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1、 高等数学研究的重要对象重要对象 高等数学研究的主要方法主要方法函函 数数极极限限方方法法学习之要略学习之要略开放式螺线循环螺线循环途径：无无1 厚厚1 薄薄 厚厚2 无无2 实现途径的要求：排排列列回回忆忆结结合合辩辩论论效效 果果充充实实分分离离重重组组组组织织参考书目：参考书目：高等数学 同济大学主编 高等教育出版社微 积 分 赵树 主编 中国人民大学出版社原经济数学基础 龚德恩主编 四川人民出版社第一节第一节 集集 合合一、集一、集 合合集合的定义：集合的定义：具有某某种种属属性性的事物的总体, 或是一些确确定定对对象象的的汇汇总总叫做集集合合. 构成集合的事物或对象称为集合元素元素.
2、例如, 一个教室里的学生构成一个集合, 全体实数构成一个集合.元素与集合的关系:“ a A ”“ a A ”集合的表示法表示法：列列 举举 法法描描 述述 法法例如, 由元素 a1, a2, , an组成的集合A, 可记作设A是具有某种属性的元素 x 的全体所组成的集合, 可记作A = x | x 所具有的属性例例1. 由 x2 5x +6 = 0的根所构成的集合A, 可表示为 A = 2, 3 .例例2. xoy 平面上坐标适合方程 x2 + y2 =1的点 ( x, y )的全体组成的集合A, 可记作A = ( x, y ) | x2 + y2 =1, x, y 为实数.常见的实数集记号:
3、N, Z, Q, R.全集与空集: , . : 由所研究的所有事物构成的集合.例如, 讨论的问题仅限于正整数, 则全体正整数的集合为全集; 讨论的问题包含正整数和负整数, 则全体正整数的集合就不是全集. : 不含任何元素的集合.例如, 方程 x2 + 1 = 0实根集合为空集.子集: A BA与B相等:A = BA B 且 B A 集合的运算： 并、交、差并 ：文氏图BABA交 ：文氏图BA差 ：文氏图BA实数与数轴上的点是一一对应一一对应 的实数的绝对值实数的绝对值:定义定义: 设 x 为一个实数, 定义 x 的绝对值为绝对值 | x | 的几何意义是: | x |表示点 x 与原点 o 的
4、距离.绝对值有下列基本性质:区间区间 常见的实数集合常见的实数集合.定义定义: 设 a, bR, 且 a b,闭区间闭区间 a, b = x | a x babx开区间开区间 (a, b) = x | a x babx半开区间半开区间 (a, b = x | a x babxa, b) = x | a x babx无穷区间无穷区间: 引进记号 +(读作正无穷大)及 (读作负无穷大).bx(, b) = x | x b = x | x b(, b = x | x b = x | x bbxa, +) = x | a x + = x | a x (a, +) = x | a x + = x | a
5、 x axaxR= (, +) = x | x 0, 解不等式 |x a |0, 则开区间(a , a + )就是点 a 的一个邻域, 这个邻域称为点a 的 邻域, 记作 U(a , ), 即U(a , ) = x | | x a | = x | a x a + axa a +)(空心邻域 (去心邻域):= x | 0 | x a | 0;y = arcsinx, | x | 1.(5) 实际问题要考虑其本身意义.例例4. 求函数解解: 要使 f (x)有意义, x 应满足 由得 x 2;由得x 2.故 f (x)的定义域 Df = (2, 1) (2, +).x212例例5. 求函数解解:
6、要使 f (x)有意义, x 应满足而 x 1 x x当 x 0时, 当 0 x 1时, x不超过x的最大整数.当 x 1时, 故f (x)的定义域为 x | x 0, 使得 x X, 恒有| f (x) | M.则称f (x)在X上有界; 否则称 f (x)在X上无界.例如, f (x) = sinx 在 (,+)内是有界的.易见, 若f (x)在X上有界M, 则其图形介于两直线 y = M 与 y = M 之间.0yx112. 单单调调性性: 设函数 y = f (x)的定义域为D, 区间 I D. 若 x1, x2I, 当当x1 x2时时, 有 f (x1) f (x2). 则称在区间
7、I 上是单单调调增增加加的的(或是单调减少单调减少的).几何上, 单调增加增加(减少减少)的函数其图形是上上升升(下降下降)的. 如图yxoy = f (x)Ix1f (x1)x2f (x2)xoyy = f (x)Ix1f (x1)x2f (x2)例如, y = x2 在 (, 0)内是单调减小的, 而在(0, +)内是单调增加的, 它在定义域(, +)内不是单调减函数. 内是单调减函数, y = x3在(, +)内是单调增函数. 如图0yxy=x20xy0xy=x3y3. 奇奇偶偶性性: 设函数 y = f (x)的定义域D关于原点对称, 若 x D, 都有 f ( x) = f (x)
8、( f ( x)= f (x). 则称f (x)为偶偶(奇奇)函数. 几何上, 偶偶函函数数的图形关关于于 y 轴轴对对称称, 奇函数奇函数的图形关于原点对称关于原点对称.函数的定义域必须关于原点对称, 方可论函数的奇偶性.注意注意例例6. 判断函数和奇偶性.解解: x1, x2 (, +), 且 x1 x2 .由即f (x1) 0(T为常数为常数), 使 f (x+T) = f (x)成立, 则称f (x)为周期函数周期函数. 满足上式的最小正数最小正数T, 称为f (x)的周期周期.几何上, 一个以T为周期的周期函数, 在定义域内每每隔隔长长度度为为T的相邻区间, 它的图形有相同的形状(如
9、图).0yxxTxx+Tx+2TTy = f (x) f (x+T) f (x) f (x+2T) f (xT)例例7. 设对任何 x (, +), 存在常数 C 0, 使 f (x+C)= f (x). 证明 f (x)是周期函数.证证: 因x (, +), 有f (x+C) = f (x)f (x+2C) = f (x+C)+C = f (x+C)= f (x)故 f (x)是周期函数, 其中周期 T = 2C.练练 习习一. P9倒数第十行例子: 销售收入R与销售量x的函数关系式. (分段函数).二. P13例12. 求 y = Asin(x+)的周期T.比如三. P28 1.(2)、(4)2.(3)3.(1)4.9.
