NO1地面搜索讲解

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1、 2016 年度无锡职院数模培训 承诺书 我们仔细阅读了竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们授权组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行

2、正式或非正式发表等） 。 我们参赛选择的题号为（从 A/B/C 中选择一项填写） ： A 我们的参赛报名号为： 1 参赛组别（研究生或本科或专科） ： 本科 所属学校（请填写完整的全名） JIANGSUDAXUE 参赛队员 (打印并签名) ：1. 任王君 2. 居文慧 3. 周乾 日期： 2016 年 07 月 11 日 获奖证书邮寄地址：江苏无锡市滨湖区高浪西路 1600 号无锡职业技术学院 邮政编码 214121 2016 年度无锡职院数模培训 编 号 专 用 页 竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 评阅记录 评 阅 人 评 分 备 注 裁剪线 裁剪线 裁剪线 竞赛评阅编号（由竞

3、赛评委会评阅前进行编号）： 参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）： 1 2016 年数学建模暑期培训题一 题 目 地面搜索 摘 要 问题一，在解决本题时，为了方便线路的规划，我们将区域的平面图划分成一个个小正方形。因为拐弯时拐点处会有搜索盲区，为了达到搜索全覆盖，需要对盲区进行搜索，由此，会出现重复搜索的情况，耽搁搜索的宝贵时间。所以，在考虑搜索线路选择时，应尽量走直线少拐点，保持顺时针的拐弯与逆时针的基本相同，还应尽量避免重复搜索的情况。 问题二，在问题一的基础上先对人员进行了分组，每组人数分为 10，20，20，则每组人的搜索区域大致为 1:2:2，然后对其中的部分区域进一步的划分

4、，用最小最大法，使其中用时最长的一组时间最短，并将其作为最终搜索时间。 关键词：区域划分 制定路线 最小最大 全覆盖 8 一、 问题重述 地面搜索 在 5.12 汶川大地震中，为了能够快速确定需要救助的人员的准确位置，搜索人员需要制定搜索的行进路线，使得搜索队伍能对预定区域进行快速的全面搜索。通常，每个搜索人员都带有 GPS 定位仪、步话机、卫星电话以及食物和生活用品等装备。GPS 可以让搜索人员知道自己的方位。步话机可以相互进行通讯。卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。 下面是一个简化的搜索问题。全境搜索一个平地矩形目标区域，大小为 11200 米7200米。假设：出发点在区域中心；搜索完成后

5、需要在左侧短边中点（集结点即结束点）集结；每个人搜索时的可探测半径为 20 米，搜索时平均行进速度为 0.6 米/秒；不需搜索而只是行进时,平均速度为 1.2 米/秒。每个人带有步话机的通讯半径为 1000 米。搜索队伍若干人为一组,有一个组长，组长还拥有卫星电话。每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。 现在有如下问题需要解决： 1假定有一支 20 人一组的搜索队伍, 拥有 1 台卫星电话。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的方式，搜索完整个区域的时间是多少? 能否在 48 小时内完成搜索任务? 如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成

6、。 2为了加快速度，搜索队伍有 50 人，拥有 3 台卫星电话，分成 3 组进行搜索。每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的搜索方式, 搜索完整个区域的时间是多少? 二、 问题分析 2.1 问题一 将 20 个人看作一个整体，排成一排，则最长的搜索范围为800 米。又因为平地区域的大小为 11200 米7200 米，所以我们将搜索区域平均分成 126 个小正方形，每个正方形的边长为 800 米，即搜索区域分成 149 的网格，以方便确定搜索路线。为了保持通讯的畅通，并且减少转弯时队员之间的路程差别，尽量使顺时针拐弯和逆时针拐弯的次数相等。在拐角处会有盲

7、区，搜索人员需要以 0.6 米/秒的速度扫过盲区，再以 1.2米/秒的速度返回，为了使得拐弯点数量的最少，我们制定的搜索路线中人员横向搜索为主，纵向搜索为次。经过计算，20 人一组的队伍以 1.2 米/秒的速度重复经过一个边长为 800 米的区域所用的时间是盲区搜索时间的 32 倍。所以在制定线路时，首先保证了没有重复路线，其次在该基础上减少拐弯的数量。 2.2 问题二 8 在问题一的基础上，对搜索区域进行划分，将50 个人分为三组，人数分别为20，20，10，则每组负责搜索的区域面积比大致为 2：2：1。三组同时开展搜索，用最小最大法，将最后一组搜索完成时所用的时间作为整体的搜救时间。各组的

8、路线制定原则和题一类似。 三、 模型假设 3.1 假设搜索速度不受天气、地震等因素的影响； 3.2 假设搜索队伍持续搜索； 3.3 忽视通讯过程中的时间差； 3.4 搜索队伍能够准确的进行各自的搜索，不会出现重搜索的情况； 3.5 搜索队伍不会出现通讯中断的情况。 四、 符号说明 a 题一中区域划分成的正方形的边长 b 题二中对区域进一步划分成的小正方形的边长 R 每个人搜索时的可探半径 20 米 1V 搜索时的平均行进速度 0.6 米/秒 2V 不搜索而只行进的平均速度 1.2 米/秒 X 将目标区域看成宽为 800 米的长方形区域的长 0T 理论最少搜索时间 0t 在拐点处所用的搜索时间

9、S 总的拐点数量 m 顺时针拐弯数 n 逆时针拐弯数 1t 题一在拐弯时用的总时间 8 1T 题一中搜索用的总时间 At A 组所用的搜索时间 Bt B 组所用的搜索时间 Ct C 组所用的搜索时间 2T 题二中搜索用的最终时间 五、模型的建立与求解 5.1 问题一： 5.1.1 理论搜索时间最小值 假如不考虑任何因素，如起点终点的限定，人员之间保持通讯，只考虑人员搜索全 部区域所用的时间。当 20 人排成一排，组成最长搜索范围为 800 米的队形，将 11200米7200 米的区域看成为 X 米800 米的长方形区域。 根据 11200 720080011200 7200800100800X

10、XX 全境搜索该区域的所用时间的理论最小值为： 0110080046.6667( )36000.6 3600XThV 5.1.2 线路制定 由题干可知每名搜索队员搜索半径为 20 米，当队员们排成一排时最大搜索范围为800米， 因此我们将区域划分成边长为a=800米的小正方形， 共计112007200126()800800个。 根据题目要求，总结出三个原则：一、目标区域全境搜索； 二、每位队员搜索路程相等； 三、搜索路线不重复。 在拐弯处，每位搜索人员都会有一个搜索的盲区，如图 2 中影阴部分所示。 8 图 2 搜索盲区 对于该区域的搜索，有 2 种解决方法。 法一，如图 3，当搜索人从 A

11、走到 O 时，沿着 OC 方向以 0.6 米/秒的速度扫过盲区，再沿着 CO 方向以 1.2 米/秒的速度返回 O 点，最后向 D 点继续搜索，以保证目标区域全境搜索。 法二， 如图 4， 当搜索人从 A 走到 O 时， 沿着 OO1方向以 0.6 米/秒的速度扫过盲区，再沿着 O1 O 方向以 1.2 米/秒的速度返回 O 点，最后向 D 点继续搜索。 以上两种盲区搜索方法都可以保证目标区域的全境搜索。 图 3 盲区搜索行进细节（法一） 图 4 盲区搜索行进细节（法二） 在拐弯时，每位队员的搜索路程有差异，假设 2 名搜索队员起点终点一致，行进路线按顺时针旋转（如图 5） ，显然，外侧队员行

12、走的路线比内侧队员长，在行进速度相同时，外侧队员的搜索时间会比内侧队员搜素时间长。因此，顺时针拐弯和逆时针拐弯的 8 数量应相等，使得每位队员搜索路程相等。 图 5 拐角点路程差异示意图 最终制定出搜索路线图，制定的路线共有 S=29 个拐弯点，其中，顺时针的拐弯有m=15 个,逆时针的拐弯有 n=14 个。(如图 3 所示) 图 3 问题一搜索线路 5.1.3 时间计算 （1）盲区搜索时间 盲区搜索方法一，搜索时间： 如图 3，2220 2OCR（米） 8 20OBR（米） 012202-1202-1+=20.7107s0.61.2OCOBOCOBtVV（）（）； 盲区搜索方法二，搜索时间：

13、 如图 4，OO1 =R=20（米） 每个拐点需搜索时间为： 11012202050( )0.61.2OOOOtsVV 显然，方法一的盲区搜索方法所用时间较少，采用法一进行盲区的搜索。 则 29 个拐弯处所用总时间为： 100t =292920.7107600.6103( )tSts (2)除拐点以外所用的搜索时间 依据每格长为 800 米，搜索时的平均行进速度为 0.6 米/秒，以最后一名队员完成搜索为最终时间，除拐点以外所用的搜索时间： 21a(126+1)800 127t=47.037036000.6 3600hV（ ） (3)搜索的总时间 112600.610347.037047.20

14、39( )36003600tTth 5.2 问题二 5.2.1 路线制定 在问题一的基础上，我们将50 人分为 3 组，每组人数分别为 20、20、10，并按照每组人数比例将整块搜索区域划分成1:2:2 三部分， 然后将其中一些方格进一步分成边长为 b=400 米的小正方形，用来制定10 人组的行进路线。按照题一的线路制定原则，对各组人员的搜索路线进行制定(如图 4)。 5.2.2 时间计算 A 组：总共搜索了 51 个 a=800 米的方格，有 12 个拐点，顺时针与逆时针拐点数相差 2 个，则时间为： 01(512)a3600360053 80011 20.71060.6 36003600

15、19.6929( )AAASttVtth； 8 B 组：总共搜索了 50 个 a=800 米的方格，有 14 个拐点，顺时针与逆时针拐点数相差 2 个，搜索完成以后，以 1.2 米/秒的速度到区域左边中点集合，时间计算如下： 0122t(502)a236003600360052 80014 20.710640020.6 360036001.2 360019.4707( )BBBaStVVtth； C 组：总共搜索了 100 个 b=400 米的方格，有 18 个拐点，顺时针与逆时针拐点数相差 2 个，搜索完成以后，以 1.2 米/秒的速度到区域左边中点集合，时间计算如下： 012(1002)b

16、40013360036003600102 40018 20.7106400130.6 360036001.2 360019.3262( )CCCSttVVtth； 综上，C 组所用时间最长，所以最后以 C 组所用时间作为最终搜索时间: 2=19.6929( )ATth 图 4 问题二搜索线路 8 六、模型的说明 6.1 模型说明 本题中设计的线路大多为长线段， 方便了搜索队员的前进。 搜索中没有重复的路线，节省了大量的时间。向左向右拐弯的数量基本相同，减少了各队员搜索时间的差异。队员集体工作，确保通讯无碍。 6.2 模型优化 很多模型是建立在理想化状态下的，与实际情况还是有些误差的，因为有些方

17、面为了简化而忽视了很多其他复杂因素。 6.2.1 本题中有一个 1.2 米/秒的速度，该速度不需要队员搜索，只需要前进。如果队员按图 5 所示的线路进行搜索，可以全程以该速度前进。只要在图中所示的每个圆心处进行搜索即可做到搜索全覆盖。但是，区域边界有部分区域存在搜索盲区（图中阴影部分） ，需要进行进一步处理。且在现实中，这样的前进方法可操作性太差，仅供参考。 图 5 优化路线 1 6.2.2 对于本题还有一种拐点较少的走的直线的方法，如图6 所示，若出发点不在正中间，那么此种方法既具有极强的现实意义，且便于实施，此方法能让搜索队员用更短的时间，搜索更大的面积，在地震中挽救更多的生命。 8 图 6 线路优化 2 七、参考文献 1 韩中庚.数学建模及其应用.北京：高等教育出版社，2011 2 汪国强.数学建模优秀案例选M.广州：华南理工大学出版社，1998