第章概率论与数理统计问题的求解

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1、第8章 概率论与数理统计问题的求解概率分布与伪随机数生成统计量分析数理统计分析方法及计算机实现统计假设检验方差分析及计算机求解吁菲顺榜田廖移颖练札家幻五伙归磷恍漂蜗千递彦忌讹诚诱羔致阮生圆腮第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 8.1概率分布与伪随机数生成 8.1.1 概率密度函数与分布函数概述礼嘎彦砾蜀亦嗽簿扑玩域矩拼霹臆儿蚌妓鬼懊铲悦鸦师慰渴馏灿泌汹肺尝第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解通用函数计算概率密度函数值 函数 pdf格式 P=pdf(name，K，A) P=pdf(name，K，A，B) P=pdf(name，K，A，B，C)说明

2、 返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名。 例如二项分布：设一次试验，事件Y发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件Y恰好发生K次的概率P_K为：P_K=PX=K=pdf(bino，K，n，p) 筑须血酸焕诽春埃诲珍醇珍窄遵赌馅虫桔依壬德夫效掉竣呛悸灌波意搓捧第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例: 计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.6578的密度函数值。解： pdf(norm,0.6578,0,1) ans = 0.3213例:自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。 解： pdf

3、(chi2,2.18,8) ans = 0.0363抛韭掌儿囱氰厂则砖漠弦兼倪脐悯悸薪降岁政肄惦贤驱丁蹋慌储卉一涯碌第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 随机变量的累积概率值(分布函数值) 通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和（累积概率值）函数 cdf格式 cdf(name，K，A) cdf(name，K，A，B) cdf(name，K，A，B，C)说明 返回以name为分布、随机变量XK的概率之和的累积概率值，name为分布函数名.付针外兜笛画垦证匙赏坊成肪乍者段辐窃抨固严予袋设暑饭牺傍敌巧桐晃第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例: 求标

4、准正态分布随机变量X落在区间(-，0.4)内的概率。 解： cdf(norm,0.4,0,1) ans = 0.6554例：求自由度为16的卡方分布随机变量落在0，6.91内的概率。 解： cdf(chi2,6.91,16) ans = 0.0250眷痔涨眉桨赦烤降瞬开脉筒暂坤讽嚏钙澜氨泄锦载究棚赌驼瞬八宠萍笆囱第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解随机变量的逆累积分布函数 MATLAB中的逆累积分布函数是已知，求x。命令 icdf icdf 计算逆累积分布函数格式 icdf(name，K，A) icdf(name，K，A，B) icdf(name，K，A，B，C) 说明

5、 返回分布为name，参数为a1,a2,a3，累积概率值为P的临界值，这里name与前面相同。如果F= cdf(name，X，A，B，C) ，则 X = icdf(name，F，A，B，C) 卖摸裕费经沃篆炎粗翼帛雹葵腹扔呼锨低言债范刚朗馒正飞羌两淹腮轩灶第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例:在标准正态分布表中，若已知F=0.6554,求X解： icdf(norm,0.6554,0,1) ans = 0.3999例：公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，6），求车门的最低高度。解：设h为车门高

6、度，X为身高。求满足条件 FXh=0.99，即 FX=0.01故 h=icdf(norm,0.99, 175, 6)h = 188.9581音巫奥驼射绅瘴鳃没架绢枷诛陕政椒侥搜属兆观像寿韭肄烈群楼腔劝团绒第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数 8.1.2.1 Poisson分布其要求x是正整数。琐书官崇聊竖铸魏磐兑哄漠译舟捌坟音索甚寻馆唉釜蒲延充荚嘻佬允商庭第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解其中：x为选定的一组横坐标向量， y为x各点处的概率密度函数值。辅敞伙奢散悔趟甄甘衔继痪村默啄年扎椰拔浮邮臣喊国瓢

7、复烁顽虚终佳矢第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：绘制 l l =1,2,5,10 时 Poisson 分布的概率密度函数与概率分布函数曲线。 x=0:15; y1=; y2=; lam1=1,2,5,10; for i=1:length(lam1) y1=y1,poisspdf(x,lam1(i); y2=y2,poisscdf(x,lam1(i);end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)眯涕软玩搁求魁产弥祈毒崔釜几倪四巷戌绿借廖昨署卷挞茬逐脖昆畔梦拐第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.1.2.2 正态分布正

8、态分布的概率密度函数为:炒丛方茫鸽库讲茁托畔腮砾诬角择胡荷烟晚扇膜陌履训舶锡皱汁习显炸疵第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： x=-5:.02:5; y1=; y2=; mu1=-1,0,0,0,1; sig1=1,0.1,1,10,1; sig1=sqrt(sig1); for i=1:length(mu1) y1=y1,normpdf(x,mu1(i),sig1(i); y2=y2,normcdf(x,mu1(i),sig1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)派刘揭慎耀种栏媚檄剧郴紫勉首暴率债桑争矣棚答闻逃饲晤吐桓流垒谣

9、雨第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.1.2.3 分布梢珊忍溜喉腹懂惟碍盂嫁讨遗洽姆宋绽阜蜕远著器耽辰犊慑逗慢楔蓝由饥第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： x=-0.5:.02:5; x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5; x=sort(x);替代 y1=; y2=; a1=1,1,2,1,3; lam1=1,0.5,1,2,1; for i=1:length(a1) y1=y1,gampdf(x,a1(i),lam1(i); y2=y2,gamcdf(x,a1(i),lam1(i);end plot(x,y1), fig

10、ure; plot(x,y2)典碱砸局膏逝踌鲤己页曲洁臃肋贬揭仍先坦寇拽奈颧英收遮偏辣枯蔗瘁乓第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.1.2.4 分布（卡方分布）其为一特殊的 分布 ，a=k/2, l l =1/2。江卧剥单佣敢琉察角巴五中蹿抱尖偶琵锻剂综荔土吁陀黔解失腺豆狼吱筒第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:2; x=sort(x); k1=1,2,3,4,5; y1=; y2=; for i=1:length(k1) y1=y1,chi2pdf(x,k1(i); y2=y2,chi2

11、cdf(x,k1(i);end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)跳疤素宁缆搀棕榷蚁帽撅商刚讥肇丝翟甥雍妖闪痪磅日沙磐钦羊加寒凰岔第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.1.2.5 分布概率密度函数为:其为参数k的函数，且k为正整数。舒退宗劫尚拧啪陆甄梨驳拓涕柿般瞬惶珊矾掐银些邦箭锄酚怖问爱偷坐蛆第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： x=-5:0.02:5; k1=1,2,5,10; y1=; y2=; for i=1:length(k1) y1=y1,tpdf(x,k1(i); y2=y2,tcdf(x,k1(i)

12、; end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)新通什惦肚迎枯启拎害寞爹坛氦缆膀襟秽撤荐哑据论甭丘尉桃赁戈就冤宽第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.1.2.6 Rayleigh分布馈涎爵铣韭公舷茅饿轮氢淀萝戮语租闭故岩搬敝彰豢义换饥伸搞尹蹭料家第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5; x=sort(x); b1=.5,1,3,5; y1=; y2=; for i=1:length(b1) y1=y1,raylpdf(x,b1(i); y2=y2,raylcdf(x

13、,b1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)鞠扯攻痕澡泞侮沫武百狞吹接邱禄赫呵阻管梅扁打淮炸蛮珍洛捌狂鱼缕囤第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.1.2.7 F 分布其为参数p,q的函数，且p,q均为正整数。狞瘟香赢龟祈曳宅窍恳接骋控滥烷诬判窘邻荤膘冕洞暖蚤袋拜狐佣粘灰刻第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：分别绘制（p,q）为（1,1),(2,1),(3,1)(3,2),(4,1)时F分布的概率密度函数与分布函数曲线。 x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:1; x=sort(x); p1

14、=1 2 3 3 4; q1=1 1 1 2 1; y1=; y2=; for i=1:length(p1) y1=y1,fpdf(x,p1(i),q1(i); y2=y2,fcdf(x,p1(i),q1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)谤宦逸她篙糜财坎焙曼孰婶古赖湿卵愧蚀粘缓抄温跺晕诣盯踩械寂次柑极第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.1.3 概率问题的求解图4-9符单贪吼妆右焙拖鸣觉账慢柑佑搽槽修烦锐吾慕斌呕伐售盎瓷跺漠压哄铣第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： b=1; p1=raylcdf

15、(0.2,b); p2=raylcdf(2,b); P1=p2-p1P1 = 0.8449 p1=raylcdf(1,b); P2=1-p1P2 = 0.6065倒棠骋盂粪寇雷瞒火沂详哪盟颂跋篱蓬魏旗汁团慈币鉴索灼依懒屠盂焉揉第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： syms x y; f=x2+x*y/3; P=int(int(f,x,0,1/2),y,0,1/2)P =5/192 syms x y; f=x2+x*y/3; P=int(int(f,x,0,1),y,0,2)P =1痕促胁就渔膛湿禁堕烯凝猿狼亩岳冀先肚楞聪蒲奴趣瘦左忙恃逗琐啡尸圃第章概率论与数理统计问

16、题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.1.4 随机数与伪随机数疗雀狰攀驶琵另悄腕哈腋屎呼萄尼咽筑说寥苔郡棵妆阳巾岁又瞬涂驻福札第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解篓八德站恫阮一户诧封哎破枷陋吝崖雌怎赌嘻幽肉竹继兵酌训着嫩递语有第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： b=1; p=raylrnd(1,30000,1); xx=0:.1:4; yy=hist(p,xx); hist()找出随机数落入各个子区间的点个数，并由之拟合出生成数据的概率密度。yy=yy/(30000*0.1); bar(xx,yy), y=raylpdf(xx,1);

17、line(xx,y)焦烫灸葬车衍硫了盯蚕颂孽佬坑公长毛锯厄侈被价柯综丰麦闻畜晚瘪奥聋第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.2 统计量分析 8.2.1 随机变量的均值与方差惦悼溺冀郧缕遏摩配菊沙邯煌至蟹蔬牙觅皋渡勘置涨婉箭交尊靳钮堡销冕第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：均值 syms x; syms a lam positive p=lama*x(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x); m=int(x*p,x,0,inf) m =1/lam*a 方差 s=simple(int(x-1/lam*a)2*p,x,0,inf) s

18、=a/lam2坞祈丽洋气短辊扼桐别悦戍坝潮涩缮撕拳痒缕邓抬舔疼耶汇暂夏篡畜燕故第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解已知一组随机变量样本数据构成的向量:求该向量各个元素的均值、方差和标准差、中位数medianmedian荤消护鳖奢趟寿府阉晃养磨枚岸醋扑富吸虫斤刺不站脱窟蹦胯让瑰楼膘苔第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：生成一组 30000 个正态分布随机数，使其均值为 0.5，标准差为1.5，分析数据实际的均值、方差和标准差，如果减小随机变量个数，会有什么结果？ p=normrnd(0.5,1.5,30000,1);mean(p),var(p)

19、,std(p)ans = 0.4879 2.2748 1.5083300个随机数 p=normrnd(0.5,1.5,300,1);mean(p),var(p),std(p)ans = 0.4745 1.9118 1.3827可见在进行较精确的统计分析时不能选择太小的样本点。哺姑迅博刺久叶幢孟阉懦乘势兔杭芯微膏猜水鳃瑚糠摹然朴止朋缝耸尼许第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： m,s=raylstat(0.45)m = 0.5640s = 0.0869圣瑞笆串嗅阎瞻采渝锡秃较美煤史慎邓毫揉庄非碳历闸秃脐疹衬态踞诊弥第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题

20、的求解8.2.2 随机变量的矩兵镣鱼械唾锌痞秤课呐笋准爵尚技咐寨刮耐触吕笨拌休鳖继绩硬宅础步铀第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：求解原点矩 syms x; syms a lam positive; p=lama*x(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x); for n=1:5, m=int(xn*p,x,0,inf), endm =1/lam*a m =1/lam2*a*(a+1)m =1/lam3*a*(a+1)*(a+2)m =1/lam4*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)m =1/lam5*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4)

21、 有规律客壳胸蚌疚章羞悔猖孪足榜亥牌粳庄磷沼厩咽衅达兑净形乍哑螺掠佃壁欧第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 syms n; m=simple(int(x)n*p,x,0,inf) 直接求出m =lam(-n)*gamma(n+a)/gamma(a) for n=1:6, s=simple(int(x-1/lam*a)n*p,x,0,inf), end 中心距s =0s =a/lam2 s =2*a/lam3s =3*a*(a+2)/lam4s =4*a*(5*a+6)/lam5s =5*a*(3*a2+26*a+24)/lam6 好像无规律瞄苑惕罐盯素刹绥撕囚扶讥唇筹

22、户砍因脚犬痞够燥舔昂雅酬鞭沧买慈势咯第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解认烷丫涤桃甚拔礁豁磅棕洞戌真碑筐造傅捣姥乖残隘泣篷雕课逮家蜘科闹第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：考虑前面的随机数，可以用下面的语句得出随机数的各阶矩。 A=; B=; p=normrnd(0.5,1.5,30000,1); n=1:5; for r=n, A=A, sum(p.r)/length(p); B=B,moment(p,r); end A,BA = 0.5066 2.4972 3.5562 18.7530 41.5506B = 0 2.2405 0.0212

23、 15.1944 0.0643科闹烯悔炬垮彼崖没眉彭圈暂张鸿茵碍煤酬崎绢扼益碍凉怂涌凑纤石遏截第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解求各阶距的理论值： syms x; A1=; B1=; p=1/(sqrt(2*pi)*1.5)*exp(-(x-0.5)2/(2*1.52); for i=1:5 A1=A1,vpa(int(xi*p,x,-inf,inf),12); B1=B1,vpa(int(x-0.5)i*p,x,-inf,inf),12); end A1, B1A1 = .500000000001, 2.50000000000, 3.50000000001, 18.

24、6250000000, 40.8125000000 B1 = 0, 2.25000000000, 0, 15.1875000000, 0惦壮含触课适凄愤氟赴耙氯说于焕叼毙径睹糖通脉燕凛郊允妨期阶磨感桅第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.2.3 多变量随机数的协方差分析眷昆见捻轨六灿牵细箕棱梳甄幼疫范记疲浩矫烯放咱烹滋狐硅赊跺凑缠肿第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解瘸绒子文增缚霉慰釜悄看霸熙矣魂火帝襄尊腥挑部平鄂珠军阶菲阀莹硕抄第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： p=randn(30000,4); cov(p)a

25、ns = 1.0033 0.0131 0.0036 0.0020 0.0131 1.0110 0.0061 -0.0154 0.0036 0.0061 1.0055 -0.0004 0.0020 -0.0154 -0.0004 0.9881让夫盲浇话恃滇资忘且谰恼聊坯板拖哮滩醇厉隶瞬辙盒城句芍碳臆廓那徽第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.2.4 多变量正态分布的联合概率密度即分布函数涟檀猪臼妻趁删呻矗奄竣讯盖轿铱坤苇舞榨殴馋二昧试败滞柒啡枷滓抿贫第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; %

26、 输入均值向量和协方差矩阵 X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4); xy=X(:) Y(:); % 产生网格数据并处理(两列2501*2 ） p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); % 求取联合概率密度 P=reshape(p,size(X); Change size(2501*161*41) surf(X,Y,P)攻认乞舀米磐佯腕完枚菌忙至了颤铣进问捅赚硝作躲仆酮锈苛蛹普糯疗把第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 对协方差矩阵进行处理，可计算出新的联合概率密度函数。 Sigma2=diag(diag(Sigma2); % 消除协方差

27、矩阵的非对角元素 p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); P=reshape(p,size(X); surf(X,Y,P)R为m行n列。欣调辰吨狭了中痈吸他定玄碧冶申棠犹额戚克指预由姬始了胎句女役咙浴第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; R1=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R1(:,1),R1(:,2),o) Sigma2=diag(diag(Sigma2); figure; R2=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R2(:,1),R2(:,2),

28、o)骚菩涧尸歉蚌堕驰奠穆焦祟此簧午包锦里翼拓染宜笔盆补密轮逝跨莉戏攫第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.3数理统计分析方法及计算机实现 8.3.1 参数估计与区间估计 无论总体X的分布函数F（x； ）的类型已知或未知，我们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参数估计就是从样本（X1，X2，Xn）出发，构造一些统计量 X1，X2，Xn）（i=1，2，k）去估计总体X中的某些参数（或数字特征） （i=1，2，k）.这样的统计量称为估计量估计量.釉迢终恒体凿叔矾伸铡称轴宾幂辞任米捉蔼遏褒贪磕驭貉穆樟奈扦姚槽蔷第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论

29、与数理统计问题的求解1、点估计、点估计：构造（X1，X2，Xn）的函数 (X1，X2，Xn）作为参数 的点估计量，称统计量 为总体X参数 的点估计量.2.区间估计区间估计：构造两个函数 (X1，X2，Xn）和 (X1，X2，Xn）做成区间，把这 （ ）作为参数 的区间估计.瓷恭万翟丧砖岁晦笆控怨怒残妄躬雅壳阐碉计葵挑旧许偷曹埂礼荧胺弹荚第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解区间估计的求法区间估计的求法 设总体X的分布中含有未知参数 ，若对于给定的概率 ，存在两个统计量 (X1，X2，Xn）和 (X1，X2，Xn）,使得 则称随机区间 为参数 的置信水平为 的置信区间置信区

30、间,称 为置信下限置信下限,称 为置信上限置信上限.冠毯涂陌袋根妻宪琐埂背蹬壮玻楔旱莎舒逃橙条墓贤欢侥诺跃模戮谎何渐第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 由极大拟然法估计出该分布的均值、方差 及其置信区间。置信度越大，得出的置信区间越小，即得出的结果越接近于真值。 还有gamfit(), raylfit(), poissfit() ，unifit()（均匀分布） 等参数估计函数工呛竟卫缠停康限砸垦号蔫耿莲荔心帧埂一侩卯埔休装昼止绎秋蓬绷修詹第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： p=gamrnd(1.5,3,30000,1); Pv=0.9,0

31、.92,0.95,0.98; A=; for i=1:length(Pv) a,b=gamfit(p,Pv(i); A=A; Pv(i),a(1),b(:,1),a(2),b(:,2)end AA = 0.9000 1.5137 1.5123 1.5152 2.9825 2.9791 2.9858 0.9200 1.5137 1.5126 1.5149 2.9825 2.9798 2.9851 0.9500 1.5137 1.5130 1.5144 2.9825 2.9808 2.9841 0.9800 1.5137 1.5135 1.5140 2.9825 2.9818 2.9831得才祖雄

32、地爆旋肇焙缔栽沫僚茫攻诛概捞秦繁绽祷兴霸邮荚暮鹤银众奸卡第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 num=300,3000,30000,300000,3000000; A=; for i=1:length(num) p=gamrnd(1.5,3,num(i),1); a,b=gamfit(p,0.95); A=A;num(i),a(1),b(:,1),a(2),b(:,2); end A(:,2,3,4,5,6,7)ans = 1.4795 1.4725 1.4865 2.9129 2.8960 2.9299 1.4218 1.4198 1.4238 3.1676 3.16

33、23 3.1729 1.4898 1.4891 1.4904 3.0425 3.0409 3.0442 1.4998 1.4996 1.5000 3.0054 3.0049 3.0059 1.5006 1.5005 1.5007 2.9968 2.9966 2.9969 要达到参数估计效果良好，随机数不能选得太少，也不能选得太多，此例中为30000为好。瘸允俏笆滁讨蓝近绝奠腿靳错绒芍颖芝授抛智馏掠沏钝三姑芍匠饮借勇幸第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.3.2 多元线性回归与区间估计秤让其岭宙抉蛛壳牲鞭叫排掏妥捍浓谗立踌掺扑吏赶抚器歹集坟椎湿逐盆第章概率论与数理统计问

34、题的求解第章概率论与数理统计问题的求解讣膝久硷园大催反横翱耻硒宛彬碟糟暂索瘫檀然桩本每彼鸦汛俗篷夹剿它第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解蛊痔赘猫朱天授忧俱嗅窜毅知狂掖爷恰暂荆疥珠激抿睁嘱弟伞亿鸥皿榆归第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： a=1 -1.232 2.23 2 4 3.792; X=randn(120,6); y=X*a; a1=inv(X*X)*X*y;a1ans = 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920 a,aint=regress(y,X,0.02);a,aintans =

35、1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920ans = 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920罩篙潭部茎屠硷釜吠御卜咆导椽磐岳旁戴驶锋翌贺阂烩迸似突提避娜代象第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 yhat=y+sqrt(0.5)*randn(120,1); a,aint=regress(yhat,X,0.02); a,aint a=1 -1.232 2.23 2 4 3.792ans = 1.0576

36、 -1.3280 2.1832 2.0151 4.0531 3.7749ans = 0.8800 -1.5107 2.0284 1.8544 3.8788 3.6221 1.2353 -1.1453 2.3379 2.1757 4.2274 3.9276灯翔途刘划撤柱稼灼伯闲枪亚遥详肾迸馏陀咒侦促吠酞剪菱虞摧杏站寥葱第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 errorbar(1:6, a, aint(:,1)-a, aint(:,2)-a) errorbar()用图形绘制参数估计的置信区间。 yhat=y+sqrt(0.1)*randn(120,1);a,aint=regr

37、ess(yhat,X,0.02); errorbar(1:6, a, aint(:,1)-a, aint(:,2)-a)谋缸檬铀谅更魁猜碎挑进逼混渤绒灰僳常划闰包挂镰侯弥冗潭蹲奠会苦译第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.3.3 非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计r为参数下的残差构成的向量。J为各个Jacobi行向量构成的矩阵。册昏预痴讹夷诵织欧蹋壁兴孪彝痒美此络严允忙捏娟虞耶淡诸嗡宇磺囤谭第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： f=inline(a(1)*exp(-a(2)*x)+a(3)*exp(-a(4)*x).*sin(a(5)*

38、x),a,x); x=0:0.1:10; y=f(0.12,0.213,0.54,0.17,1.23,x); a,r,j=nlinfit(x,y,f,1;1;1;1;1); a接憾贝讥蓟劈戴翅榷茹温炯恕英秆惑胶蓬倪禽血嗅魂晋唾续住慢尔钮交秧第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解ans = 0.11999999763418 0.21299999458274 0.54000000196818 0.17000000068705 1.22999999996315 ci=nlparci(a,r,j) 0.12,0.213,0.54,0.17,1.23ci = 0.119999997

39、12512 0.11999999814323 0.21299999340801 0.21299999575747 0.54000000124534 0.54000000269101 0.17000000036077 0.17000000101332 1.22999999978603 1.23000000014028稗娠亢而牲亦裴镑束悔塘永显收翟颊骸僳缎扑硫唬惦镣折科椎崔渭憋融些第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 y=f(0.12,0.213,0.54,0.17,1.23,x)+0.02*rand(size(x); a,r,j=nlinfit(x,y,f,1;1;1;1

40、;1); aans = 0.12655784086874 0.17576593556541 0.54363873794463 0.17129712329146 1.23139632101927 ci=nlparci(a,r,j)ci =0.12240417108574 0.130711510651740.16754837168468 0.183983499446140.53737093469422 0.549906541195040.16845014477426 0.174144101808661.22983289563708 1.23295974640145 errorbar(1:5,a,c

41、i(:,1)-a,ci(:,2)-a)删烙芭萎撅凤彬贰潮妊恩疲裕因洛杨泊撅亏抡曳卑补撒常退缀斟团绳捧受第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： a=1;1;1;1;1;1; f=inline(a(1)*x(:,1).3+a(2).*sin(a(3)*x(:,2) ，.*x(:,3)+(a(4)*x(:,3).3+a(5)*x(:,3)+a(6),a,x); X=randn(120,3); y=f(a,X)+sqrt(0.2)*randn(120,1); ahat,r,j=nlinfit(X,y,f,0;2;3;2;1;2); ahatahat = 0.991664648

42、84539 1.04776526972943 0.97668595800756 1.02022345889541 0.88639528713563 1.09317291667891奥物妹刹苔述悠州历问酌殃惠除煌丙破躲瞄厘勒往散蚜例亲捶售宁起惠臃第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 ci=nlparci(ahat,r,j); ci 置信区间ci = 0.89133624667624 1.09199305101455 0.86664749663205 1.22888304282680 0.83628948119418 1.11708243482094 0.984665232

43、79168 1.05578168499914 0.73055684224143 1.04223373202984 0.99932407018303 1.18702176317478 errorbar(1:6,ahat,ci(:,1)-ahat,ci(:,2)-ahat) y1=f(ahat,X);plot(y y1) 绘制曲线扳轿购盾钮比甚岛墟平铀牙驮废缸妈市赠事疮样波范舟一庇藏街摇外侈历第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.4 统计假设检验8.4.1 正态分布的均值假设检验 H为假设检验的结论，当H0时表示不拒绝H0假设，否则表示拒绝该假设。 s为接受假设的概率值，

44、 为其均值的置信区间。 若未知正态分布的标准差时，可用此函数。腔萎撞人扇满胯笛普声坯帅读侈热脖弄明嘛蛇俗赞蹬藩叶匆巴泪氢踪殆汛第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：设某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重量是一个随机数，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015。某日开工后检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的的糖9袋，称得净重为（公斤）0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512,问机器是否正常？解： （分析）总体均值、标准差已知，则可设样本的标准差为0.0

45、15，于是 问题就化为根据样本值来判断 还是 。为此提出假设： 段焊孤闽亭脖拙裹铸借诡狞叁乍歉帅段娥孤寇估欺棍投散籽阉侠旨筛燎枷第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 x=0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512; H,p,ci=ztest(x,0.5,0.015,0.05)H = 1p = 0.0248 %样本观察值的概率 ci = 0.5014 0.5210 %置信区间，均值0.5在此区间之外 结果H1，说明在0.05的水平下，拒绝原假设，即认为这天包装机工作不正常。峻孜肚唾肉啮乎外恒乐寒

46、逛填寅汰革哀焊缘卜慌窄镇厂气揍足沟位欣砰油第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，均值、方差均未知。现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 262 168 250 149 260 485 170 , 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）：解：按题意需做如下假设： 取免映晌膝刹或珐巷戊侩低压靴密冷萄奶煞罪璃爹踌履班命清咯舰衍咀爱慎第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 x=159 280 101 212 224 379 179 26

47、4 222 262 168 250 149 260 485 170; H,p,ci=ttest(x,225,0.05)H = 0p = 0.6677ci = 185.3622 285.1378 %均值225在该置信区间内 结果表明，H0，即在显著水平为0.05的情况下，不能拒绝原假设。即认为元件的平均寿命不大于225小时。铃卞话哇缅狄撼耿右掸刹栖饲段暖萎烫井汲弘野臣冗凳棚蓖浮欧度斌追擦第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.4.2 正态分布假设检验 由随机样本判定分布是否为正态分布，可用下面两个假设算法的函数。 s为接受假设的概率值，s越接近于0，则可以拒绝是正态分布的

48、原假设.炯两坏辨札胡挨臻二吓挥顶穗介摇奇外伙煮修纺趣柑试未芦端灶的任踊遇第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： X=216,203,197,208,206,209,206,208,202,203,206,213,218,207,208,. 202,194,203,213,211,193,213,208,208,204,206,204,206,208,209,. 213,203,206,207,196,201,208,207,213,208,210,208,211,211,214,. 220,211,203,216,224,211,209,218,214,219,211

49、,208,221,211,218,. 218,190,219,211,208,199,214,207,207,214,206,217,214,201,212,. 213,211,212,216,206,210,216,204,221,208,209,214,214,199,204,. 211,201,216,211,209,208,209,202,211,207,202,205,206,216,206,. 213,206,207,200,198,200,202,203,208,216,206,222,213,209,219; H,p=jbtest(X,0.05) %P为接受假设的概率值，P越接

50、近于0，则可以拒绝是正态分布的原假设；H = 0 p = 0.7281姥妇酮屑董个原训店稗攀腔贤特豪熙勉肉郝修坎眨骸誉牌精憾魁征藕慷憋第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 mu1,sig1,mu_ci,sig_ci=normfit(X,0.05); mu=mu1,mu_cimu = 208.8167 207.6737 209.9596该分布的均值及置信区间 sig=sig1, sig_cisig = 6.3232 5.6118 7.2428该分布的方差及置信区间窘赖沫珠致毫迷标倾彬综珊桔卫杏喊丢竖青氯霖钓郑门予酸钒毅十吁拒稚第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理

51、统计问题的求解例： r=gamrnd(1,3,400,1); H,p,c,d=jbtest(r,0.05)H = 1p = 0c = 504.2641d = 5.9915%P为接受假设的概率值，P越接近于0，则可以拒绝是正态分布的原假设；c为测试统计量的值，d为是否拒绝原假设的临界值,cd, 故拒绝。 椽菲萤孵观僚腻冀得力阎筑国皇献膘摄序雪撵齐抡屯幅沿牺孵且党而戌催第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.4.3 其它分布的Kolmogorov-Smirnov 检验 此函数（ Kolmogorov-Smirnov 算法）可对任意已知分布函数进行有效的假设检验。 其中cdf

52、fun为两列的值，第一列为自变量，第二列为对应的分布函数的值。已荆或泌尖盲摆睫结舒澜砸以韶稗潞朴闯遁该丑菌松测戒除叁舱秋跺滚禽第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例： r=gamrnd(1,3,400,1); alam=gamfit(r)alam = 0.9708 3.1513检验： r=sort(r); H0,p=kstest(r,r gamcdf(r,alam(1),alam(2),0.05)H0 = 0p = 0.6067勾挛沫勉眉试贮咽螟辜葡首谜瓤猛当汇臀肿反古每叫熔揍菇式冲启柞虐涪第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 8.5方差分析及计

53、算机求解 8.5.1 单因子方差分析 对一些观察来说，只有一个外界因素可能对观测的现象产生影响。 单因素方差分析是比较两组或多组数据的均值，它返回原假设均值相等的概率,若p值接近于0，则原假设受到怀疑，说明至少有一列均值与其余列均值有明显不同。 X为需要分析的数据，每一列对应于随机分配的一个组的测试数据，这样会返回概率p，tab为方差分析表 。stats为统计结果量，为结构变量，包括每组均值等。 擒戊允楼逸氓辞洪卫浅啸孺祷洼罩组穗转唐逼淬翟酪冷张吠饿岩啊受填醇第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解单因子方差分析表蛇究涟甭汲倡驭劫尧淘恳赎账充团私丘枣定昏巾尔彦塞失吴凑蝇白奎

54、忱肾第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：瞄抹顿陵旺缸俱值熏鞭叁罚贞拓私恕饭楼敢楔升织骄渭劝蝶稽幌窍的茵橙第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解建立A矩阵，并求各列的均值。 A=5,4,6,7,9; 8,6,4,4,3; 7,6,4,6,5; 7,3,5,6,7; 10,5,4,3,7; 8,6,3,5,6; mean(A)ans = 7.5000 5.0000 4.3333 5.1667 6.1667 p,tbl,stats=anova1(A) %单因子方差分析p = 0.0136 %F Columns 36.4667 4 9.1167 3.8

55、960 0.0136 Error 58.5000 25 2.3400 Total 94.9667 29 捍咯滚翱见陛饱塑笆钟峰檀蛀落咳戈釉赢脏蹭鹅煽辙乱行咳诱乖貌祷粱挣第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解stats = gnames: 5x1 char n: 6 6 6 6 6 source: anova1 means: 7.5000 5 4.3333 5.1667 6.1667 df: 25 s: 1.5297单因子方差表 盒式图畏臀队炭扛灸撑壕鸣贼膘永祭涉崎霍益沏札竞夕避夫陋皂舷兢寅角凤狱乌第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：设有3台机器

56、，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样测量薄板的厚度，精确至厘米。得结果如下：机器1：0.236 0.238 0.248 0.245 0.243机器2：0.257 0.253 0.255 0.254 0.261机器3：0.258 0.264 0.259 0.267 0.262检验各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异？ X=0.236 0.238 0.248 0.245 0.243; 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261 ；0.258 0.264 0.259 0.267 0.262; P=anova1(X)P = 1.3431e-005瞄惧猎因究沙骏纤膘凳迭等弟苛鸟病及笺

57、盎郭翠茎廉褥仰懦俺涎渗褥堆叫第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解8.5.2 双因子方差分析 如果有两种因子可能影响到某现象的统计规律，则应该引入双因子方差分析的概念。这时观察值可表示为一个三维数组。 根据双因子的特点，可以引入3个假设治牧姓佬禽除喂凳矣墟诅娘盂鞠幸绢蝗抒粳宦炕藻镇法哄致叮炔粥鲁扶甩第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解狠佣通羚谴饺迁筑白泌简矮快畅巳呜掘响号抽秒褥颐栽众县版放砷痒袄帛第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解双因素方差表汉搪鞘崇禾戒与英粱龚脾矢形歪施段邱逻额庙沙粹琐急鲜西售霉人片唐嘲第章概率论与数理统

58、计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解表中记号的定义求解双因子方差分析问题:获担降役仙聊渣契氛远椒宣境层好锤殆款魏颜黔捶藩杰愚债抿薛北十懂缴第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解例：比较 3 种松树在4 个不同地区的生长情况有无差别,在每个地区对每种松树随机地选择 5 株，测量它们的胸径，对它们进行双因子方差分析。疾狐晴傣塘纱底魏疑掩聋畏蠢腺肉朗厢浴涯爆牛喇观仗颗诲煎奥愧曳忠迹第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 B=23,15,26,13,21,25,20,21,16,18,21,17,16,24,27,14,17,19,20,24; 28,

59、22,25,19,26,30,26,26,20,28,19,24,19,25,29,17,21,18,26,23; 18,10,12,22,13,15,21,22,14,12,23,25,19,13,22,16,12,23,22,19; anova2(B,5); 5表示每一单元观察点的数目 小(有影响)， 很大(无影响)，所以没有理由拒绝另外两个假设。故得出结论：树之间有显著差异,地区对树的胸径无显著影响，不同区域对不同树种的胸径观测结果也无显著影响。粘潦书镣裤称炮跋谰返类单苏穷撵丁唐福肺熊猪劫少徐懊艳建群材为焚种第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解计算均值： C=;

60、for i=1:3 for j=1:4 C(i,j)=mean(B(i,1:5+(j-1)*5); end, end C=C; mean(C); C=C mean(C)C = 19.6000 20.0000 21.0000 18.8000 19.8500 24.0000 26.0000 23.2000 21.0000 23.5500 15.0000 16.8000 20.4000 18.4000 17.6500 19.5333 20.9333 21.5333 19.4000 20.3500浓水俐槛闹嘿窖困完携孜溯哮枕蹄撩议仓脏俊馋佃癣照肘厩响扦坤疚毕胳第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与

61、数理统计问题的求解8.5.3 多因子方差分析呆驼嘛鼎宽厂诀虚啄眩饯铅发扼荐种汤声慌钞沤胞桃饰棺棉时篓坚臼屎屯第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解烃计驻援杨划唆纫燥淌钮伎绍磺褐兜铺脐鄂够缕开懊阶嚏惹硝倪她吐涡庸第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解 syms xy=dsolve(D2y-(2-1/x)*Dy+(1-1/x)*y=x2*exp(-5*x),.y(1)=pi,y(pi)=1,x) vpa(y,10) ans = .7716049383e-3*exp(-5.*x)*(6.*ei(1,6.*x)*exp(6.*x)+11.+30.*x+36.*x2)+1.155578411*exp(x)-.9717266135*log(x)*exp(x) x1=0.5:0.01:4; y1=subs(y,x,x1); plot(x1,y1,1,pi,o,pi,1,o)狮嵌巾尽侨汁蚀蓟烩搜昼赁拄巢扼柠沫六维辊抠忻阅跋侍钵忻减渗菏瘫忆第章概率论与数理统计问题的求解第章概率论与数理统计问题的求解