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1、定义定义(dngy):自变量取正整数的函数(hnsh)称为数列,记作或称为(chn wi)通项(一般项) .若数列及常数 a 有下列关系 :当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :即或则称该数列的极限为 a ,第1页/共26页第一页，共27页。例如例如(lr),趋势(qsh)不定收 敛发 散第2页/共26页第二页，共27页。例例1.已知已知证明(zhngmng)数列的极限(jxin)为1. 证: 欲使即只要(zhyo)因此 , 取则当时, 就有故第3页/共26页第三页，共27页。例例2.已知已知证明(zhngmng)证:欲使只要(zhyo)即取则当时, 就有
2、故故也可取(kq)也可由N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明: 取第4页/共26页第四页，共27页。例例3.设设证明(zhngmng)等比数列证:欲使只要(zhyo)即亦即因此(ync) , 取, 则当 n N 时,就有故的极限为0 .第5页/共26页第五页，共27页。二、收敛二、收敛(shulin)数列的性质数列的性质证: 用反证法.及且取因故存在(cnzi) N1 , 从而(cng r)同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有1. 收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式第6
3、页/共26页第六页，共27页。例例4.证明证明(zhngmng)数数列列是发散(fsn)的. 证: 用反证法.假设(jish)数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取则存在 N ,但因交替取值 1 与1 , 内,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时, 有因此该数列发散 .第7页/共26页第七页，共27页。2.收敛收敛(shulin)数列数列一定有界一定有界.证: 设取则当时, 从而(cng r)有取 则有由此证明收敛(shulin)数列必有界.说明: 此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛 .有数列第8页/共26页第八页，共27页。3.收敛数列收敛数列(shli
4、)具有保号性具有保号性.若且有证:对 a 0 ,取推论(tuln):若数列(shli)从某项起(用反证法证明)则则第9页/共26页第九页，共27页。*4.收敛收敛(shulin)数列的任一子数列收数列的任一子数列收敛敛(shulin)于同一极限于同一极限.证: 设数列(shli)是数列(shli)的任一子数列 .若则当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *第10页/共26页第十页，共27页。三、极限存在三、极限存在(cnzi)准则准则由此性质(xngzh)可知 ,若数列(shli)有两个子数列(shli)收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !夹逼准则; 单调有界准则;
5、*柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .说明: 第11页/共26页第十一页，共27页。1.夹逼准则夹逼准则(zhnz)(准则准则(zhnz)1)(P50)证: 由条件(tiojin) (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件(tiojin) (1)即故 第12页/共26页第十二页，共27页。例例5.证明证明(zhngmng)证: 利用(lyng)夹逼准则 .且由第13页/共26页第十三页，共27页。2.单调单调(dndio)有界数列必有极限有界数列必有极限(准则准则2)(P52)( 证明(zhngmng)略 )第14页/共26页第十四页，共27页。例例6.设设证明(zhngmng)数列极限(j
6、xin)存在 . (P53P54)证: 利用(lyng)二项式公式 , 有第15页/共26页第十五页，共27页。大 大 正又比较(bjio)可知第16页/共26页第十六页，共27页。根据准则根据准则2可知可知(kzh)数列数列记此极限(jxin)为 e , e 为无理数 , 其值为即有极限(jxin) .又内容小结 第17页/共26页第十七页，共27页。*3.柯西极限存在准则柯西极限存在准则(zhnz)(柯西审敛原理柯西审敛原理)(P55)数列(shli)极限(jxin)存在的充要条件是:存在正整数 N ,使当时,证: “必要性”.设则时, 有 使当因此“充分性” 证明从略 .有柯西 第18页
7、/共26页第十八页，共27页。内容内容(nirng)小结小结1. 数列极限的 “ N ” 定义(dngy)及应用2. 收敛(shulin)数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; *柯西准则第19页/共26页第十九页，共27页。思考思考(sko)与与练习练习1. 如何(rh)判断极限不存在?方法1. 找一个(y )趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知, 求时,下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处第20页/共26页第二十页，共27页。作业作业(zuy)P30 1,
8、*3 (2) , *4 P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示(tsh):可用数学(shxu)归纳法证 第三节 第21页/共26页第二十一页，共27页。故极限(jxin)存在，备用备用(biyng(biyng) )题题 1.1.设 , 且求解：设则由递推公式(gngsh)有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则第22页/共26页第二十二页，共27页。2.设设证:显然(xinrn)证明(zhngmng)下述数列有极限 .即单调(dndio)增,又存在“拆项相消” 法第23页/共26页第二十三页，共27页。感谢您的欣赏(xnshng)！第26页/共26页第二十六页，共27页。内容(nirng)总结定义:。第1页/共26页。第2页/共26页。不一定(ydng)取最小的 N .。1. 收敛数列的极限唯一.。2. 收敛数列一定(ydng)有界.。说明: 此性质反过来不一定(ydng)成立.。3. 收敛数列具有保号性.。*。若数列有两个子数列收敛于不同的极。证: 利用夹逼准则 .。证: “必要性”.。方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.。4 (3) 提示:。刘徽(约225 295年)。西全集共有 27 卷.第二十七页，共27页。
