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1、差分方程差分方程一、差分方程的基本概念一、差分方程的基本概念二、一阶常系数线性差分方程二、一阶常系数线性差分方程 三、差分方程的简单应用三、差分方程的简单应用1. 差分的定义差分的定义定义定义1 设函数设函数我们称我们称为函数为函数的的一阶差分一阶差分； 一、一、 差分方程的基本概念差分方程的基本概念 称称为函数为函数的的二阶差分二阶差分. 为为三阶差分三阶差分. . 同样，称同样，称依此类推，函数的依此类推，函数的 n 阶差分定义为：阶差分定义为：且有且有二阶及二阶以上的差分统称为二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分性质性质1 当当 是常数，是常数，是函数时，是函数时，有以下结论成立：
2、有以下结论成立：例例1 求求则则解解 设设例例2 设设求求解解 定义定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方方程就称为程就称为差分方程差分方程.例如例如差分方程的不同形式之间可以相互转化差分方程的不同形式之间可以相互转化.差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差数称为差分方程的阶差分方程的阶. 是一个二阶差分方程，是一个二阶差分方程，如果将原方程的左边写为如果将原方程的左边写为则原方程还可化为则原方程还可化为例如，例如，可以化为可以化为又如：又如： 可化为可化为 定义定义3 如果一个函数代入
3、差分方程后，方程两边如果一个函数代入差分方程后，方程两边其中其中A为任意常数为任意常数.恒等，则称此函数为差分方程的恒等，则称此函数为差分方程的解解. 我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件初始条件.满足初始条件的解称之为满足初始条件的解称之为特解特解. 如果差分如果差分方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数，则称它为差分方程的分方程的阶数，则称它为差分方程的通解通解.其中其中A为任意常数为任意常
4、数. 3. 常系数线性差分方程及解的性质常系数线性差分方程及解的性质 的差分方程称为的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程，其中，其中为常数，且为常数，且为已知函数为已知函数. . 时，差分方程时，差分方程(1)称为称为齐次的齐次的，对应的对应的齐次差分方程齐次差分方程为为(2)定义定义4 形如形如(1)当当否则称为否则称为非齐次的非齐次的. 当当时，与差分方程时，与差分方程 (1) 定理定理1 设设的的k个特解，则线性组合个特解，则线性组合也是该差分方程的解，其中也是该差分方程的解，其中是是n阶常系数齐次线性差分方程阶常系数齐次线性差分方程为任意常数为任意常数. .的的n
5、个线性无关的解，则方程个线性无关的解，则方程 的通解为的通解为 其中其中为任意常数为任意常数定理定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个线个线性无关的特解若性无关的特解若是方程是方程 定理定理3 n阶非齐次线性差分方程阶非齐次线性差分方程 的通解与它自己本身的一个特解之和，的通解与它自己本身的一个特解之和，它对应的齐次方程它对应的齐次方程即通解等于即通解等于其中其中是它自己本身的一个特解是它自己本身的一个特解. 以上三个定理揭示了以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差阶齐次及非齐次线性差分方程的通解结构分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常它们是
6、求解线性差分方程非常重要的基础知识重要的基础知识在本书中在本书中我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法 (3)为常数，为常数，为已知函数为已知函数. .时，称方程时，称方程 (4)则则 (3) 称为称为一阶常系数非齐次线性一阶常系数非齐次线性一阶常系数线性差分方程的一般形式为一阶常系数线性差分方程的一般形式为其中其中当当为为一阶常系数齐次线性差分方程一阶常系数齐次线性差分方程.若若差分方程差分方程.二、二、 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程(1) 迭代法求解迭代法求解：一般地一般地，对于一阶常系数齐次线性差分方程对于一阶常系数齐次线性差分方程通
7、常有如下两种解法通常有如下两种解法.1. 常系数齐次线性差分方程的通解常系数齐次线性差分方程的通解(2) 特征方程法求解特征方程法求解：设设化简得：化简得：即即分别称为方程分别称为方程和和是方程是方程 (4) 的解的解. 再由解的结构及通解的定义知：再由解的结构及通解的定义知： 的的特征方程特征方程和和特征根特征根.是齐次方程的通解是齐次方程的通解.为任意常数为任意常数)故故例例4 求求的通解的通解. .从而特征根为从而特征根为于是原方程的通解为于是原方程的通解为其中其中C为任意常数为任意常数.解解 特征方程为特征方程为的右端项为某些特殊形式的函数时的特解的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.
8、考虑差分方程考虑差分方程(c为任意常数为任意常数), 则差分方程为则差分方程为1) 采用迭代法采用迭代法求解：求解：有迭代公式有迭代公式给定初值给定初值2)一般法求解：一般法求解：设差分方程设差分方程的特解的特解.具有形如具有形如(1) 当当时，时，(2) 当当时，时，例例5 求差分方程求差分方程 的通解的通解. .解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为 由于由于故可设其特解为故可设其特解为：代入方程，解得代入方程，解得：故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：设差分方程设差分方程 (6) 具有形如具有形如的特解。的特解。于是于是即即解得解得于是于是和和例例6 求差分方程求差分
9、方程 的通解。的通解。 解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为由于由于故可设其特解为：故可设其特解为：代入方程，解得代入方程，解得：故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：设差分方程设差分方程(7) 具有形如具有形如的特解的特解.将特解代入差分方程将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数后比较两端同次项系数确定系数确定系数例例7 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。 解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为由于由于故可设其特解为故可设其特解为代入方程，得代入方程，得比较系数比较系数：原差分方程通解为原差分方程通解为解得解得故方程特解为故方程特解为设差分方程具
10、有形如设差分方程具有形如的特解的特解.综上所述，有如下结论：综上所述，有如下结论：若若当当 时，时，(*)(*)式左端为式左端为 次多项式，要使次多项式，要使 (*)(*) 式成立，则要求式成立，则要求故可设差分方程故可设差分方程（8）具有形如）具有形如的特解的特解.前面三种情况都是差分方程（前面三种情况都是差分方程（8）的特殊情形：）的特殊情形：当当 时，取时，取 否则，取否则，取 例例8（存款模型（存款模型)为为 期存款总额，期存款总额，利率，按年复利计息，则利率，按年复利计息，则与与有如下关系式：有如下关系式：这是关于这是关于的一个一阶常系数齐次线性差分方程，的一个一阶常系数齐次线性差分
11、方程，其中其中为初始存款总额为初始存款总额. .为存款为存款其通解为其通解为设设三、三、 差分方程在经济问题中的简单应用差分方程在经济问题中的简单应用例例9（贷款模型）（贷款模型）设每个月应付设每个月应付x元元( (贷款额为贷款额为元）元）, ,月利率是月利率是第一个月应付利息为第一个月应付利息为可入住可入住,另一半由银行以年利另一半由银行以年利r贷款贷款,均每月付多少元？共付利息多少元？均每月付多少元？共付利息多少元？n年付清，问平年付清，问平设某房屋总价为设某房屋总价为a 元元,先付一半先付一半解解第二个月应付利息为第二个月应付利息为于是依此类推可得于是依此类推可得这是一个一阶常系数非齐次
12、线性差分方程，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，所以特征根为所以特征根为， 其对应的齐次线性差分方程的特征方程为其对应的齐次线性差分方程的特征方程为其对应的齐次线性差分方程的通解为其对应的齐次线性差分方程的通解为由于由于1 不是特征方程的根，不是特征方程的根，代入原方程，得代入原方程，得即即于是于是故原方程的通解为故原方程的通解为于是令特解于是令特解当当时，得时，得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为于是于是n年利息之和为年利息之和为由于上式中由于上式中也是总利息，所以有也是总利息，所以有从而得从而得因此，平均每月付因此，平均每月付元，共付利息元，共付利息元元. .
13、 该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年年例例10 （筹措教育经费模型）（筹措教育经费模型）某家庭从现在着手从每某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育的教育. 并计划并计划20年后开始从投资帐户中每月支取年后开始从投资帐户中每月支取1000元，共计支取元，共计支取10年，直到子女完成学业并用完年，直到子女完成学业并用完全部资金全部资金.要实现这个投资目标，要实现这个投资目标，20年内共要筹措多年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月少资金？每月要向银行存入多
14、少钱？假设投资的月利率为利率为0.5%， 10年后子女大学毕业用完全部资金年后子女大学毕业用完全部资金.分析分析解解 设从现在到设从现在到20年内共要筹措年内共要筹措 x 元资金，第元资金，第n个月个月 每月存入资金每月存入资金 a 元元. 同时同时.投资账户资金为投资账户资金为In元，元，也设也设 20 年后第年后第 n 个月投资帐户资金为个月投资帐户资金为Sn 元，于是，元，于是，20 年后，关于年后，关于Sn的差分方程模型为的差分方程模型为每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取年后将所有资金用于子女教
15、育，每月支取1000元，元，10内用完所有资金内用完所有资金. 并且并且解方程解方程(9)，得通解，得通解以及以及 （9）从而有从而有从现在到从现在到20 年内，年内， In满足的差分方程为满足的差分方程为 (10)解方程解方程(10), 得通解得通解，且且以及以及从而有从而有即要达到投资目标，即要达到投资目标，20 年内要筹措资金年内要筹措资金 90073.45 元，元，平均每月要存入银行平均每月要存入银行 194.95 元元.在在自自由由市市场场上上一一定定注注意意过过这这样样的的现现象象：一一个个时时期期由由于于猪猪肉肉的的上上市市量量你你远远大大于于需需求求量量时时，销销售售不不畅畅会
16、会导导致致价价格格下下跌跌，农农民民觉觉得得养养猪猪赔赔钱钱，于于是是转转而而经经营营其其它它农农副副产产品品.过过一一段段时时间间猪猪肉肉上上市市量量减减少少，供供不不应应求求导导致致价价格格上上涨涨，原原来来的的饲饲养养户户觉觉得得有有利利可可图图，又又重重操操旧旧业业，这这样样下下一一个个时时期期会会重重新新出出现现供供大大于于求求, 价价格格下下跌跌的的局局面面. 在在没没有有外外界界干干预预的的条条件件下下，这这种种现现象象将将一一直直循循环环下下，在在完完全全自自由由竞竞争争的的市市场场体体系系中中，这这种种现现象象是是永永远远不不可可避避免免的的.由由于于商商品品的的价价格格主主
17、要要由由需需求求例例11 (动态经济系统的蛛网模型动态经济系统的蛛网模型)关关系系来来决决定定的的，商商品品数数量量越越多多，意意味味需需求求量量减减少少，因因而而价价格格越越低低.而而下下一一个个时时期期商商品品的的数数量量是是由由生生产产者者的的供供求求关关系系决决定定，商商品品价价格格越越低低，生生产产的的数数量量就就越越少少.当当商商品品数数量量少少到到一一定定程程度度时时，价价格格又又出出现现反反弹弹.这这样样的的需需求求和和供供给给关关系系决决定定了了市市场场经经济济中中商商品品的的价价格格和和数数量量必必然然是是振振荡荡的的. 有有的的商商品品这这种种振振荡荡的的振振幅幅越越来来
18、越越小小，最最后后趋趋于于平平稳稳，有有的的商商品品的的振振幅幅越越来来越越大，最后导致经济崩溃大，最后导致经济崩溃. 现现以以猪猪肉肉价价格格的的变变化化与与需需求求和和供供给给关关系系来来研研究究上述振荡现象上述振荡现象.图图4.1：蛛网模型图：蛛网模型图个时期个时期 (假定为一年假定为一年) 猪肉的产量为猪肉的产量为价格为价格为产量与价格的关系为产量与价格的关系为这种产销关系可用下述过程来描述：这种产销关系可用下述过程来描述：设第设第决定下一时期的产量，决定下一时期的产量， 因此因此本时期的价格又本时期的价格又设设 在图在图4.1中，是以产量中，是以产量Q和价格和价格P 作为坐标系的横轴
19、和作为坐标系的横轴和和纵轴，这种关系很象一个蜘蛛网，故称为和纵轴，这种关系很象一个蜘蛛网，故称为蛛网模型蛛网模型.对于蛛网模型，假定商品本期的需求量对于蛛网模型，假定商品本期的需求量决定于本期决定于本期即需求函数为即需求函数为的价格的价格商品本期产量商品本期产量决定于前一期的价格决定于前一期的价格即供给函数为即供给函数为从而蛛网模型可以用下述联立方程式来表示：从而蛛网模型可以用下述联立方程式来表示：其中其中均为常数且均大于零均为常数且均大于零. .蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况. .下面只讨论一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求下面只
20、讨论一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求即当市场由于受到干扰偏离原有的即当市场由于受到干扰偏离原有的曲线斜率的绝对值曲线斜率的绝对值. .均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点点. 假设假设, ,在第一期由于某种外在原因的干扰在第一期由于某种外在原因的干扰, ,如恶劣的如恶劣的减少为减少为气候条件，实际产量由均衡水平气候条件，实际产量由均衡水平曲线，曲线，消费者愿意支付消费者愿意支付根据需求根据需求的价格购买全部的的价格购买全部的产
21、量产量于是，实际价格上升为于是，实际价格上升为.根据第一期较高根据第一期较高的价格水平的价格水平在第二期，生产者为了出售全部的产量在第二期，生产者为了出售全部的产量接受接受于是，实际价格下降为于是，实际价格下降为.根据第二期的较低的价格水平根据第二期的较低的价格水平生产者将第三生产者将第三在第三期，消费者愿意支付在第三期，消费者愿意支付的价格购买全部的产量的价格购买全部的产量于是，实际价格又上升为于是，实际价格又上升为根据第三期较高的价格水平根据第三期较高的价格水平如此循环下去如此循环下去( (如图如图4.2所示所示)，实际实际消费者所愿意支付的价格消费者所愿意支付的价格期的产量减少为期的产量
22、减少为生产者又将第四生产者又将第四期的产量增加为期的产量增加为产量和实际价格的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡产量和实际价格的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡按照供给曲线，生产者将第二期的按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为产量增加为所代表的水平所代表的水平. .点点图图4.2 收敛型蛛网收敛型蛛网 由此可见，图由此可见，图4.2中的平衡点中的平衡点所代表的平衡状态是所代表的平衡状态是后，经济制度中存在着自发的后，经济制度中存在着自发的也就是说，由于外在的原因，当价格和产量也就是说，由于外在的原因，当价格和产量稳定的稳定的.偏离平衡点偏离平衡点因素，能使价格和产量自动地恢复均衡状态因素，能
23、使价格和产量自动地恢复均衡状态.产量和产量和蛛网模型蛛网模型名称的由来名称的由来.价格的变化轨迹形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是价格的变化轨迹形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是据统计，某城市据统计，某城市2001年某种鲜鱼的产量为年某种鲜鱼的产量为30万吨，万吨，举例说明举例说明：价格为价格为6.00元元/公斤公斤. 2002年生产该鲜鱼年生产该鲜鱼25万吨，价格为万吨，价格为8.00元元/公斤公斤.已知已知2003年的鲜鱼产量为年的鲜鱼产量为25万吨，并假定万吨，并假定若维持目前的消费水若维持目前的消费水鲜鱼产量鲜鱼产量与价格之间是线性关系与价格之间是线性关系. .问若干年以后的产量与价格是否
24、会趋于问若干年以后的产量与价格是否会趋于稳定？稳定？若稳定请求出稳定的产量和价格若稳定请求出稳定的产量和价格. .平与生产方式，平与生产方式， 设设2001年鲜鱼的产量为年鲜鱼的产量为鲜鱼的价格为鲜鱼的价格为猪肉的产量为猪肉的产量为猪肉的价格为猪肉的价格为依此类推依此类推. .根据根据线性线性是一条直线，且是一条直线，且和和在直线上，因此得需求函数为在直线上，因此得需求函数为（11）2002年年假设，需求函数假设，需求函数供给函数供给函数也是一条直线，且也是一条直线，且和和在直线上，因此得供给函数为在直线上，因此得供给函数为 （12）的差分方程的差分方程 （13）将将(11)式代入到式代入到(12式得关于式得关于利用迭代法解方程利用迭代法解方程(13), 于是有于是有所以所以从而从而类似于上述推导过程，得到关于类似于上述推导过程，得到关于的表达式的表达式于是于是，（元（元/ /公斤）公斤）. .（万吨），稳定的价格为（万吨），稳定的价格为（元（元/ /公斤）公斤）. .若干年以后的产量与价格都会趋于稳定，其稳定的产量若干年以后的产量与价格都会趋于稳定，其稳定的产量为为于是，于是，（万吨）（万吨）. .
