《高等数学教学课件：10-1 曲线积分与曲面积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学教学课件：10-1 曲线积分与曲面积分（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral1问题的提出问题的提出对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义几何意义与物理意义对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算arc length第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第十章第十章第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分2一、问题的提出一、问题的提出实例实例匀质匀质之质量之质量分割分割求和求和取极限取极限取近似取近似曲线形构件的质量曲线形构件的质量近似值近似值精确值精确值对
2、弧长的曲线积分对弧长的曲线积分3二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.1.定义定义设设L为为 xOy面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧,在在L上有界上有界.作作乘积乘积并作和并作和如果当各小弧段的长度的最大值如果当各小弧段的长度的最大值对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分在在L上任意插入一点列上任意插入一点列把把L分成分成n个小段个小段.设第设第i个小段的个小段的第第i个小段上任意取定的个小段上任意取定的长度为长度为一点一点,4曲线形构件的质量曲线形构件的质量即即这和的极限存在这和的极限存在, 则称此极限为则称此极限为在曲线弧在曲线弧 L 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分或或第
3、一类曲线积分第一类曲线积分. . 积分和式积分和式被积函数被积函数 弧元素弧元素积分弧段积分弧段记作记作对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分52. 存在条件存在条件3. 推广推广对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分连续连续, ,对弧长的曲线积分为对弧长的曲线积分为对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分6注意注意闭曲线闭曲线L L上上对对弧长的曲线积分弧长的曲线积分记作记作(对路径具有可加性对路径具有可加性)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分74. 性质性质 (1)(2)(3) 与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关, 即即对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分8例例其中其中L是圆周是圆周解解因因积分曲线积分曲线L
4、关于关于被积函数被积函数x是是L上上被积函数被积函数因因积分曲线积分曲线L关于关于对称性对称性, ,计算计算得得是是L上上y轴轴对称对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴轴对称对称,关于关于y的奇函数的奇函数对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分9三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理其中其中且且有定义且连续有定义且连续,具有一阶连续导数具有一阶连续导数,解法解法 化为参变量的化为参变量的定积分定积分计算计算对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分注意注意对对弧长的曲线积分要求弧长的曲线积分要求定积分的下限定积分的下限一定要小于上限一定要小于上限10特殊情形特殊情形(1)对弧长的曲线积分对弧
5、长的曲线积分(2)11(3)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分特殊情形特殊情形推广推广12或或此时需把它化为此时需把它化为参数方程参数方程再按上述方法计算再按上述方法计算.对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分为参数为参数),13例例解解例例解解对对x积分积分?对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分14例例解解对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分得得15解此题时也可用解此题时也可用故故对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对称性质对称性质16在在第一象限中所围图形的边界第一象限中所围图形的边界.提示提示解解对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分17故故对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分18几何意义几何意义(1)(2)对弧长的
6、曲线积分对弧长的曲线积分四、几何四、几何意义意义与与物理物理意意义义柱面面积柱面面积弧长弧长物理物理意意义义L的质量的质量191989年研究生考题年研究生考题, 填空填空(3分分)解解 设下半圆周的参数方程设下半圆周的参数方程则则对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分通过几何直观通过几何直观,还有更简单的方法吗还有更简单的方法吗?20例例解解 由于由于 有有对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分的方程中的的方程中的x, y, z的地位完全的地位完全对称对称, 211988年研究生考题年研究生考题,填空填空(3分分)解解 对对称称性性对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分22对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念 对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分五、小结五、小结(四步四步:分割、取近似、求和、取极限）分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)(曲线的质量曲线的质量)23
