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1、第四章第四章 相似和量纲分析相似和量纲分析Dimensional Analysis and Similitude 4-1 4-1 相似原理相似原理4-2 4-2 定理和量纲分析的应用定理和量纲分析的应用 第四章第四章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析以相似原理为基础以相似原理为基础以相似原理为基础以相似原理为基础 解决流体解决流体力学问题力学问题的方法的方法数学分析数学分析 实验研究实验研究 模型实验模型实验n n在相似原理和准则的指导下，进行流在相似原理和准则的指导下，进行流体力学模型实验。体力学模型实验。n n应用量纲分析理论寻找表示流动过程应用量纲分析理论寻找表示流动过程的关系式。的
2、关系式。主要解决两个问题：主要解决两个问题：4-1相似原理相似原理SIMILITUDEn n相似条件相似条件相似相似：如果两个流动系统的相应点上所有表如果两个流动系统的相应点上所有表征流动状况的物理量都维持各自的固定比例征流动状况的物理量都维持各自的固定比例关系，则这两个流动系统就是相似。关系，则这两个流动系统就是相似。 确定两者之间存在相似关系的原理称为确定两者之间存在相似关系的原理称为相相似原理似原理。 流体力学实验方法之一就是进行流体力学实验方法之一就是进行模型模型试验试验模型试验葛洲坝模型试验葛洲坝船模试验船模试验模型相似理论原型模型相似理论原型4-1相似原理相似原理SIMILITUD
3、En n一、力学相似一、力学相似一、力学相似一、力学相似1.几何相似几何相似几何相似几何相似几何相似几何相似是指原型和模型两个流场的几何形状相似，是指原型和模型两个流场的几何形状相似，是指原型和模型两个流场的几何形状相似，是指原型和模型两个流场的几何形状相似，两个流动的对应的线段长度成比例，对应角相等。两个流动的对应的线段长度成比例，对应角相等。两个流动的对应的线段长度成比例，对应角相等。两个流动的对应的线段长度成比例，对应角相等。线性比例尺线性比例尺线性比例尺线性比例尺面积比例面积比例面积比例面积比例体积比例体积比例体积比例体积比例2.2.运动相似运动相似n n运动相似运动相似运动相似运动相
4、似是两个流场相应点的速度方向相同，是两个流场相应点的速度方向相同，是两个流场相应点的速度方向相同，是两个流场相应点的速度方向相同，大小成比例，即大小成比例，即大小成比例，即大小成比例，即 速度比例尺速度比例尺速度比例尺速度比例尺时间比例尺时间比例尺时间比例尺时间比例尺加速度比例尺加速度比例尺加速度比例尺加速度比例尺3.动力相似动力相似动力相似是指模型和原型流动受同种外力作动力相似是指模型和原型流动受同种外力作动力相似是指模型和原型流动受同种外力作动力相似是指模型和原型流动受同种外力作用，而对应点上的对应力成比例。用，而对应点上的对应力成比例。用，而对应点上的对应力成比例。用，而对应点上的对应力
5、成比例。密度比例尺密度比例尺密度比例尺密度比例尺质量比例尺质量比例尺质量比例尺质量比例尺力的比例尺力的比例尺力的比例尺力的比例尺1、几何相似、运动相似、动力相似的涵义是什么？2、为什么说动力相似是运动相似的保证？几何相似是力学相似的前提？思考题一、力学相似一、力学相似n n基本比例尺基本比例尺基本比例尺基本比例尺 是各自独立的，它们确定是各自独立的，它们确定是各自独立的，它们确定是各自独立的，它们确定后，一切物理量的比例尺都可以确定。后，一切物理量的比例尺都可以确定。后，一切物理量的比例尺都可以确定。后，一切物理量的比例尺都可以确定。n n几何相似是前提，动力相似是决定运动相似几何相似是前提，
6、动力相似是决定运动相似几何相似是前提，动力相似是决定运动相似几何相似是前提，动力相似是决定运动相似的主导因素，运动相似是几何相似和动力相的主导因素，运动相似是几何相似和动力相的主导因素，运动相似是几何相似和动力相的主导因素，运动相似是几何相似和动力相似的表现。似的表现。似的表现。似的表现。 二、二、相似准则相似准则 n n两两两两个个个个流流流流动动动动要要要要实实实实现现现现动动动动力力力力相相相相似似似似，作作作作用用用用在在在在相相相相应应应应质质质质点点点点上上上上的的的的各各各各种种种种作作作作用用用用力力力力的的的的比比比比尺尺尺尺要要要要满满满满足足足足一一一一定定定定的的的的约
7、约约约束束束束关关关关系系系系，这种约束关系称为这种约束关系称为这种约束关系称为这种约束关系称为相似准则相似准则相似准则相似准则。作用在流体质点上的力可以分为两类作用在流体质点上的力可以分为两类作用在流体质点上的力可以分为两类作用在流体质点上的力可以分为两类: :是企图维持原有运动状态的力；是企图维持原有运动状态的力；是企图维持原有运动状态的力；是企图维持原有运动状态的力；是企图改变其运动状态的力。是企图改变其运动状态的力。是企图改变其运动状态的力。是企图改变其运动状态的力。两个流动对应处作用在流体质点上的惯性力两个流动对应处作用在流体质点上的惯性力两个流动对应处作用在流体质点上的惯性力两个流
8、动对应处作用在流体质点上的惯性力与其它各种力的比值应相等。与其它各种力的比值应相等。与其它各种力的比值应相等。与其它各种力的比值应相等。在几何相似的前提下，要保证流动相似，主要在几何相似的前提下，要保证流动相似，主要在几何相似的前提下，要保证流动相似，主要在几何相似的前提下，要保证流动相似，主要看动力相似。看动力相似。看动力相似。看动力相似。相似准则数相似准则数即由重力和惯性力的关系由重力和惯性力的关系式中式中式中式中 为一无量纲量，称为为一无量纲量，称为为一无量纲量，称为为一无量纲量，称为佛劳德数佛劳德数佛劳德数佛劳德数 上式表明，两个流动的惯性力和重力成比例，则上式表明，两个流动的惯性力和
9、重力成比例，则上式表明，两个流动的惯性力和重力成比例，则上式表明，两个流动的惯性力和重力成比例，则它们的佛劳德数相等，这就是佛劳德准则，或称它们的佛劳德数相等，这就是佛劳德准则，或称它们的佛劳德数相等，这就是佛劳德准则，或称它们的佛劳德数相等，这就是佛劳德准则，或称重力相似准则。重力相似准则。重力相似准则。重力相似准则。 1.佛劳德数佛劳德数即式中式中式中式中为雷诺数。为雷诺数。为雷诺数。为雷诺数。 上上上上式式式式表表表表明明明明，两两两两个个个个流流流流动动动动的的的的惯惯惯惯性性性性力力力力和和和和粘粘粘粘滞滞滞滞力力力力成成成成比比比比例例例例，则则则则它它它它们们们们的的的的雷雷雷雷
10、诺诺诺诺数数数数相相相相等等等等，这这这这就就就就是是是是雷雷雷雷诺诺诺诺准准准准则则则则，或或或或称称称称为为为为粘滞力相似准则。粘滞力相似准则。粘滞力相似准则。粘滞力相似准则。2.雷诺数雷诺数由惯性力和粘性力的关系由惯性力和粘性力的关系由惯性力和粘性力的关系由惯性力和粘性力的关系相似准则数相似准则数即式中式中式中式中 为一无量纲量，称为为一无量纲量，称为为一无量纲量，称为为一无量纲量，称为欧拉数欧拉数欧拉数欧拉数 上式表明，两个流动的惯性力和流体动压力成比上式表明，两个流动的惯性力和流体动压力成比上式表明，两个流动的惯性力和流体动压力成比上式表明，两个流动的惯性力和流体动压力成比例，则它们
11、的欧拉数相等，这就是欧拉准则，或例，则它们的欧拉数相等，这就是欧拉准则，或例，则它们的欧拉数相等，这就是欧拉准则，或例，则它们的欧拉数相等，这就是欧拉准则，或称为压力相似准则称为压力相似准则称为压力相似准则称为压力相似准则 。3.3.欧拉数欧拉数由总压力和惯性力的关系由总压力和惯性力的关系由总压力和惯性力的关系由总压力和惯性力的关系相似准则数相似准则数近似模型法近似模型法 在有自由面的流在有自由面的流在有自由面的流在有自由面的流动现动现象中，重力起主象中，重力起主象中，重力起主象中，重力起主导导作用，作用，作用，作用，粘性力不起粘性力不起粘性力不起粘性力不起显显著作用，重力相似准著作用，重力相
12、似准著作用，重力相似准著作用，重力相似准则则FrFr数就是数就是数就是数就是相似准相似准相似准相似准则则。采用弗采用弗采用弗采用弗劳劳德相似准德相似准德相似准德相似准则进则进行模型行模型行模型行模型设计设计。应用在模用在模拟船舶的运船舶的运动和水利工程上。和水利工程上。n n1.佛劳德模型法佛劳德模型法n n2.雷诺模型法雷诺模型法实际实际流体在管内流流体在管内流流体在管内流流体在管内流动动，粘性力决定流体流，粘性力决定流体流，粘性力决定流体流，粘性力决定流体流动动的阻的阻的阻的阻力力力力损损失，形成失，形成失，形成失，形成压压降。此降。此降。此降。此时时重力等是次要因素，雷重力等是次要因素，
13、雷重力等是次要因素，雷重力等是次要因素，雷诺诺数是主要相似准数是主要相似准数是主要相似准数是主要相似准则则。采用雷采用雷采用雷采用雷诺诺相似准相似准相似准相似准则进则进行模型行模型行模型行模型设计设计如果是可如果是可如果是可如果是可压缩压缩流流流流动还动还要要要要满满足足足足马马赫准赫准赫准赫准则则。应应用在管内流用在管内流用在管内流用在管内流动动、液、液、液、液压压技技技技术术、流体机械的、流体机械的、流体机械的、流体机械的试验试验中。中。中。中。 当当当当ReRe数大于某一定数大于某一定数大于某一定数大于某一定值时值时流体的速度分布彼此流体的速度分布彼此流体的速度分布彼此流体的速度分布彼此
14、相似与雷相似与雷相似与雷相似与雷诺诺数不再有关，流体的流数不再有关，流体的流数不再有关，流体的流数不再有关，流体的流动进动进入自模入自模入自模入自模化区内，化区内，化区内，化区内，惯惯性力起主要作用，粘性力的影响减性力起主要作用，粘性力的影响减性力起主要作用，粘性力的影响减性力起主要作用，粘性力的影响减弱。此弱。此弱。此弱。此时时尽管雷尽管雷尽管雷尽管雷诺诺数不同，但粘性的效果却是数不同，但粘性的效果却是数不同，但粘性的效果却是数不同，但粘性的效果却是一一一一样样的，雷的，雷的，雷的，雷诺诺数数数数处处在在在在自动模型区自动模型区自动模型区自动模型区，雷，雷，雷，雷诺诺准准准准则则失失失失去判
15、去判去判去判别别相似的作用。相似的作用。相似的作用。相似的作用。3.欧拉模型法欧拉模型法欧拉模型法用于自动模型区德管中流动、风洞欧拉模型法用于自动模型区德管中流动、风洞欧拉模型法用于自动模型区德管中流动、风洞欧拉模型法用于自动模型区德管中流动、风洞实验及气体绕流等情况。实验及气体绕流等情况。实验及气体绕流等情况。实验及气体绕流等情况。4-2定理和量纲分析的应用定理和量纲分析的应用量纲量纲是各种类别物理量的标志是各种类别物理量的标志，量纲又称为因次。，量纲又称为因次。量纲和单位量纲和单位单位单位是度量各种物理量数值大小的标准。是度量各种物理量数值大小的标准。量纲量纲力力力力学学学学中中中中任任任
16、任何何何何一一一一个个个个物物物物理理理理量量量量n n的的的的量量量量纲纲纲纲都都都都可可可可以以以以用用用用三个基本量纲的指数乘积形式表示，即三个基本量纲的指数乘积形式表示，即三个基本量纲的指数乘积形式表示，即三个基本量纲的指数乘积形式表示，即基本量纲基本量纲导出量纲导出量纲无量纲量无量纲量无量纲量无量纲量 w某某某某些些些些物物物物理理理理量量量量的的的的量量量量纲纲纲纲可可可可以以以以化化化化简简简简为为为为1 1 1 1，即即即即量量量量纲纲纲纲公公公公式式式式中中中中各指数均可化简为零，用公式表示即为各指数均可化简为零，用公式表示即为各指数均可化简为零，用公式表示即为各指数均可化简
17、为零，用公式表示即为称称称称n n n n为为为为无量纲量（数），也称纯数无量纲量（数），也称纯数无量纲量（数），也称纯数无量纲量（数），也称纯数 n n无量纲量的组成无量纲量的组成无量纲量的组成无量纲量的组成由两个具有相同量纲的物理量相比而得到。由两个具有相同量纲的物理量相比而得到。由两个具有相同量纲的物理量相比而得到。由两个具有相同量纲的物理量相比而得到。由几个有量纲的量通过乘除组合而成，组由几个有量纲的量通过乘除组合而成，组由几个有量纲的量通过乘除组合而成，组由几个有量纲的量通过乘除组合而成，组合的结果为各基本量纲的指数均为零。合的结果为各基本量纲的指数均为零。合的结果为各基本量纲的指数
18、均为零。合的结果为各基本量纲的指数均为零。流体力学中无量纲量一般有三种流体力学中无量纲量一般有三种流体力学中无量纲量一般有三种流体力学中无量纲量一般有三种相似准数；相似准数；相似准数；相似准数；系数；系数；系数；系数；比例数比例数比例数比例数常用量的量纲常用量的量纲常用量的量纲常用量的量纲3-MLr定理定理 (Buckingham -Theorem)n n在在量纲和谐原理量纲和谐原理基础上发展起来的量纲基础上发展起来的量纲分析方法有两种。分析方法有两种。n n瑞利法（瑞利法（Rayleigh），适用于比较简单），适用于比较简单的问题。的问题。n n定理或称为布金汉（定理或称为布金汉（Bucki
19、ngham）定理，是一种具有普遍性的方法定理，是一种具有普遍性的方法 定理定理定理定理 量纲和谐原理量纲和谐原理 n n是指凡正确反映客观规律的物理方程，是指凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的其各项的量纲都必须是一致的 例如： 有量纲 长度量纲无量纲用途：用途：确定方程式中系数的量纲，以及分析确定方程式中系数的量纲，以及分析经验公式的结构是否合理；经验公式的结构是否合理；确定方程式中物理量的指数，找到物确定方程式中物理量的指数，找到物理量之间的理量之间的函数关系函数关系。 定理定理 (Buckingham -Theorem) 定理的基本内容是：定理的基本内容是：定理的基本
20、内容是：定理的基本内容是：n n若某一物理过程包含有若某一物理过程包含有若某一物理过程包含有若某一物理过程包含有n n个物理量，可表示个物理量，可表示个物理量，可表示个物理量，可表示为如下函数关系为如下函数关系为如下函数关系为如下函数关系n n其中有其中有其中有其中有mm个基本物理量，则该物理过程可由个基本物理量，则该物理过程可由个基本物理量，则该物理过程可由个基本物理量，则该物理过程可由n n个物理量所构成的个物理量所构成的个物理量所构成的个物理量所构成的（n-mn-m）个无量纲组合个无量纲组合个无量纲组合个无量纲组合量所表达的关系式来描述，即量所表达的关系式来描述，即量所表达的关系式来描述
21、，即量所表达的关系式来描述，即n n式中式中式中式中 个无量纲数，因个无量纲数，因个无量纲数，因个无量纲数，因为这些无量纲数用为这些无量纲数用为这些无量纲数用为这些无量纲数用 表示，所以此定理就称表示，所以此定理就称表示，所以此定理就称表示，所以此定理就称为为为为 定理定理定理定理 。定理定理 (Buckingham -Theorem) 定理的解题步骤是定理的解题步骤是定理的解题步骤是定理的解题步骤是: : a.a.a.a.找出找出找出找出对对物理物理物理物理过过程有影响的程有影响的程有影响的程有影响的n n n n个物理量，写成个物理量，写成个物理量，写成个物理量，写成关系式关系式关系式关系
22、式b. .从从n个物理量中选取个物理量中选取m个相互独立的基本物个相互独立的基本物理量。对于不可压缩流体运动，一般取理量。对于不可压缩流体运动，一般取m=3。设设n1、n2、n3为所选的基本物理量为所选的基本物理量。 定理定理 nc. .基本物理量依次与其余量组合成（基本物理量依次与其余量组合成（n-m）个无量纲个无量纲项项 式中式中式中式中x xi i、y yi i、z zi i为各为各为各为各 项的待定系数。项的待定系数。项的待定系数。项的待定系数。d.d.根据量纲和谐原理，求出各根据量纲和谐原理，求出各根据量纲和谐原理，求出各根据量纲和谐原理，求出各 项指数项指数项指数项指数x xi i、y yi i、z zi i。 e.e.写出描述该物理过程的关系式写出描述该物理过程的关系式写出描述该物理过程的关系式写出描述该物理过程的关系式 定理的应用定理的应用n用定理推求圆球绕流阻力的表达式n n不可压缩粘性流体在粗糙管内定不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道的压强降与管常流动时，沿管道的压强降与管道长度、内径、管壁粗糙度、流道长度、内径、管壁粗糙度、流体的平均速度、密度和动力粘度体的平均速度、密度和动力粘度有关。用有关。用定理导出压强降的定理导出压强降的表表达式。达式。定理的应用定理的应用
