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1、附录附录1 1 一些必要的数理统计知识一些必要的数理统计知识一、概率及其分布 概率即随机事件发生的可能性，一般应满足两个条件： 概率分布即任一随机变量在其值域上任一点出现的概率集合。离散型随机变量的概率分布可以列表表示，如抛掷一枚硬币得到正，反或0，1的分布和抛掷一枚骰子得到6个点的概率可分别表示为： 0 1 1 2 3 4 5 6 0.5 0.5 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6连续型随机变量的概率分布可用函数式和曲线图来描述，也可以列表表示。其一般的函数式为： 其中， 称作概率密度函数概率密度函数，一般应满足条件： 的具体形式对于不同的分布是不同的。在经济计量学中，最常用的概
2、率分布常用的概率分布有三个： 正态分布正态分布：分布形式取决于随机变量的均值和标准误差，其概率密度函数为： 当 =0 =1 时，其概率分布称作标准正态分布，这时概率密度函数为：正态分布的分布形式如图1-4所示，主要特点是 A.以直线 为对称轴； B.在 处有最大值 ； C.在 处有拐点； D.横坐标轴为 时的渐近线。 任何正态分布都可以 通过令 转化为标准正态分布， 在这里，z 称作概率度。 标准的正态分布表的一般格式如 图1-4 表13所示。 表表1 11 1 标准正态分布表标准正态分布表注意：注意：在掌握概率论时，一定要注意把密度函数密度函数和分布函数分布函数的概念区分开来。t-分布分布：
3、即随机变量的概率分布既受均值和标准误差的影响，又与自由度自由度密切相关的分布。 t-分布也是对称分布，其均值为0，方差 。当 时， t-分布趋于正态分布。t-分布中概率度用 t 表示。自由度自由度自由度自由度即样本中随机变量可以自由变化的数目，自由度的大小由样本中已知常量的数目决定。F-分布分布：即分布形式由两个随机变量的方差和自由度所决定的概率分布。F-分布的概率度用F表示：二、期望与方差二、期望与方差期望：方差：协方差：、为独立变量三、连加规则三、连加规则 附录附录2 矩阵运算的基本知识矩阵运算的基本知识A2.1 有关的定义有关的定义（1）矩阵 一个有m行n列的矩阵： 就称作mn阶矩阵。矩
4、阵A常常也简记为A(aij)mn。（2）向量和标量 一个m1阶矩阵称作一个列向量，一个1n阶矩阵称作一个行向量。向量是矩阵的特例。一个11阶向量叫做标量。标量是向量的特例。标量就是一个数。（3）方阵 行数和列数相等的矩阵称作方阵。2024年8月9日制作人：熊义杰8（4）矩阵的迹 一个方阵A的主对角线元素之和称作A的迹，记作TrA。如有： 则：TrAaii（5）对角矩阵 主对角线元素为非零，非主对角线元素皆为0的方阵称作对角矩阵。如：（6）单位阵 如果对角矩阵的每一个对角元素皆为1，则此对角矩阵称作单位阵。记作In，其中n是单位阵的阶数。（7）零矩阵 如果矩阵的全部元素都为0，则此矩阵称作0矩阵
5、。2024年8月9日制作人：熊义杰9A2.2 矩阵的运算规则矩阵的运算规则（1）矩阵的相等 设A和B是两个同阶矩阵，如果它们的对应元素 aijbij，则称矩阵A等于矩阵B，记作AB。（2）矩阵加法 设A和B同阶，若有另一同阶矩阵C，且 cijaijbij，则可记作 CAB。即矩阵加法等于同阶矩阵的对应元素相加。（3）标量与矩阵相乘 标量k与矩阵A相乘仍是矩阵，其元素为k与A的每一元素相乘的积。（4）矩阵乘法 设矩阵A 为mp阶矩阵，B为pn阶矩阵，则矩阵CAB为mn阶矩阵，其相应的元素为： 注意，矩阵乘法一般不适用于交换律。2024年8月9日制作人：熊义杰10（5）矩阵的转置将矩阵A的行变成列
6、的运算称作矩阵的转置。A的转置记作A/，有时也记作AT。如果A(aij)mn，则A/(aij)nm。矩阵的转置具有如下性质：1）(A)A 2）(AB)AB 3）(AB)BA4）若A为方阵且有 AA，则A为对称阵。显然，对于任一矩阵X，XX必为对称阵。5）对于任意的分块矩阵，有： （6）非奇异矩阵和伴随矩阵如果一个n阶方阵的行列式不为0，则该方阵就是非奇异矩阵。一个方阵A的伴随矩阵（也叫共轭矩阵）定义为：adjAC其中，C是与A同阶的方阵，其元素cij是行列式|A|相应元素的代数余子式Mij。如： A的伴随阵除了表示为 adjA外，也常常用A*表示。2024年8月9日制作人：熊义杰11（7）矩阵
7、的秩一个矩阵中不等于0的子式（子行列式）的最大阶数叫做这个矩阵的秩。如果一个矩阵中没有不等于0的子式，其秩为0。如果矩阵A的秩为k，可记作：Rk(A)=k，Rk即Rank的缩写（有时也直接用Rank()表示）。无疑A中的这个k阶子式一定是非奇异矩阵。矩阵的秩有一重要性质：Rk（AB）minRk(A),Rk(B)。（8）逆阵设A 为方阵，若存在另一个与A同阶的方阵B，无论用B左乘或右乘A皆得单位阵，则称B为A的逆阵，记作 BA-1。即对于逆阵有： A-1AAA-1I 并非所有矩阵都有逆阵，只有非奇异矩阵才有逆阵。矩阵A的逆阵可定义为： 矩阵的逆可通过矩阵的行初等变换得到。 逆阵具有如下性质：1）
8、(AB)-1B-1 A-1 2）(A-1)(A) -1 3）|A-1|1/|A|2024年8月9日制作人：熊义杰12（9）求迹公式1）若A、B为同阶方阵，则： Tr（AB）TrATrB2）若矩阵AB和BA皆存在，则有： Tr（AB）Tr（BA）3）Tr（kA）kTrA4）若矩阵ABC、BCA和CAB皆存在，则有： Tr（ABC）Tr（BCA）Tr（CAB）5）设U为n1阶向量，M为n阶方阵，则有： 不难看出，第一个等号左端实际上是一个标量，标量的迹显然就是这一标量。第二个等号两端即上述的第二个公式。2024年8月9日制作人：熊义杰13A2.3 向量内积及正交向量向量内积及正交向量定义定义1设V
9、是实数域R上的一个向量空间，对于V中的任意两个向量， X= (x1,x2, ,xn); Y= (y1,y2, ,yn), 实数： X,Y x1 y1x2 y2 xn ynxiyi叫做向量X与Y的内积内积。 定义定义2设X是欧氏空间中的一个向量，非负实数X,X的平方根 叫做X的长度，用符号|X|表示，即： 欧氏空间中的每一向量都有一个确定的长度，零向量的长度为零，任意非零向量的长度均为正数，长度为1的向量叫做单位向量单位向量。定义定义3 如果欧氏空间中的两个向量X与Y的内积为零，则二向量为正交向量正交向量。亦即对于正交向量，有： X,Y 0 。 欧氏空间V中的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正
10、交组正交组。 定理定理 设1, 2, n是欧氏空间中的一个正交组，则1, 2, n线性无关。注意，该命题的逆命题不成立。定义4 对于欧氏空间V中的任意两个非零向量X和Y，其夹角定义为：若X,Y0 ，则X与Y正交（或垂直），记作XY（cos90。 0）。零向量与任意向量正交。根据向量长度的性质，显然 1cos 1。定义定义5 如果一个n阶实矩阵 U 满足条件： 则 U 为一个正交矩阵。定理定理1：正交矩阵具有如下性质：（1）若A是正交阵，则A1也是正交阵；（2）若A、B为正交阵，则AB也是正交阵；（3）若A是正交阵，则 |detA|1。定理定理2：设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，则必存在一个
11、n 阶正交矩阵U，使得： 其中，1，2，n 是A的全部特征根。A2.4 特征值与特征向量定义定义6 设A为n阶方阵，如果数和n维非零列向量X使得: AX=X 成立，则称为方阵A的特征值，X称作A对应于的特征向量。相应地，（IA）称作A的特征矩阵，det(IA)称作A的特征多项式。通常，解|IA|0 ，可求得A的全部n个特征值，所以特征值也叫特征根；解（IA）X0 ，其非零解向量就是A对应于i的特征向量。定理定理1：设1，2，n是方阵A的互不相同的特征值，x1，x2， xn分别是与之对应的特征向量，则x1，x2， xn线性无关。定理定理2：对于A的全部特征值，itr A ；idet A 。 且
12、(-1)Tr A为A的特征多项式中n-1项的系数，(-1)n det A为A的特征多项式的常数项。 【例7.1】求矩阵A= 的特征根和特征向量。【解】 解之，即：定理定理3：由实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量构成的矩阵是正交矩阵。对应的特征向量分别为定义定义7设A、B是同一数域上F的两个n阶方阵，如果存在F上的一个可逆矩阵P，使得 P1APB，则称作A与B相似，记做AB。相似也称作合同。相似矩阵具有如下性质：（1）若AB，则 det A det B，rank Arank B；（2）若AB，则A与B具有相同的特征多项式和特征值；（3）若n阶方阵A与对角阵diag（ 1，2，n ）相似，则1，2，n 是A的n个特征值；（4） n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个无关的特征向量；（5）若n阶方阵A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似。 在主成分方法的变换过程中，由于正交阵C可逆，且C(XX)CZZ，所以 k 阶方阵 (ZZ) 与 (XX) 相似。
