的区域。如图，设海里以内的区域。如图，设A、B是我们是我们的观察站，的观察站，A和和B之间的距离为之间的距离为160海里，海岸海里，海岸线是过线是过A、B的一条直线。一外国船只在的一条直线。一外国船只在P点，点，在在A点测得点测得AP=450，同时在，同时在B点测得点测得ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域令其退出我国海域.ABP4560

108、CABCD补充题补充题:山顶上有一旗杆，在地面上一点山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得杆顶处测得杆顶B的仰角的仰角 =0，杆底，杆底C的仰的仰角角 =0，已知旗杆高，已知旗杆高BC=20米，求山米，求山高高CD。ABCD3045课后思考题课后思考题: :（20042004成都）成都） 如图，某同学家住在公寓如图，某同学家住在公寓ADAD内，内，她家的河对岸新建了一座大厦她家的河对岸新建了一座大厦BCBC。为了测得大。为了测得大厦的高度，她在楼底厦的高度，她在楼底A A处测得大厦顶部处测得大厦顶部B B的仰角的仰角为为6060，爬上楼顶，爬上楼顶D D处测得大厦的顶部处测得大厦的顶部B B的仰

109、角的仰角为为3030。已知公寓。已知公寓ADAD高高8282米，请你计算出大厦米，请你计算出大厦高度高度BCBC，及大厦与公寓间的距离，及大厦与公寓间的距离ACAC。作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为化为两个直角三角形两个直角三角形. . 作高线可以把平行四边形、梯形转化为作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三含直角三角形的图形角形的图形. . 六、小结六、小结连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为化为含直角三角形的图形含直角三角形的图形. . 连线割补，可以把不规则四边形转化为连线割补，可以把不规则四边形

110、转化为含直含直角三角形的图形角三角形的图形. . 四边形一、四边形与特殊四边形的关系四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形两组对边分别平行有一个角 是直角邻边相等邻边相等有一个角 是直角 一组对边平行另一组对边不平行两腰相等 有一个角 是直角有一个角是直角且邻边相等二、几种特殊四边形的性质 平行四边形矩 形菱 形正方形等腰梯形边对边平行 且相等对边平行 且相等对边平行，四 条边都相等对边平行， 四条边 都相等两底平行，两腰相等角对角相等 四个角都是直角对角相等 四个角都是直角同一底上的两个角相等对 角 线两条对角线互相平分两条对角线互相平分且相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平

111、分一组对角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角两条对角线相等对称性中心对称 轴对称中心对称 轴对称中心对称 轴对称中心对称轴对称三、特殊四边形的常用判定方法 平行平行 四边形四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（5）一组对边平行且相等。（4）两条对角线互相平分；（3）两组对角矩矩 形形（1）有三个角是直角；（2）是平行四边形，并且有一个角是直角；（3）是平行四边形，并且两条对角线相等。 菱菱 形形（1）四条边都相等；（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等；（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。正方形正方形（1）是矩形，并且有一组邻边相等；（2）是菱形，并

112、且有一个角是直角。等等 腰腰梯梯 形形（1）是梯形，并且同一底上的两个角相等；（2）是梯形，并且两条对角线相等。分别相等；五、其他重要定理1. 四边形的内角和等于 360.2. n 边形的内角和等于( n 2 ) .180.3. 任意多边形的外角和等于 360.4. 关于中心对称的两个图形的性质：（1）是全等形；（2）对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分。七、三角形、梯形七、三角形、梯形中位线中位线定理定理1. 三角形的中位线定理三角形的中位线定理：ABCDE 如图，三角形如图，三角形ABC中，中，AD=DB，AE=EC，则有则有 ； 。DE / BCDE = BC122. 梯形的中位

113、线定理梯形的中位线定理：ABCDEF 如图，梯形如图，梯形ABCD中，中，AD/BC，EF是中位线，是中位线，则有（则有（1） ； （2） 。EF/ AD/ BCEF = (AD+BC)12八、巩固练习（一）判断题：1.平行四边形的对角线相等； （ ）2.矩形的四个角都相等； （ ）3.菱形的对角线互相垂直平分； （ ）4.有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形； （ ）5.一组对边平行的四边形是梯形； （ ）6.有两个角相等的梯形是等腰梯形； （ ）7.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （ ）8.对角线相等的四边形是矩形； （ ）9.在梯形中上面的底叫做上底，下面的底叫做下底；

114、（ ）10.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。（ ）（二）选择题：(A)一组对边平行，另一组对边也平行；(B)一组对角相等，另一组对角也相等；1.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ ）。(C )一组对边平行，一组对角相等； (D)一组对边平行，另一组对边相等D2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）。 (A)对角线互相平分。 (B)对角线相等。（C）对角线平分一组对角。 (D)对角线互相垂直。B3.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）(A)矩形。 (B)正方形。(C ) 菱形。(D)平行四边形D4.内角和等于外角和的多边形是（ ）(A) 三角形。(B)四边形。(

115、C )五边形。(D)六边形。B5.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）(A)对角相等。(B)邻角互补。(C )对角互补。(D)内角和是360。C6.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）(A)一组对角相等。 (B)两条对角线互相平分。(C )两条对角线互相垂直。 (D)一对邻角的和为180。B7.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）(A)等边三角形。(B)平行四边形。(C )菱形。(D)等腰梯形。CD9.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）/(A) AB =CD, AD =BC。(B) BC AD。(C ) AB/DC, AD/BC。 (D) AB =C

116、D，AD/BC。D8.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）(A)(B)(C )(D)（三）填空题：相 等2.两条对角线 的四边形是矩形。互相平分且相等3.两条对角线 的平行四边形是菱形。 互 相 垂 直4.两条对角线 的四边形是菱形。互相垂直平分5.两条对角线 的矩形是正方形。互 相 垂 直6.两条对角线 的菱形是正方形。相 等7.两条对角线 的平行四边形是正方形。互相垂直并相等8.两条对角线 的四边形是正方形。互相垂直平分并相等9.一个多边形的每一个外角都等于40 ，这个多边形的边数是 ， 它的内角和是 。9126010.等腰梯形在同一底上的两个角 ，对角线 。相 等相 等1

117、.两条对角线 的平行四边形是矩形。考考你考考你-填空题填空题(1) 改变一个平行四边形四个角的大小,而不改变四条边的长,则所得的四边形是_平行四边形平行四边形(2) 菱形是轴对称图形,它的对称轴有_条;矩形也是轴对称图形,它的对称轴有_条22(3) 一个矩形相框的周长是40cm,一条边长是8cm,最大能装进面积是_的照片96(4) 如图所示,做一个红十会的大型“十”字标志,其周长为_1m4m(5) 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，*若AB=BC，则平行四边形ABCD 是_*若AC=BD,则平行四边形ABCD是_*若AB=BC,AC=BD, 则平行四边形ABCD是_菱形菱形矩形

118、矩形正方形正方形(6) 从矩形一个顶点作一条对角线的垂线,这条垂线将这条对角线分成1:3两部分，则矩形两条对角线的夹角为_(7) 已知四边形ABCD是菱形, 是正三角形,E、F分别在BC、CD上，且EF=CD，则 _11.如图(1)， ABCD中，1 = B =50,则2 = 。ABCD12(1)808 12.如图（2），菱形有一个内角是120，有一条对角线长是8， ABCDO(2)那么菱形边长是 。13.已知：正方形的边长是4，则它的对角线的长是 ， 面积是 。4216214.已知，正方形的对角线的长是6 ，则它的边长是 ， 面积是 。 32 18 215.已知：正方形的面积是12 ，则它的

119、边长是 ， 对角线的长是 。223 26 或383 九、几种常见的平行四边形辅助线的画法：1.对角线ABCD2.构建新的平行四边形ABCDABCDEABCDE3.构建全等三角形ABCDEFABCDEF4.构建等腰三角形ABCDEABCDE十、几种常见的梯形的辅助线画法：1.构建平行四边形ABCDFABCDF2.平移一条对角线ABCDEABCDE3.构建全等三角形ABCDE.FABCDF4.构建矩形ABCDFABCDEFEE.5.作梯形的中位线ABCDEF6.构建大平行四边形7.构建三角形ABCDEEFCABDO例例 已知已知: 如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，E是是BC上一点，上一点，DF

120、 AE于于F，若，若AEBC，求证，求证: CEFE.分析分析：从求证入手，要证：从求证入手，要证CECEFEFE，由已知，由已知AEAEBCBC可知，只要证可知，只要证AFAFBEBE即可，而即可，而AFAF、BEBE分别在分别在AFDAFD、EBAEBA中，即要证明中，即要证明AFDEBA .AFDEBA .证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， ADBCAE， B90 ， ADBC 。 DAE AEB。又又 DF AE于于F， AFD 90 B 。 AFDEBA . AFBE , AEBC AEAFBCBE 即即 CEFE 练习：练习：三、三、 解答题解答题.1.菱形菱形ABC

121、D中，对角线中，对角线AC，BD交于点交于点O，E、F分别分别是是AB、AD中点，是说明中点，是说明OE=OF.2.如图如图E为正方形为正方形ABCD外一点，外一点， CDE为等边三角形，为等边三角形，求求AED的度数的度数.ABCEDOGFEDCBA3。如图，已知正方形ABCD的对角 线AC、BD相交于点O、E是AC上 一点，过点A作AGEB，垂足为 G，AG交BD于F。 求证：OE=OF圆的基本性质圆的基本性质HreeHree 圆的定义有关概念圆的基本性质圆心、半径、直径弧、弦、弦心距等圆、同心圆圆心角、圆周角（补充圆内角、圆外角）三角形外接圆、圆的内接三角形、四边形的外接圆、圆的内接四边

122、形点和圆的位置关系不在同一直线上的三点确定一个圆圆的中心对称性和旋转不变性圆的轴对称性垂径定理圆心角定理圆周角定理圆内接四边形的性质1.1.本课时重点是垂径定理及其推论，圆心角、本课时重点是垂径定理及其推论，圆心角、圆周角、弦心距、弧之间的关系圆周角、弦心距、弧之间的关系. .2.2.圆的定的定义(1)(1)是通是通过旋旋转. .(2)(2)是到定点的距离等于定是到定点的距离等于定长的点的集合的点的集合. .3.3.点和点和圆的位置关系的位置关系( (圆心到点的距离心到点的距离为d)d)(1)(1)点在点在圆上上d=r.d=r.(2)(2)点在点在圆内内d dr.r.(3)(3)点在点在圆外外

123、d dr.r.4.4.与圆有关的概念与圆有关的概念(1)(1)弦：连结圆上任意两点的线段弦：连结圆上任意两点的线段. .(2)(2)直径：经过圆心的弦直径：经过圆心的弦. .(3)(3)弧：圆上任意两点间的部分弧：圆上任意两点间的部分. .(4)(4)优弧：劣弧、半圆优弧：劣弧、半圆. .(5)(5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤. .(6)(6)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. .(7)(7)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交. .(8)(8)三角形外心及性质三角形外

124、心及性质. .垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所所对的两条弧的两条弧. .推推论1 1：平分弦：平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于弦，并且的直径垂直于弦，并且 平分弦所平分弦所对的两条弧的两条弧. .推推论2 2：弦的垂直平分：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦心，并且平分弦 所所对的两条弧的两条弧. .推推论3 3：平分弦所：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分的一条弧的直径，垂直平分 弦，并平分弦所弦，并平分弦所对的另一条弧的另一条弧. .5.5.有关定理及推论有关定理及推论(1)(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆定

125、理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. .(2)(2)垂径定理及其推论垂径定理及其推论. . (4)(4)圆周角周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推推论1 1：同弧或等弧所：同弧或等弧所对的的圆周角相等；同周角相等；同圆或等或等圆 中，相等的中，相等的圆周角所周角所对的弧也相等的弧也相等. .推推论2 2：半：半圆( (或直径或直径) )所所对的的圆周角是直角；周角是直角；9090的的圆 周角所周角所对的弦是直径的弦是直径. .推推论3 3：如果三角形一：如果三角形一边上的中上的中线等于等于这边的一半，的一半， 那么那么这个三角

126、形是直角三角形个三角形是直角三角形. .定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. (3)(3)圆心角、弧、心角、弧、弦、弦心距弦、弦心距. (5)圆圆内内接接四四边边形形性性质质定定理理：圆圆内内接接四四边边形形的的对对角角互互补补，并且任何一个外角都等于它的内对角并且任何一个外角都等于它的内对角. 【例例1 1】在在直直径径为为400mm400mm的的圆圆柱柱形形油油槽槽内内，装装入入一一部部分分油，油面宽油，油面宽320mm320mm，求油的深度，求油的深度. .【解

127、析解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图两种不同的情况，如图(1)(1)和和(2)(2)图图(1)(1)中中OC=OC=120(mm)=120(mm)CD=80(mm)CD=80(mm)图图(2)(2)中中OC=120(mm)OC=120(mm)CD=OC+OD=320(mm)CD=OC+OD=320(mm)【例例2 2】如如图，O O是

128、是CAECAE平平分分线上上的的一一点点，以以点点O O为圆心心的的圆和和CAECAE的的两两边分分别交交于于点点B B、C C和和D D、E E，连结BDBD、CE.CE. 求证：求证：(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE.【解析解析】(1)(1)要要证弧相等，即要弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，弦相等或弦心距离相等，又已知又已知OAOA是是CAECAE的平分的平分线，联想到角平分想到角平分线性性质，故故过O O分分别作作OGACOGAC于于G G，OHAEOHAE于于H H，OG=OHOG=OHBC=DEBC=DE(2)(2)由垂径定理知：由垂径定理知：BC=DEBC=D

129、E，G G、H H分分别是是BCBC、DEDE的中点的中点. .再由再由AOGAOHAOGAOHAG=AHAG=AHAB=AD AC=AE.AB=AD AC=AE.(3)AC=AE(3)AC=AEC=EC=E，再根据，再根据圆的内接四的内接四边形的形的性性质定理知定理知C=ADBC=ADBE=ADBE=ADBBDCE.BDCE.【例例3】如图，如图，ABC中，中，A700， O截截ABC的三条边所截得的弦长都相等，的三条边所截得的弦长都相等，则则BOC。OBAC1.圆周长计算公式圆周长计算公式:2.圆面积计算公式圆面积计算公式:4.扇形的面积计算公式扇形的面积计算公式:3.扇形的弧长计算公式扇

130、形的弧长计算公式:5.补充圆锥展开图的圆心角补充圆锥展开图的圆心角:圆的弧长圆的弧长、图图形的面积和圆锥的侧面积计算形的面积和圆锥的侧面积计算 6.当弓形所含的弧是劣弧时，当弓形所含的弧是劣弧时，弓形弓形=S扇扇-S当弓形所含的弧是优弧时，当弓形所含的弧是优弧时，S弓形弓形=S+S7、记圆锥的底面半径为、记圆锥的底面半径为r，母线长为，母线长为l l，高为高为h，则有关计算公式如下，则有关计算公式如下:全全例例4填空：填空： (1)如图，如图，RtABC的斜边的斜边AB在直在直线线l上，上，AC=1,AB=2,将将RtABC 绕点绕点B在平面在平面内按顺时针方向旋转，使边内按顺时针方向旋转，使

131、边BC落在直线落在直线l上，得上，得到到A1BC1，再，再将将A1BC1 绕点绕点C1在平面内按在平面内按顺时针方向旋转，使边顺时针方向旋转，使边A1C1落在直线落在直线l上，得到上，得到A2B1C1 ，则点，则点A经过的路线长等于经过的路线长等于_B1C1A1CBA2lA21150o例例5如图，如图，AB是半圆是半圆O的直径，的直径，C，D为半圆的三等分点，为半圆的三等分点，E为为AB延长线上延长线上一点，一点，AB=12,求阴影部分面积。求阴影部分面积。ODCBAE用割补或分块法求阴影部分面积用割补或分块法求阴影部分面积.例例6李明和马强同学合作，将半径为李明和马强同学合作，将半径为1米、

132、米、圆心角为圆心角为90o的扇形薄铁板围成一个圆锥筒。的扇形薄铁板围成一个圆锥筒。在计算圆锥的容积在计算圆锥的容积(接缝忽略不计接缝忽略不计)时，李明时，李明认为圆锥的高等于扇形的圆心认为圆锥的高等于扇形的圆心O到弦到弦AB的的距离距离OC(如图如图1)，马强说这样计算不正确。，马强说这样计算不正确。你同意谁的说法？把正确的计算过程写出来。你同意谁的说法？把正确的计算过程写出来。OCBAOAA1O1r1m1m 1m1m一、点和圆的位置一、点和圆的位置二、点与弦的相对位置二、点与弦的相对位置三、弦所对的圆周角三、弦所对的圆周角四、平行弦与圆心的位置四、平行弦与圆心的位置五、圆心与角的位置五、圆心

133、与角的位置六、点在弧上的位置六、点在弧上的位置例例1.过不在过不在 O上的一点上的一点A，作与，作与 O相交相交的一条直线，交的一条直线，交 O于于B、C，且，且ABAC64，OA10，则，则 O的半径的半径R为为_。点和圆的位置点和圆的位置例例2.O是ABC的外接圆，ODBC于D，且BOD48，则BAC_。点与弦的相对位置点与弦的相对位置例例3.半半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于_。弦所对的圆周角弦所对的圆周角例例4.在半径为5cm的O中，弦AB6cm，弦CD8cm，且ABCD，求AB与CD之间的距离。平行弦与圆心的位置平行弦与圆心的位置例例5.在半径为

134、1的O中，弦AB、AC的长分别为 ，则BAC的度数是_。圆心与角的位置圆心与角的位置例例6.如图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则OAB_度，OPB_度。点在弧上的位置点在弧上的位置1.设未知数建构方程设未知数建构方程，或者引入参数，构造直角三角形，相似三角形，利用，或者引入参数，构造直角三角形，相似三角形，利用勾股定理，三角函数，比例线段解决问题勾股定理，三角函数，比例线段解决问题.2.转化的思想：转化的思想：转化的思想是数学中极其重要的思想方法，把未知量转化转化的思想是数学中极其重要的思想方法，把未知量转化为已知量

135、，把新问题转化为已经解决的问题，把不规则图形转化为规则图形，为已知量，把新问题转化为已经解决的问题，把不规则图形转化为规则图形，把一般情况转化为特殊情况，把线段相等转化为角相等。把一般情况转化为特殊情况，把线段相等转化为角相等。3.分类讨论的思想。分类讨论的思想。遇到需要自己画图解决的问题中常要考虑分类的方法，遇到需要自己画图解决的问题中常要考虑分类的方法，遇到动点，动弦的问题时也常常要考虑分类解决。还有在两个三角形相似但遇到动点，动弦的问题时也常常要考虑分类解决。还有在两个三角形相似但对应关系不确定的时候往往也要考虑多种情况。求弓形面积的时候要考虑优对应关系不确定的时候往往也要考虑多种情况。

136、求弓形面积的时候要考虑优弧还是劣弧所对应的弓形。弧还是劣弧所对应的弓形。4.从特殊到一般的思想。从特殊到一般的思想。在证明有些结论的时候，如果感觉无从下手，可以在证明有些结论的时候，如果感觉无从下手，可以把特殊情况下的图形画出来后证明此结论，然后再通过作辅助线把原图形转把特殊情况下的图形画出来后证明此结论，然后再通过作辅助线把原图形转化为特殊情况下的图形进行证明。化为特殊情况下的图形进行证明。5.数形结合的思想，数形结合的思想，就是能把图形和对应的数量关系紧密地联系起来。这样就是能把图形和对应的数量关系紧密地联系起来。这样可以非常形象地记忆知识点，也可以全面把握图形的特征和性质。可以非常形象地

137、记忆知识点，也可以全面把握图形的特征和性质。1.已知直径时已知直径时,常构造直径所对的圆周角常构造直径所对的圆周角.2.连接半径或者作弦心距连接半径或者作弦心距,构造直角三角构造直角三角形形,为用垂径定理或者勾股定理创造条件为用垂径定理或者勾股定理创造条件.3.需要转化角度的时候，常作弦构造同弧需要转化角度的时候，常作弦构造同弧所对的圆周角所对的圆周角 圆中两个重要圆中两个重要 RtRt的再认识的再认识O ON NA AB BM MB BA AC CD DOO一、垂径定理：一、垂径定理：1、定理的回顾、定理的回顾垂直于弦的直径平分这条垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。弦，并且平分弦

138、所对的弧。（1）CD过圆心过圆心（2）CD AB于于H（3）AH=BH（4）AC=BC（5）AD=BDABDCOH 五个条件，其中两个成立，可推出另三个也成立五个条件，其中两个成立，可推出另三个也成立（但有一个例外（但有一个例外）（）（1）（）（3）（2）（）（4）（）（5）求圆中有关半径、弦、弦心距、弧、角求圆中有关半径、弦、弦心距、弧、角等问题归结为解决直角三角形等问题归结为解决直角三角形OAH问题问题CABOH半径半弦弦心距构成半径半弦弦心距构成Rt 2 2、图形的变脸、图形的变脸ABCO3、直角三角形性质的运用、直角三角形性质的运用（1）勾股定理）勾股定理（2）斜边上的中线是斜边的一半

139、斜边上的中线是斜边的一半（3）30角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半（4）特殊三角形的三边之比特殊三角形的三边之比4、例与练：、例与练：填空：填空：如图，如图， O中中AB=OC=OA,求求、的度数的度数D归纳：归纳：在一般图形中在一般图形中，作弦心距作弦心距构成构成Rt H运用运用C。如图建立直角坐标系，如图建立直角坐标系，OA是半圆的直径，是半圆的直径，圆心为圆心为N，A(10,0)，B（8，0），四边形），四边形OBDC平行四边形，平行四边形，C、D在半圆上，求在半圆上，求D点坐标。点坐标。ODBNyxAH解：连解：连ND、作作NHCD于于H，由垂径定理得由垂径定理

140、得CH=DH=CD=4RtDNH中，中，ND=NO=5,DH=4 NH=3D(9,3)12归纳：在坐标系中，归纳：在坐标系中，作半径弦心距作半径弦心距构成构成Rt CDH扇形扇形AOB中，中，半径半径OA=2，C为为AB的中点，的中点，CD/OA,求求CD的长。的长。追问：若追问：若D是弧是弧AB的中点，的中点，CD/OA,求求CD的长。的长。CD=3-1CD=22-2归纳：在扇形中，（补形）归纳：在扇形中，（补形）作弦、弦心距构成作弦、弦心距构成Rt ABCDOX12-x4已知已知ABCABC内接于内接于O O（如图所示），（如图所示），AB+AC=12,AB+AC=12,高高AD=4,AD

141、=4,假设假设AB=x, AB=x, O O的直径为的直径为y,y,求（求（1 1）y y与与x x之间的函数关系式；之间的函数关系式； （2 2）当）当x x为何值时，为何值时，O O的面积最大，并求出的面积最大，并求出这个最大值。这个最大值。EF0.5y(1)y=0.25x+3x2（2）814归纳：归纳：（1 1）半径半弦弦心距）半径半弦弦心距 构成构成RtRt在代数中的应用在代数中的应用 （2 2）直径与两弦构成）直径与两弦构成Rt Rt （3 3）注意寻找多种途径解决问题）注意寻找多种途径解决问题二、圆周角定理的推论：二、圆周角定理的推论： 直径所对的圆周角是直角，直径所对的圆周角是直

142、角， 9090的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。AOCBH如图如图 1 1、善于联想：、善于联想： 直径、圆周角、垂径定理、射影定理、直径、圆周角、垂径定理、射影定理、 相似三角形相似三角形 直径与两弦构成直径与两弦构成RtRtAOCBH2、图形变脸图形变脸COooCABDABCDo直径与弦构成直径与弦构成Rt PCABDO3 3、例与练：、例与练： ABAB是直径是直径,AB=2R, ,AB=2R, CDCD是弦是弦,CD=R, ,CD=R, ADAD交交CBCB于点于点P, P, 求求 的度数。的度数。Q追问二、图中有几对相似三角形？追问二、图中有几对相似三角形？追问一、你能

143、求出追问一、你能求出Q Q 的度数吗？的度数吗？归纳：归纳：作辅助线，与直径构成作辅助线，与直径构成RtRtAGDBQHPFE(09(09杭州中考题杭州中考题) )如图，如图，ABAB为半圆的直径，为半圆的直径，C C是半是半圆上的一点，圆上的一点，DEFGDEFG是正方形，其中是正方形，其中G G、D D在在ABAB上，上，E E在在ABAB上，上，H H为为ABCABC的角平分线的交点，正方的角平分线的交点，正方形形DEFGDEFG的面积为的面积为100100，HD=4,HD=4,求求AB.AB.C444XYXYXY=100(X+4)+(Y+4)=(X+Y)222解之，得解之，得X+Y=2

144、1所以所以ABAB为为2121归纳：归纳：（1 1）直径与两弦构成）直径与两弦构成RtRt及射影定理及射影定理 （2 2） 运用方程的思想解决几何问题运用方程的思想解决几何问题 44ABCDOABCODABCDEoo4 4、直径与两弦构成图形的变式、直径与两弦构成图形的变式中考直线与圆的关系复习中考直线与圆的关系复习黄店镇中学九年级数学组黄店镇中学九年级数学组中考考试目标中考考试目标圆的切线圆的切线(1)(1)了解切线的概念了解切线的概念 (2)(2)探索切线与过切点的半径之间的关系探索切线与过切点的半径之间的关系 (3)(3)能判定一条直线是否为圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线 会过圆上

145、一点画圆的切线会过圆上一点画圆的切线 了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征的特征 了解三角形内心和外心了解三角形内心和外心 圆的基本性质圆的基本性质(1)(1)探索并了解直线与圆以及圆与圆的位置关系探索并了解直线与圆以及圆与圆的位置关系a a 直线和圆的位置关系位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离公共点个数公共点个数d与与r的关系的关系公共点名称公共点名称直线名称直线名称2个1个无drdrdr交点切点割线切线有且仅有有且仅有注意：注意：“”，即，即“等价于等价于”熟记判断一条直线是不是圆的切线判断一条直线是不是圆的切线使用定义：直线和圆有唯

146、一的公共点使用定义：直线和圆有唯一的公共点圆心到直线的距离圆心到直线的距离d等于半径等于半径r时，直线和圆相切时，直线和圆相切说说看：以上两种判断办法是否方便应用呢？操作：画操作：画O O，在，在O O上上任取一点任取一点A A，连结，连结OAOA，过过A A点作直线点作直线lOAlOA直线直线l l是否与是否与 O O相切呢？相切呢？从作图过程看，这条切线从作图过程看，这条切线l l满足哪些条件？满足哪些条件？ l l 经过半径外端经过半径外端 l l垂直于这条半垂直于这条半径径穷则思变切线的判定定理：切线的判定定理： 经过半径的外端经过半径的外端并且并且垂直于垂直于这条这条半径半径的直线是

147、圆的的直线是圆的切线切线。已知：直线已知：直线AB经过经过O上的点上的点C，并且，并且OAOB，CACB。求证：直线。求证：直线AB是是O的切线。的切线。OCBA已知：已知： OAOB5厘米，厘米，AB8厘米，厘米，O的直径的直径6厘厘米。求证：米。求证：AB与与O相切。相切。以上两题辅助线的作法是否相以上两题辅助线的作法是否相同？你分析出了什么结论？同？你分析出了什么结论？辅助线技巧证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。若若直线过圆上某一点直线过圆上某一点，则，则连结圆心和公共点连结圆心和公共点，再，再证明证明直线与半径直线与半径垂直垂直若直线与

148、圆的若直线与圆的公共点没有确定公共点没有确定，则，则过圆心向直线作垂过圆心向直线作垂线线，再，再证明证明圆心到直线的圆心到直线的距离等于半径距离等于半径。OBA练兵切线的性质切线的性质重点内容切线判定：切线判定：直线直线l l：过半径外端过半径外端垂直于半径垂直于半径切线性质：切线性质：切线切线l l，A A为切点：为切点：OAOAl l理解记忆类比猜想类比猜想切线的性质定理：圆的切线垂切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。直于经过切点的半径。推论：推论：1 1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点2 2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心、经过

149、切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线判定与性质典型例题已知：已知：AB是是O的直径，的直径，BC是是O的切线，切点为的切线，切点为B，OC平行于弦平行于弦AD。求证：求证：DC是是O的切线。的切线。体会规律如图，在以如图，在以O为圆心的两个同为圆心的两个同心圆中，大圆的弦心圆中，大圆的弦AB和和CD相相等，且等，且AB与小圆相切于点与小圆相切于点E，求证：求证：CD与小圆相切。与小圆相切。DCOBAFDCBAEO切线性质定理的推广性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推推1 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推推

150、2 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心浓缩提炼你能用一个定理把圆的切你能用一个定理把圆的切线的性质及它的两个推论线的性质及它的两个推论概括出来吗？概括出来吗？如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个就可以推出第三个：（：（1 1）垂直于切线；（）垂直于切线；（2 2）过切点；（过切点；（3 3）过圆心。）过圆心。三角形的内切圆三角形的内切圆重点内容如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该圆的面积尽可能的大？圆的面积尽可能的大？思考和三角形各边都相切的圆叫做和三

151、角形各边都相切的圆叫做三角形的内三角形的内切圆切圆；内切圆的圆心叫做；内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心；这个三角形叫做这个三角形叫做圆的外切三角形圆的外切三角形。三角形的内心是三角形内角平分线的交点。三角形的内心是三角形的内心是否也有在三角形否也有在三角形内、三角形外或内、三角形外或三角形上三种不三角形上三种不同情况。同情况。记忆在在 ABC中，中， ABC50， ACB75，求求 BOC的度数。的度数。（1）点）点O是三角形的内心是三角形的内心（2）点）点O是三角形的外心是三角形的外心 ABC中，中，E是内心，是内心， A的平的平分线和分线和 ABC的外接圆相交于的外接圆相交于点点D

152、。求证：。求证：DEDB。ABCODABCE练习关于三角形内心的辅助线：关于三角形内心的辅助线：连结内心和三角形的顶点，连结内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这一内角。该线平分三角形的这一内角。三角形的各种心垂心垂心重心重心外心外心内心内心交点交点性质性质位置位置三条高线三条高线的交点的交点三条角平三条角平分线的交分线的交点点三边垂直三边垂直平分线的平分线的交点交点三条中线三条中线的交点的交点在形内、在形内、形外或直形外或直角顶点角顶点在形内、在形内、形外或斜形外或斜边中点边中点在形内在形内在形内在形内到三角形到三角形各顶点距各顶点距离相等离相等到三角形到三角形三边距离三边距离相等相等把中线

153、分把中线分成了成了2:12:1两部分两部分A AB BC CO O三角形的外接圆：三角形的内切圆：A AB BC CI IOOI I特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：R= c2 2r = a+b-c2 2A AB BC Ca ab bc c直角三角形外接圆、内切圆半径的求法等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法基本思路：基本思路：基本思路：基本思路：构造三角形构造三角形构造三角形构造三角形BODBODBODBOD，BOBOBOBO为外接为外接为外接为外接圆半径，圆半径，圆半径，圆半径，DODODODO为内切圆半径。为内切圆半径。为内切圆半径。为内切圆半径。A AB BC COOD DR Rr

154、rxy拓展：拓展：如图，直线如图，直线y= y= x+4x+4与与x x轴、轴、 y y轴分别交于、轴分别交于、。（）求、的坐标。（）求、的坐标。（）如果点在坐标轴上，以点为圆心，（）如果点在坐标轴上，以点为圆心，为半径的圆与直线为半径的圆与直线y= y= x+4x+4相切，求相切，求点的坐标。点的坐标。几何知识点归纳总结几何知识点归纳总结1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短7经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行这两条

155、直线也互相平行9同位角相等两直线平行10内错角相等两直线平行11同旁内角互补两直线行12两直线平行同位角相等13两直线平行内错角相等14两直线平行同旁内角互补15三角形两边的和大于第三边16三角形两边的差小于第三边17三角形三个内角的和等18018直角三角形的两个锐角互余19三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边对应角相等22有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)23有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)24有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)25有三边对应相等的两个三角

156、形全等(SSS)26有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)27在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合33等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于6034等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35三个角都相等的三角形是等边三角形36有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中

157、如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42关于某条直线对称的两个图形是全等形43如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上45如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称46直角三角形两直角边ab的平方和等于斜边c的平方即a+b=c47如果三角形的三边

158、长abc有关系a+b=c那么这个三角形是直角三角形48四边形的内角和等于36049四边形的外角和等于36050多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)18051任意多边的外角和等于36052平行四边形的对角相等53平行四边形的对边相等54夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形的对角线互相平分56两组对角分别相等的四边形是平行四边形57两组对边分别相等的四边形是平行四边形58对角线互相平分的四边形是平行四边形59一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形的四个角都是直角61矩形的对角线相等62有三个角是直角的四边形是矩形63对角线相等的平行四边形是矩形64菱形的四条边都相等65菱形

159、的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半即S=(ab)267四边都相等的四边形是菱形68对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形的四个角都是直角四条边都相等70正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角71关于中心对称的两个图形是全等的72关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分73如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78如果一组平行线在一

160、条直线上截得的线段相等那么在其他直线上截得的线段也相等79经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰80经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 81三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半82梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半L=(a+b)S=Lh83如果a:b=c:d那么ad=bc如果ad=bc那么a:b=c:d84如果a/b=c/d那么(ab)/b=(cd)/d85如果a/b=c/d=m/n(b+d+n0)那么(a+c+m)/(b+d+n)=a/b86三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例87平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例8

161、8如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似91两角对应相等两三角形相似(ASA)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93两边对应成比例且夹角相等两三角形相似(SAS)94三边对应成比例两三角形相似(SSS)95如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似96相似三角形对应高的比对应

162、中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97相似三角形周长的比等于相似比98相似三角形面积的比等于相似比的平方 99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹

163、是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧112圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等115在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相

164、等116一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等118半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径119如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形120圆的内接四边形的对角互补并且任何一个外角都等于它的内对角 121直线L和O相交dr直线L和O相切d=r直线L和O相离dr122经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123圆的切线垂直于经过切点的半径124经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等

165、圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等130圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等131如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切那么切点一定在连心线上135两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdR+r(Rr)两圆内切d=R-r(Rr)两圆内含dR-r(

166、Rr)136相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137把圆分成n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n140正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长142正三角形面积3a/4a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角由于这些角的和应为360因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式:L=nR/180145扇形面积公式:S扇形=nR/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)