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1、.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0） ，与y轴的交点为B（0，-1） (1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C， 使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0t10）与抛物线交于点N，当t为何值时，BCN的面积最大，并求出最大值解析： （1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.（2）设 C 点坐标为（x,y）,由题意可知.过点 C 作轴于点 D,连接 AB,AC.易证,根据对应线段成比例得出的关系式，再根据点 C 在抛物线上得，联立两个关系式组成方程组，求出的
2、值，再根据点 C 所在的象限确定点 C 的坐标。P 为 BC 的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线可得,故点 H 的坐标为（5,0）再根据点 P 在 BC 上，可求出直线 BC 的解析式，求出点 P 的坐标。（3）根据,得，所以求的最大值就是求 MN 的最大值，而 M,N 两点的横坐标相同，.所以 MN 就等于点 N 的纵坐标减去点 M 的纵坐标,从而形成关于 MN 长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。解：(1) 抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为.由抛物线过B(0,-1) 得，抛物线的解析式为.即 (2)设C的坐标为(x，y).A在以BC为直径的圆上
3、.BAC=90作CDx轴于D ,连接AB、AC, AOBCDAOBCD=OAAD即1=2(x-2).=2x-4点 C 在第四象限.由解得点 C 在对称轴右侧的抛物线上.点C的坐标为 (10,-16)P为圆心，P为BC中点取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线PH=(OB+CD)=D(10,0)H(5,0)P (5, )故点P坐标为(5，)(3)设点 N 的坐标为，直线 x=t（0t10）与直线 BC 交于点 M.，所以设直线 BC 的解析式为，直线 BC 经过B(0,-1)、C (10,-16)所以成立，解得：所以直线 BC 的解析式为，则点 M 的坐标为.MN= =所以，当 t=5时，有最大值，最大值是.点拨： （1）已知抛物线的顶点坐标（h,k）一般可设其解析式为.(2)求最值问题.一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.
