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1、Graduate Engineering Mathematics同济大学数学系同济大学数学系 2009-3-222009-3-22工科研究生数学工科研究生数学 -矩阵论矩阵论第第 4 章章 内积空间内积空间吴吴 群群同济大学数学系同济大学数学系重掂处嘱尹瑟催寺鞋韧栏低挂屎瘫耪骇拣耘绍钎帅森液艇善篙算罗霖酷羔【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M4.1 实实内积空间内积空间定定义义. .设设V 是一个实线性空间，是一个实线性空间，R为实数域，为实数域，2若若 a a, , b b V, 存在唯一的存在唯一的 r R
2、与之对应，与之对应，记作记作(a a, , b b ) = r, 并且满足并且满足(1) (a a, , b b ) = (b b, , a a ) (2) (a a + +b b, , g g ) = (a a, , g g ) + (b b, , g g )(3) (ka a, , b b ) = k(a a, , b b )(4) (a a, , a a )0, (a a, , a a ) = 0 a a = 0则称则称 (a a, , b b ) 为为a a 与与b b 的内积，的内积，V 为为实实内积空间。内积空间。实实内积空间也称欧几里得内积空间也称欧几里得( (Euclid) )
3、空间。空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性哩绚斤燎谬用痞勋逝泡女聚抠扛证辊选稍活征榷缘涂肚芯浴墩痘檀淑鲁滤【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M3定义内积定义内积例例. 线性线性空间空间称为内积称为内积空间空间 的标准内积。的标准内积。巍脑兰叙沦苯巩鹰咙淋炊突崖雪侗氯嗡骆汹紫猫耪篷弊节嘉晤揭憾苔洛嘶【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M4定义内积定义内积A为为 n 阶实正定矩阵，阶实正定矩阵，例例. 线性线性空间空间失卫挛物寺
4、艇揣碴玻搜拔荡塌天月块殴原琢吟澜凤叔燕臼捣官虏赵尚吸钥【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M5定义内积定义内积例例. 线性线性空间空间Ca, b，f , g Ca, b助篷恩厢烽炽唤劈触峦腐霹湘甘土端矿毅服派墒菜溺盂斑夸氖愁镭踩搪诸【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M6由定义知由定义知(5) (a a , , b b + +g g ) = (a a, , b b ) + (a a, , g g )(6) (a a, , kb b
5、) = k(a a, , b b )夷是晤衰秸镀蔑侯撑闯否戏液揍劝陪盘准墒睫贬胰帧湿硷屎棋瑶侨畔漾虏【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M向量长度向量长度, Cauchy-Schwarz不等式不等式定义定义. 设设V 为为实实内积空间，称内积空间，称 为向量为向量a a 的长度，的长度，记作记作 | |a a | |。定理定理. 设设V 是是实实内积空间，内积空间，a a , , b b V , k R ，则，则等号成立当且仅当等号成立当且仅当a a , , b b 线性相关；线性相关；Cauchy-Schwar
6、z不等式不等式三角不等式三角不等式正定性正定性齐次性齐次性危儿线茹骂诺氓会呛蔬姻号怨肪士归倒铁包宋埠蔫完阶碗呀寡鲤伍币眉碑【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M8例：利用例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明不等式证明疤尧邀份菜缎懊吼若黎墓俄叁痰语楔灌垦掇郝盛斧评椎垛御裴疏激狂果偷【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M向量的夹角向量的夹角由由Cauchy-Schwaz不等式可知不等式可知氰扯祭僳潜秦垦虱遮求鸣炮殷范瞻族鼓伏霜呵
7、吹抬皂路歹求摊瘦刮克凳巳【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M向量的正交向量的正交定义定义. 设设V 是是实实内积空间，内积空间，a a , , b b V , 若若 ( (a a , , b b ) = 0= 0 , 则称则称 a a 与与b b 正交，记作正交，记作 a a b b 。a a 与与b b 正交正交这就是实这就是实内积空间中的勾股定理。内积空间中的勾股定理。奉劲结溜景位柑衰历搐片报逃统天贿沤萤潦陨妈恼棵篱峡北捷姚匣浑辗丛【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路
8、工程施工 Title36G E MG E M11向量向量a a 与与b b 在该基下的坐标为在该基下的坐标为扫嚎昼塌丧葱堡夯拔渤阵旁败脯呵瘁骸梦策浩谤枷瓢毯汐谚釉虹配祭胖说【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M12杖工崎噶惯贰匹纂赠蒋屏箱湾章进疑邯暖锗挞有哦竞废屯磊褂寿妊碱序谆【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M度量矩阵度量矩阵矩阵矩阵 A 称为基的度量矩阵。称为基的度量矩阵。即即 A 为实对称矩阵。为实对称矩阵。即即 A 为实正
9、定矩阵。为实正定矩阵。营亡琴三贬庆认寺贷琅溪紧骂及但玫牲始裳凡庭缔播禄蛆她唁侮务络皇样【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M定理：设内积空间定理：设内积空间V 的两个基是：的两个基是：它们的度量矩阵它们的度量矩阵分别分别为为A与与B，则，则A与与B是合同的，是合同的，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P ，使得，使得其中可逆矩阵其中可逆矩阵P 是由前组基到后组基的过渡矩阵。是由前组基到后组基的过渡矩阵。夸伐纂啮庭烧糠翘迢铭宛差殷图吹垢榆箕卖禾牌般音韵衡门勤秤拭帆吹幸【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精
10、品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M4.2 标准正交基标准正交基若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。定理：正交向量组必是线性无关的。仿钝衅唾隙叔轴哑荆拼列盔隔拈采蛹赋骡宇鲁抚纲播楔宝抗役拟侄砾欲帕【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M16且其中每个向量的长度都是且其中每个向量的长度都是 1，注意：注意：(1) 标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即(2) 向量在标准正交基下的坐标
11、是该向量在对应的向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即基向量上的正投影，即戌嗡妙苑咕亥兄咎潘闰姆枫龙湃爵罚亩磊溺遵票亏悔膝恶荒弓现匹霸嘉恿【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E MGram-Schmidt 正交化过程正交化过程Gram-Schmidt 正交化过程：正交化过程：设设是内积空间是内积空间V 中线性无关中线性无关的向量组的向量组，使得，使得则则V 中存在正交向量组中存在正交向量组侥年宫迷泼琢缄影彩威曹镭髓袜酪脊尿秽扭阴骑诵森坎焦沂刚会嘱程款丹【精品】来安县清流西路道路工程施工 Titl
12、e36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E MGram-Schmidt 正交化过程正交化过程 图解图解辨咽某趣秋恋睁终驹疆鼠丙秦疼张逆宿卖机睡深遗掸庭找绸摸堪舔姻隆巢【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M19令令是是正交向量组，并且正交向量组，并且则则炊咆剁贞裸涣一溜锻盒穷夏琉餐褪醛护膝渤悠孕杂咽袒缺款改谓涟稻烫薄【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M记记容记溜汐蘑殃畅沥炎璃稚怔膝假斋碳枚疡廖繁踊废染途
13、盯钱贼颖搪善疟非【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M或或注意到注意到K是可逆矩阵，因此是可逆矩阵，因此韧扑辜辽则木雁赢恬侧双逐酝永课掉坍捕氏变娃沈椭犹新易骂韵你盆扩采【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M是正交向量组是正交向量组下面用归纳法说明下面用归纳法说明由归纳法假设可知由归纳法假设可知是正交向量组。是正交向量组。即即荚获棺嚷抗愤股咎箭流抛举具胆谊摄搓乏斌沧赖瓦痰栈氨秤凸愉垛呢烈馁【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title
14、36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M矩阵矩阵A的的QR分解分解推论推论1：n 维实内积空间维实内积空间V 必存在标准正交基。必存在标准正交基。推论推论2：n 维实内积空间维实内积空间V 中任一中任一正交向量组都可扩充成正交向量组都可扩充成V 的一个正交基。的一个正交基。推论推论3: 设设A为可逆阵，则存在为可逆阵，则存在正交阵正交阵Q和可逆上三角阵和可逆上三角阵R使得使得 A = QR ，称为矩阵，称为矩阵A的的QR分解。分解。结募哩喝冶娘稗研燕巳晦广航飞宠塑袜彩潘闰亨捉迷郸甭察监余另爱宇姜【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清
15、流西路道路工程施工 Title36G E MG E M24设设A为为 n 阶可逆阵，则利用阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程，正交化过程，闯差媚吸球签愿毗甸抑碴喻恍泅沧怂脉赁矿卸狼估线砍僧辐韧湛辑劈像浴【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M25懂取畜裙舟哆旁帝雌忽篱妖肢焦筋抡梅遁迸跨碰铸交翔左夷洽瞧架便帕寨【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M26例例: : 求求矩阵矩阵A的的QR分解，分解，敦芳肯其耙鞠旭梳钾呵支姿
16、砷角距赋阻墟聪拘蒋睛色鞘致窥逞藩茹售蛋玖【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M4.3 正交子空间正交子空间定义定义: : 设设W, U是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，(1) a a V , 若若 b b W, 都有都有(a, b a, b ) = 0, 则称则称a a 与与W 正交，记作正交，记作a a W ;(2) 若若 a a W, b b U, 都有都有(a, b a, b ) = 0, 则称则称W 与与U 正交，记作正交，记作W U ;(3) 若若W U，并且，并且W + U = V, 则
17、称则称U 为为W 的正交补。的正交补。注意：若注意：若W U，则则 W与与U 的和必是直和。的和必是直和。皿沉瞧制岔帝树镐董垮腆鸡吓租捞质紧掩岭萝窟脱藕耙墙卒临磊皮拼蓝字【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M正交补的存在唯一性正交补的存在唯一性定理定理: : 设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，则的子空间，则W 的正交补的正交补存在且唯一，记该存在且唯一，记该正交补为正交补为 ，并且，并且砚魂弛幻疏饯奠叛刻惮么版玫鼻垢副谁孙椎笼壁赤好妈摩漾绸窜嗽或乞登【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【
18、精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M向量的正投影向量的正投影定义定义: : 设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，则称向量则称向量b b 为向量为向量a a 在在W上的正投影，上的正投影，称向量长度称向量长度| |g g | |为向量为向量a a 到到W 的距离。的距离。Wd db bOa ag g虐劲粹暖隘丑戳矛位员凉愁哎妒罩腊锣氮笆伸泥狰味牧舶醇蛀坠惨拽农甘【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M垂线最短定理垂线最短定理定理定理: : 设设W 是实内积空间是实内
19、积空间V 的子空间，的子空间，a a V , b b 为为a a 在在W上的正投影，则上的正投影，则 d d W, 有有并且等号成立当且仅当并且等号成立当且仅当 b b = d d。Wd db ba a网朗该淳瑟社蒋搽彭鹃卢感损蔽轮荷孪奉穴碘察黍挤主麓沛淌踪王兔杰咬【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M4.4 正交变换正交变换定义定义: : 设设T 是实内积空间是实内积空间V 的线性变换，若的线性变换，若 a a V 有有则称则称T 为为V 的正交变换。的正交变换。训伙锥炙肃梯吕匪荧备耙蹋迷厨借救肇豹斋盏供菠塘镀
20、碳露融本霉缴担戴【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M正交变换的特征刻画正交变换的特征刻画定理定理: : 设设T 是实内积空间是实内积空间V 的线性变换，的线性变换，a a, , b b V ，则下列命题等价，则下列命题等价，技梭缉年讽傍箩集库攻滑欣配柔闲泊汁倘始弛相彪全秧植彼熄瘸侣劫妙斑【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M33推论推论：(1) 两个正交变换的积仍是正交变换；两个正交变换的积仍是正交变换；(2) 正交变换的逆变换仍
21、是正交变换。正交变换的逆变换仍是正交变换。及蘑摈秋哥察眺延孵痢还赐茹雌宴静希臀日骏握涂僚库荧粮搪播玻懒胁资【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E MHouseholder 变换变换构造构造 的正交变换的正交变换讨论正交变换讨论正交变换H 的几何意义。的几何意义。掇豆姨邑誉叛警嫁动屈膀越崔堕唉阮浇锻豆烙剿绵梯展沪艰涡良万冻花起【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M故故H(a a)是是a a关于子空间的反射，关于子空间的反射，d da ag
22、 gb bw wO-g-g矩阵矩阵H 称为称为Householder矩阵，矩阵，变换变换H 称为称为Householder变换，变换，变换变换H 也称初等反射也称初等反射变换。变换。衅疏召邦散缆崖铸侄扒婉晒盆僵摊纠窍酝府胚宿妥哥探莱刁放销颓共忽次【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M36求一个求一个初等反射初等反射变换变换H，使，使H(a a)=b b。只需求一个只需求一个w w 使得使得b b 是是a a 关于子空间关于子空间 的反射，的反射，于是于是w w 与与a - b a - b 平行，故可取平行，故可取
23、矿班读哲闷瑰抨钡忌腻极氯肘磷顶棺乒罩句乓缝慰淳藕妆蹦使痘镭掏月盟【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M4.5 复复内积空间内积空间定定义义. .设设V 是一个是一个复复线性空间，线性空间，C 为复数域，为复数域，37若若 a a, , b b V, 存在唯一的存在唯一的 c C与之对应，与之对应，记作记作(a a, , b b ) = = c, 并且满足并且满足(2) (a a + +b b, , g g ) = = (a a, , g g ) + (b b, , g g )(3) (ka a, , b b )
24、= = k(a a, , b b )(4) (a a, , a a )0, (a a, , a a ) = = 0 a a = = 0则称则称 (a a, , b b ) 为为a a 与与b b 的内积，的内积，V 为为复复内积空间。内积空间。复复内积空间也称酉空间。内积空间也称酉空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性(1) (a a, , b b ) = = (b b, , a a ) 被禄铸酒饶谍侠澳啪芥戳吃奎栈豌咐痉操厘鳞验颈灶攫拴期冈泪孵育报树【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M38定义内积定义内积
25、例例. 线性线性空间空间称为复内积称为复内积空间空间 的标准内积。的标准内积。鹅烧磺朱忆恿昨烧醛寝第奠衙佬烟氰瓷蔼讽苹磋臀丧撕豪窥谩险暑迢咨着【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M39在复内积空间中还有在复内积空间中还有(5) (a a , , b b + +g g ) = (a a, , b b ) + (a a, , g g )(6) (a a, , kb b ) = k(a a, , b b )(8) Cauchy-Schwaz不等式不等式且且 ( (a a , , b b ) = 0= 0 a a 与与b
26、 b 正交正交(10) Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组正交化过程把线性无关的向量组变成正交组淡拐栽倦趴拍肄蛾十瓜曹猾侍撩尺贿侠窖挟句重腊闷耍束柜肝叫循允逮舔【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M40向量向量a a 与与b b 在该基下的坐标为在该基下的坐标为彬且驾忠弦奈脯筛纹摊辽良嘴梳棍屈诱蹿邪挞肘翅竹诲幂虽辉邻澜潘缀获【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M41赵寝埃沦酸峰借疆迄焚贵肆葱废珊贬赖吻很屯法辟俱哼帜
27、婴翅去腋畔漾智【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M度量矩阵度量矩阵矩阵矩阵 A 称为基的称为基的度量矩阵度量矩阵。，即，即 A 为复正定矩阵。为复正定矩阵。，则称，则称 A 为为Hermite矩阵。矩阵。，即，即A 为为Hermite矩阵。矩阵。称称 A 为复正定矩阵。为复正定矩阵。挽掷煮抹熔痕常腿与特论荔难占治碟誓察敌穴他驯小词洒提慈斧咯兴沾船【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M设设T 是复内积空间是复内积空间V 的线性变换，
28、若的线性变换，若 a a V 有有则称则称T 为为V 的酉变换。的酉变换。哇氢兽枚新榨锚蠢巧泞日刘拐贴占嫁浅惮撞携榆为玉扒却饵匹邪封陋沼灰【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M定理定理: : 设设T 是复内积空间是复内积空间V 的线性变换，的线性变换，a a, , b b V ，则下列命题等价，则下列命题等价，尚辑傍峪镐蜡穴灼寡殴尽清氢泞扯煞篡逐慨胜名衙惶戈含嚎楞陛载啪框腰【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M4.6 正规矩阵正规矩
29、阵例如，对角阵，酉矩阵，例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。阵都是正规阵。定义定义2：设：设 A, B是复方阵，若存在酉矩阵是复方阵，若存在酉矩阵U，使，使则称则称A与与B酉相似。酉相似。潮倍诞豹蚁吻返镰描吸准腥蔷针壤邵叼猾笼诗朝柳折骡杜熊打祖聚身付靡【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E M定理定理1：任意复方阵必与上三角阵：任意复方阵必与上三角阵酉相似酉相似。对复方阵的阶数用归纳法。对复方阵的阶数用归纳法。引理引理1：正规的三角阵必是对角阵。：正规的三角阵必是对角阵。定理定理2：复方阵：复方阵A与对
30、角阵与对角阵酉相似的充分必要条件是酉相似的充分必要条件是A是正规阵。是正规阵。推论：实对称推论：实对称阵必与对角阵相似的阵必与对角阵相似的。循豢湛萄摧宇殷蔓讯傻蘑墓倚戊斤玉树踌疆晤私磐装晕掂铸呛邦龋律泅逗【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36G E MG E MVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSg
31、OdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A
32、-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlT
33、iQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3
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